人教版八年级上册13.1.2 线段的垂直平分线的性质图文课件ppt

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线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的判定
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？什么叫线段的垂直平分线？
线段的垂直平分线的性质
探究 如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系.
可以发现，点 P1，P2, P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.
由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质.
如图,直线l⊥AB，垂足为C，AC = CB，点P在l上.求 证PA=PB.证明：∵ l ⊥AB， ∠PCA=∠PCB. 又 AC=CB, PC=PC， ∴△ PCA ≌△ PCB (SAS). ∴PA=PB.
例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线 DE交AB，AC于点E，D， (1)若△BCD的周长为 8，求BC的长； (2) 若BC＝4，求△BCD的周长．
导引：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD 与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周 长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的 周长． 解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者．
1 (中考•义乌)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3
如图，AD⊥BC,BD= DC，点C在AE的垂直平 分 线上.AB，AC, CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
解： AB＝AC＝CE, AB＋BD＝DE, 理由略.
线段的垂直平分线的判定
反过来，如果PA=PB, 那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
通过证明可以得到： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分 ∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的 垂直平分线．
导引：根据角平分线的性质可得CD＝DE，所以点D 在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE 的垂直平分线上，就能证明．证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上； 在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD＝AD， CD＝ ED， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE， ∴点A也在CE的垂直平分线上， ∴直线AD是CE的垂直平分线．
利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端点的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上)．
1 如图， AB=AC , MB=MC.直线AM是线段BC的垂 直平分线吗？
由AB＝AC, MB＝MC,可知点A, M都在线段BC的垂直平分线上，根据“两点确定一条直线”，直线AM就是线段BC的垂直平分线.
线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等.判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.