湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题含答案

2021年湖北省新高考联考协作体高二上学期期中考试

高二数学试卷

考试时间：2021年11月8日下午15：00－17：00试卷满分：150分

一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符 合题目要求的．

1. 已知集合 ， 则    ）
   A．
   B．
   C．
   D．
2. 若 ， 则下面不等式正确的是 ( )
   A．
   B．
   C．
   D．
3. 若直线 与直线 平行， 则实数 的值为(  )
   A． 2 或 0
   B． 或 1
   C．
   D． 2
4. 椭圆 的焦点为 ， 上顶点为 ， 若 ， 则    ）
   A． 1
   B．
   C．
   D． 2
5. 如图， 在四面体 中， 点 在 上， 且 为 的中点， 则

A．
B．
C．
D．

6. 唐代诗人李欣的诗《古从》开头两句说“百日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一 个有趣的数学问题： “将军饮马”， 即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到河边饮马后再 回到军营， 怎样走才能使总路程最短? 在平面直角坐标系中， 设军营所在区域为 ， 若 将军从 出发， 河岸线所在直线方程为： ， 并假定将军只要到达军营所在区 域即回到军营， 则“将军饮马”的最短总路程为 ( )
   A．
   B．
   C．
   D．
7. 已知函数 ， 若函数 在 上单调 递减， 则实数 的取值范围是(  )
   A．
   B．
   C．
   D．
8. 在平面直角坐标系 中， 已知圆 ， 若直线 上有且只有一点 满足： 过点 作圆 的两条切线 ， 切点分别为 ， 且使得四边形 为正方 形， 则正实数 的值为
   A． 0
   B． 1
   C． 3
   D．
   二、多项选择题： 本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题目要求． 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分．
9. 已知复数 （其中 为虚数单位）， 则下列说法正确的是 ( )
   A． 复数 在复平面上对应的点可能落在第四象限
   B．
   C．
   D． 为实数
10. 已知空间四点 ， 则下列说法正确的是( )
    A．
    B．
    C． 点 到直线 的距离为
    D． 四点共面
11. 设椭圆 的左右焦点分别为 ， 左右顶点分别为 ， 点 是椭圆 上的动点， 则下列结论正确的是 ( )
    A． 离心率
    B． 面积的最大值为 1
    C． 以线段 为直径的圆与直线 相切
    D． 为定值
12. 如图，已知是相互垂直的两条异面直线，直线AB与均相互垂直，且动点分别位于直线上，若直线与所成的角线段的中点为，下列说法正确的是(   )

A． 的长度为定值4

B． 的长度不是定值

C．三棱锥的体积为定值

D．点M的轨迹是圆

三、填空题： 本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．

 13． 若直线 与直线 垂直， 且不过第一象限， 试写出一个直线 的方程：________．
14． 如图， 正方体 中， 是 的中点， 则 与 所成角的余弦值为________．

15． 已知直线 与圆 ， 则 被圆 截得的最短弦长为________．
16． 已知椭圆 的左， 右焦点分别是 ． ， 点 是椭圆 上一点， 满足 ，以点 为圆心， 为半径的圆与圆 ， 圆 都内切， 其中 ， 则椭圆 的离心率为 ________．

四、解答题： 本大题共 6 小题， 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． (本小题满分 10 分) 已知圆 ．
(1) 若直线 过点 且被圆 截得的弦长为 2 ， 求直线 的方程；
(2) 从圆 外一点 向圆 引一条切线， 切点为 为坐标原点， 且 ， 求 的最小值．
18． (本小题满分 12 分) 在 中， 三个内角 所对的边分别为 ， 请在 (1) ； (2) ； (3) 这三个条件中任意选择一个， 完成下列问题： (注： 如果选择多个条件分别解答， 则按第一个解答计分)

（1）若 ， 求 ；
(2) 若 ， 且 ， 求 的面积．

19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，D＝BD，O为AC与BD的交点，

E为棱PB上一点．

(1)证明：平面EAC⊥平面PBD；D；

(2)若PE＝2EB，求二面角E－AC－B的大小．

20. (本小题满分 12 分) 为了解一种植物果实的情况， 随机抽取一批该植物果实样本测量重量 (单 位： 克 ， 按照 分为 5 组， 其频率分 布直方图如图所示．

（1）求图中 的值；
（2）估计这种植物果实重量的平均数 和方差 (同组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（3）已知这种植物果实重量不低于 克的即为优质果实．若所取样本容量 ， 从该样本分 布在 和 的果实中， 随机抽取 2 个， 求抽到的都是优质果实的概率．

21. (本小题满分 12 分) 已知 为等腰直角三角形， ， 将 沿底 边上的高线 折起到 位置， 使 ， 如图所示， 分别取 的中点 ．

(1) 求二面角 的余弦值；
（2）判断在线段 上是否存在一点 ， 使 平面 ? 若存在， 求出点 的位置，若不存在，说明理由．

22. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 中， 设 为椭圆 的左 焦点， 直线 与 轴交于点 为椭圆 的左顶点， 已知椭圆长轴长为 8 ， 且 ．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为

①求证：为定值；

②求△ABF面积的最大值．