北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定学案

这是一份北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定学案，共10页。

知识梳理
1. 正方形的定义：既是 又是 的四边形就是正方形。
2. 正方形的性质：
（1）边：四边 ，对边 。
（2）四个角都是 。
（3）对角线：对角线互相 ， 且 ，还平分一组 。（同学们，45°角极为重要，记得标图）
3. 正方形和等腰直角三角形：
一条对角线把正方形分成 个大的等腰直角三角形；
两条对角线把正方形分成 个小的等腰直角三角形。
4. 正方形是轴对称图形，它有 条对称轴。
【类型一】正方形的定义
1.下面四个定义中不正确的是（ ）。
A. 有一个角是直角的平行四边形叫矩形；
B. 有一组邻边相等的四边形是菱形；
C. 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；
D. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
【类型二】正方形的边、角性质（经典题型练习）
1. 如图，以BC为边在正方形ABCD内部作等边三角形PBC，连接AP，DP，则∠PAD= 。
2.（2019青岛黄岛区期末）如图，将边长为3cm的正方形ABCD绕顶点B逆时针旋转30°得到正方形EBGF，则两个图形重叠部分（阴影部分）的面积为 cm2。
3. 如图，正方形ABCD中，AB=6，将∆ADE沿AE折叠至∆AFE，延长EF交BC于点G，点G刚好是BC边的中点，则DE的长 。
4.(2017青岛黄岛区期中）如图，已知在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上。
（1）求∠CEF的度数。
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求EC的长度。
5.（经典题型）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE,作BF⟂AE，DG⟂AE，垂足分别为F，G，求证：BF-DG=FG。
正方形的判定
知识梳理
1. 正方形的判定：
（1）有一组邻边相等，一个角是 的 是正方形。
（2）有一组邻边相等的 是正方形。
（3）对角线垂直的 是正方形。
（4）有一个角是直角的 是正方形。
（5）对角线相等的 是正方形。
2. 中点四边形：
确定中点四边形 EFGH的形状的主要因素是原四边形 ABCD的对角线的长度和位置关系。
（1）若对角线相等，则中点四边形 EFGH为 （如图①）；
（2）若对角线互相垂直，则中点四边形 EFGH为 （如图②）；
（3）若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH为 （如图③）；
（4）若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH为 （如图④）。
【类型一】正方形的常见判定方法归纳
1. 下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
A. 对角线互相垂直且相等的四边形
B. 一条对角线平分一组对角的矩形
C. 对角线相等的菱形
D. 对角线互相垂直的矩形
2.（2019·青岛模拟）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）。
A. 当 AB = BC时，平行四边形ABCD是菱形
B. 当AC⟂BD时，平行四边形ABCD是菱形
C. 当AC=BD时，平行四边形ABCD是正方形
D. 当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形
3. 下列说法正确的是（ ）。
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
4. 如图，等边∆AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。求证：矩形ABCD是正方形。
【类型二】中点四边形
1. 顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 。
顺次连接平行四边形各边中点，所得的图形是 。
顺次连接菱形各边中点，所得的图形是 。
顺次连接正方形各边中点，所得的图形是 。
顺次连接矩形各边中点，所得的图形是 。
能力提升
练1. （中点变式题）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD中AD，BD，BC，AC的中点，当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形（ ）。
A. AC⟂BD B. AB=CD C. AC=BD D. AB⟂CD
练2. (2019青岛期中）下列说法中，错误的是（ ）。
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 有一组邻边相等的菱形是正方形
练3 .（开发创新思维）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⟂AB于点P。若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 。
练4.（2017青岛中考在菱形基础上探究正方形）如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF。
（1）求证：∆BCE≌∆DCF;
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由。
练5. （在矩形基础上探究正方形）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⟂AD，PN⟂CD，垂足分别为M，N。
（1）求证:∠ADB=∠CDB;
（2）当∠ADC为多少度时，四边形MPND是正方形？请说明理由。
正方形的性质
知识梳理
1.菱形；矩形 2.（1）相等；平行且相等 （2）直角 （3）平分；垂直；相等；对角
3. 2；4 4. 4
【类型一】1. B
【类型二】1. 15° 2 .33
3. 2
4.
5.
正方形的判定
1. （1） 直角；平行四边形
（2）矩形
（3）矩形
（4）菱形
（5）菱形
2. （1）菱形 （2）矩形 （3）正方形 （4）平行四边形
【类型一】1. A 2. C 3. C
4.
【类型二】1. 平行四边形；平行四边形；矩形；正方形；菱形
能力提升
练1. B 练2. D 练3 . 32
练4.
练5.