湖北省武汉市黄陂区城关镇第三中学2017-2018学年九年级上学期第22章《二次函数》单元检测

人教版数学九年级上学期

第22章《二次函数》单元测试卷

      （满分120分，限时120分钟）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）

A．y=x2      B．y=       C．y=kx2          D．y=k2x

2.y=m是二次函数，则m的值为（　　）

A．0，﹣2 B．0，2 C．0 D．﹣2

3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（　　）                                                                                    

4.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：

根据表格提供的信息，下列说法错误的是（　　）

A．该抛物线的对称轴是直线x=﹣2

B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）

C．b2﹣4ac=0

D．若点A（0，5，y1）是该抛物线上一点．则y1＜﹣2.5

5.关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）

A．开口向上                  B．与x轴有两个重合的交点

C．对称轴是直线x=1         D．当x＞1时，y随x的增大而减小

6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜4       B．﹣1＜x＜3     C．x＜﹣1或x＞4     D．x＜﹣1或x＞3

7.二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是（　　）

A．0个      B．1个       C．2个         D．3个

8.已知关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2，点（1，3）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上的一个点，则下列四个点中一定在该抛物线上的是（　　）

A．（2，3）   B．（0，3）      C．（﹣1，3）     D．（﹣3，3）

9.二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（　　）

A．3      B．4     C．5      D．6

10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1其中正确的结论是（　　）

A．①②         B．②③          C．③④        D．②④

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.已知函数y=（m-1）+5x+3是关于x的二次函数，则m的值为　    　．

12.如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是　           　．

13.若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点．符合条件的一个二次函数的解析式为　              　．

14.已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是　             　．

15.二次函数y=ax2（a＞0）的图象经过点（1，y1）、（2，y2），则y1　＜　y2（填“＞”或“＜”）．

16.二次函数y=x2+2x+2的最小值为　 　．

三、解答题(共8题，共72分)

17.（本题8分）已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解析式．

18.（本题8分）已知函数y=u+v，其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数，

（1）根据表格中的数据，确定v的函数式；

（2）如果x=﹣1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；

（3）在（2）的条件下，写出y的最小值．

19.（本题8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；

20.（本题8分）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；

（2）求直线AB对应的函数解析式．

21.（本题8分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？

22.（本题10分）某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．

（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；

（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？

23.（本题10分）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．

24.（本题12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；

（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO=　 　，PH=　 　，由此发现，PO　 　PH

（填“＞”、“＜”或“=”）；

②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

人教版数学九年级上学期

第22章《二次函数》单元测试卷解析

一、

1.【答案】A、是二次函数，故A符合题意；

B、是分式方程，故B错误；

C、k=0时，不是函数，故C错误；

D、k=0是常数函数，故D错误；

故选：A．

2.【答案】∵y=m是二次函数，∴，m≠0，解得：m=﹣2，故选D．

3.【答案】A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；

B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；

C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；

D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．

故选：A．

4.【答案】A、正确．因为x=﹣1或﹣3时，y的值都是0.5，所以对称轴是x=﹣2．

B、正确．根据对称性，x=0时的值和x=﹣4的值相等．

C、错误．因为抛物线与x轴有交点，所以b2﹣4ac＞0．

D、正确．因为在对称轴的右侧y随x增大而减小．

故选C．

5.【答案】画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．

A、∵a=1，∴抛物线开口向上，A正确；

B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；

C、∵﹣=1，∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；

D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．

故选D．

6.【答案】由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x=1，

∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），

∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，

且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，

∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．

故选B．

7.【答案】∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）=12＞0，

∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．

∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是3个．

故选D．

8.【答案】∵关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2，∴有﹣2a+b=0，即b=2a．

∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=﹣=﹣1．

∵点（1，3）是抛物线上的一点，

∴点（﹣3，3）是抛物线上的一点．

故选D．

9.【答案】y=﹣（x﹣1）2+5，∵a=﹣1＜0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．

故选：C．

10.【答案】①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，

∵对称轴为x= -＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；

②当x=1时，函数值为2，∴a+b+c=2；故本选项正确；

③∵对称轴x= -＞﹣1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；

④当x=﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c=2，

将a+c=2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；

综上所述，其中正确的结论是②④；

故选D．

二、填空题

11.【答案】根据题意得：+1=2，m-1≠0，解得：m=﹣1．

12.【答案】从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），

∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，

13.【答案】∵若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点，∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求．

答案不唯一．例如：y=﹣x2﹣2x+5．

14.【答案】根据已知条件，画出函数图象，如图所示．

由已知得：a<0，-≤ -1，a+1-a≤1，解得：﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0．

15.【答案】∵a＞0，且二次函数的对称轴为x=0，∴当x＞0时，二次函数y值随着x值的增大而增大，

∵0＜1＜2，∴y1＜y2．故答案为：＜．

16.【答案】配方得：y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+1=（x+1）2+1，

当x=﹣1时，二次函数y=x2+2x+2取得最小值为1．

三、解答题

17.【解答】∵顶点坐标为（1，1），设抛物线为y=a（x﹣1）2+1，

∵抛物线经过点（2，3），∴3=a（2﹣1）2+1，解得：a=2．

∴y=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3．

18.【解答】（1）设v=kx+b，把（0，﹣1）、（1，1）代入得k=2，b= -1，∴y=2x﹣1；

（2）设u=ax2，则y=ax2+2x﹣1，

∵当x=﹣1时，y=ax2+2x﹣1取最小值，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，即 -= -1，

∴a=1，∴y=x2+2x﹣1，

（3）把x=﹣1代入y=x2+2x﹣1得y=1﹣2﹣1=﹣2，即y的最小值为﹣2．

19.【解答】（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中得：b=-2，c=-3，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）．

（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．

20.【解答】（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，

∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；

（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），

∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，

当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把A（﹣1，0），B（1，4）代入得k=2，b=2，

∴直线AB的解析式为y=2x+2．

21.【解答】∵AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC=（30﹣x），

菜园的面积=AB×BC=（30﹣x）•x，

则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=﹣x2+15x．

22.【解答】（1）根据题意得：y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200．

（2）令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，

即x2+4x﹣12=0，解得：x=﹣6（舍去），或x=2．

答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．

23.【解答】（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．∴﹣3=a﹣4，

∴a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，

（2）△BCM是直角三角形

理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，

∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4，∴M（﹣1，﹣4），

由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，令y=0，∴x2+2x﹣3=0，∴x1=﹣3，x2=1，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，∴BC2+CM2=BM2，

∴△BCM是直角三角形，

24.【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），∴﹣3=16a+1，∴a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．

（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，∴PO=PH，故答案分别为5，5，=．

②结论：PO=PH．

理由：设点P坐标（m，﹣m2+1），∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1

PO=m2+1，∴PO=PH．

（3）∵BC=，AC=，AB=4∴BC=AC，

∵PO=PH，又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，∴PH与BC，PO与AC是对应边，

∴，设点P（m，﹣m2+1），∴，解得m=±1，

∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．