初中北师大版1 菱形的性质与判定学案及答案

这是一份初中北师大版1 菱形的性质与判定学案及答案，共8页。

知识梳理
1. 菱形的定义：一组 相等的平行四边形叫做菱形。
2. 菱形的性质：
(1)边：四边 ， 对边 。
(2)角：对角 ， 邻角 。
(3)对角线：对角线互相 ， ，且平分一组 。
(4)菱形是 图形，每条对角线所在的直线都是 。
(5)菱形的面积公式:S=底×高=两条对角线长度乘积的 。
【类型一】菱形的定义
1. 如图，若要使▱ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（ ）。
A. AB=CD B. AD=AC C. AB=BC D. AC=BD

【类型二】菱形的四条边相等
1. 如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是 。
2.如图在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(-3，0)、(2，0)，点D在轴上，则点C的坐标是( ， )。
【类型三】菱形的对角线互相垂直
1. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=5,AC=6,则BD的长是 。
第1题图 第2题图
2.（2015年青岛中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相较于O点，E,F分别是AB，BC边上的中点，链接EF.若EF=3，BD=4,则菱形ABCD的周长为（ ）。
A. 4 B. 46 C. 47 D. 28
【类型四】菱形的面积（重难点）
1. 若一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的俩条对角线的长度之和为（ ）。
A. 8 B. 12 C. 16 D. 32
2. (2019青岛崂山区二模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作CE⟂AD于点E，连接OE，若OB=8，S菱形ABCD=96,则OE的长为（ ）。
A. 23 B. 25
C. 6 D. 8
第2题图 第3题图
3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF。若AB=3，则菱形AECF的面积为（ ）。
A. 1 B. 22 C. 23 D. 4
能力提升
练1. 如图，菱形ABCD的周长是24cm,对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）。
A. 3cm B. 4cm C. 2.5cm D. 2cm

练2.（2019青岛平度期中） 如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=120°，则花坛对角线AC的长等于 米。
练3. 如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，若过点A作AE⟂BC,垂足为E，则AE的长为（ ）。
A. 8 B. 6013 C. 12013 D. 24013
练4.（黄岛区期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于（ ）。
A. 60° B. 50° C. 30° D. 20°
练2图 练3图 练4题
练5. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的点，DE=DF。
求证：∠1=∠2.
1.2菱形的判定
知识梳理
1.菱形的判定：
(1)一组邻边：有一组 相等的平行四边形是菱形。
(2)对角线：对角线 的平行四边形是菱形。
(3)四边：四边相等的 是菱形。
【类型一】菱形的常见判定方法归纳
1. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件 ，能使平行四边形ABCD是菱形。
2. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）。
A. BA=BC B. AC，BD互相平分
C. AC=BD D. AB∥CD
【类型二】利用对角线的位置关系判定菱形
1. 已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四边形ABCD是菱形的有（ ）。
A．①③B．②③C．③④D．①②③
2. 如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．
【类型三】利用边的关系判定菱形
1. 如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（ ）。
A. AF=EF B. AB=EF C. AE=AF D. AF=BE
能力提升
练1. (变式题）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（ ）。
A．42 B．62
C．82 D．5
练2. (变式题）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，则AE的值为 。

练2图 练3图
练3. 如图，在∆ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。如果AE=4cm，那么四边形AEDF的周长为（ ）。
A. 12cm B. 16cm C. 20cm D. 22cm
练4. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由．
练5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．
（1）求证：四边形CFBD是菱形；
（2）连接AE，若CF=10，DF＝2，求AE的长．
答案
第一讲菱形和矩形
1.1菱形的性质
知识梳理
1.邻边 2.（1）相等；相等 （2）相等；互补 (3)垂直；平分；对角
（4）轴对称；对称轴 （5）一半
【类型一】1.C
【类型二】1. 15 2. (5,4)
【类型三】1. 8 2. C
【类型四】1. C 2. C 3. C
能力提升 练1. A 练2. 63 练3. C 练4.C
练5.
1.2菱形的判定
知识梳理
1.（1）邻边 （2）互相垂直 （3）四边形
【类型一】1. AB=BC等
2. B
【类型二】1. A【解答】解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确；
②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误；
③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；
D、▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误．
故选：A．
2. 证明：（1）如图，连接AC，与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝FD，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即 OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即AC⊥EF；
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【类型三】1. C
能力提升
练1. A解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO=AB2−AO2=9−1=22，
∴BD＝42，
∴四边形ABCD的面积=42×22=42，
故选：A．
练2. 5.5【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF＝OE，AE＝OF，OH＝GC，CH＝OG，
∵AE＝AF，
∴OE＝OF＝AE＝AF，
∵AE＝AF，
∴BC﹣BH＝CD﹣DG，即OH＝HC＝CG＝OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE﹣4（8﹣AE）＝12，
解得：AE＝5.5，
故答案为：5.5．
练3. B
练4.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD．
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝DE=12AD，BF＝FC=12BC．
∴AE＝CF．
在△AEB与△CFD中，
AE=CF∠A=∠CAB=CD，
∴△AEB≌△CFD（SAS）；
（2）解：当△ABD满足∠ABD＝90°，四边形EBFD是菱形，理由如下：
由（1）得：BF＝DE，BF∥DE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，点E是AD的中点，
∴BE=12AD＝DE，
∴平行四边形EBFD是菱形．
练5.【解答】证明：（1）∵点E为BC的中点，
∴CE＝BE，
又∵EF＝DE，
∴四边形CFBD是平行四边形，
∵D，E分别是边AB，BC的中点，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEB＝∠ACB＝90°，
即DF⊥CB，
∴四边形CFBD是菱形；
（2）∵D，E分别是边AB，BC的中点，
∴AC＝2DE，
∵DF＝2DE＝2EF，DF＝2，
∴AC＝2，EF＝1，
∵CF=10，四边形CFDB是菱形，
∴∠CEF＝90°，
∴CE=CF2−EF2=(10)2−12=3，
∵∠ACE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=22+32=13，
即AE的长是13．