2021届福建省福州市闽江口联盟校高三上学期期中联考数学试题（解析版）

2021届福建省福州市闽江口联盟校高三上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=

A．(-∞，1) B．(-2，1)

C．(-3，-1) D．(3，+∞)

【答案】A

【分析】先求出集合A，再求出交集．

【详解】由题意得，，则．故选A．

【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．

2．若：，，则（    ）

A．：， B．：，

C．：， D．：，

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得结果.

【详解】由于全称命题的否定为特称命题，

即，的否定为，，

故选：B.

3．(2015新课标全国Ⅰ理科)=

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】原式= ==，故选D.

【解析】本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.

4．在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？”

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

【答案】C

【详解】由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列，等差数列中，首项与第三十项分别为（尺），故选C.

5．设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.

【详解】因为，

，

，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

6．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

7．函数的大致图象是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.

【详解】由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；

当时，，可排除D选项；

当时，，当时，，

即，可排除C选项，

故选A

【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．

8．已知函数是定义在R上的奇函数，且若则

A． B．9

C． D．0

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性可知f（﹣x）＝﹣f（x），将f（1+x）＝f（1﹣x）变形可得f（﹣x）＝f（2+x），综合分析可得f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝﹣f（1），即可得答案．

【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），

又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），

则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，

则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；

故选A．

【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性，奇偶性，关键是分析函数f（x）的周期性，是中档题.

二、多选题

9．下列叙述不正确的是（　　）

A．的解是

B．“”是“”的充要条件

C．已知，则“”是“”的充分不必要条件

D．函数的最小值是

【答案】AD

【分析】直接利用不等式的解法，充分条件和必要条件，一元二次不等式的解法，对勾函数的性质判定的结论.

【详解】对于A，，整理得，

转化为，解得或，

故不等式的解集为{或}，故A不正确；

对于B，当时，恒成立，

当时，，解得，

即“”是“”的充要条件，故B正确；

对于C：不等式，解得，

所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；

对于D，函数，

设，

所以，根据对勾函数的性质，由于函数在上单调递增，

所以函数，故D不正确；

故选：AD.

10．已知曲线，则下面结论正确的是（    ）

A．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

B．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

C．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线

D．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线

【答案】AC

【分析】通过三角函数图象变换的知识，判断出正确选项.

【详解】由变换到，

若先伸缩后平移，则把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.

若先平移后伸缩，则把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线.

所以正确的选项为AC

故选：AC

【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.

11．等差数列的前n项和记为，若，，则（　　）

A． B．

C． D．当且仅当时

【答案】BC

【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式分别分析各选项即可判断.

【详解】∵等差数列的前n项和记为，若，，

∴，解得，

∵，∴，故A错误；

，故B正确；

，

由等差数列的性质可知，当时，取得最大值，故，C正确；

当时，，D错误；

故选：BC.

12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有2个零点；③的解集为；④，都有.其中所有正确结论的编号是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】CD

【分析】设，则，利用函数的奇偶性即可判断①；可看出，1，0都是的零点，即可判断②；直接解不等式可判断③；根据导数符号可判断的单调性，根据单调性即可求出的值域，即可判断④.

【详解】是定义在R上的奇函数，设，则，

则，

所以，故①错误；

因为，，又，

所以有3个零，故②错误；

当时，由，得，得，

当时，由，得，得；

所以的解集为，故③正确；

当时，，

所以时，，单调递减，时，，单调递增，

所以时，取的最小值为，且时，，

所以，即，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以时，取最大值为，且时，，

所以，所以，

所以的值域为，

所以，，都有，故④正确；

故选：CD．

三、填空题

13．已知为两个垂直的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则

____________．

【答案】1

【详解】向量与向量垂直，则数量积为0.即

14．若实数，则__________.

【答案】

【分析】直接根据对数的运算性质即可得结果.

【详解】因为，所以，

故答案为：.

15．已函数是奇函数，且，则_____

【答案】

【分析】设，可得函数为奇函数，求得的值，可得出的值，进而可求得的值.

【详解】根据题意，设，则函数为奇函数，所以，

由题意可得，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.

16．已知函数，则不等式的解集为____

【答案】（1，＋∞）

【分析】由已知条件得出函数为奇函数，并且在在R时单调递增，由此可得出关于x 不等式，解之可得不等式的解集.

【详解】因为，所以函数为奇函数，

又，当时，，所以函数在时单调递增；

当时，，所以函数在时单调递增，

所以函数在R时单调递增.

所以不等式化为，所以，解得，

所以不等式的解集为，

故答案为：.

【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题.

四、解答题

17．已知向量，，，O为坐标原点.

（1）若，求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求与所成角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出、的坐标，由垂直向量的坐标关系列出等式求解m；（2）直接利用公式进行求解.

【详解】（1）因为，，，

所以，，

又因为，所以，解得.   

（2）由（1）知：，，

设，所成的角为

则.

【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示、向量夹角的求解，属于基础题.

18．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求，和的值；

（2）求函数在上的单调递减区间.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据正弦函数的最值求出，由周期求出，再由的函数值求出即可求解.

（2）由（1）可知，根据题意只需，解不等式即可.

【详解】（1）由题可得，，则，

当时，取得最大值，则，

所以，

又因为，故；

（2）由（1）可知，

令，

则，

故的单调递减区间为，

则在上的单调递减区间为.

【点睛】本题考查了五点求函数解析式、正弦型函数的单调区间，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

19．已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解.

（2）利用裂项求和法即可求解.

【详解】（1），，①

，，成等比数列，，

化简得，②

又因为

且由①②可得，，.

数列的通项公式是

（2）由（1）得，

所以.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

20．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）B=（Ⅱ）

【详解】(1)∵a=bcosC+csinB

∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB     ①

在三角形ABC中，A=－(B+C)

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC         ②

由①和②得sinBsinC=cosBsinC

而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB

又B(0，)，∴B=

(2) S△ABCacsinBac，

由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，

整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，

则△ABC面积的最大值为（2）1．

21．等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

【答案】（1）或 .

（2）.

【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．

详解：（1）设的公比为，由题设得．

由已知得，解得（舍去），或．

故或．

（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．

若，则．由得，解得．

综上，．

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．

22．设函数.

（1）若在点处的切线为，求的值；

（2）求的单调区间；

（3）若，求证：在时，.

【答案】(1) ，,(2) 当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为；（3）见解析．

．

【详解】（1）∵，∴，

又在点的切线的斜率为，∴，∴，

∴切点为把切点代入切线方程得：；

（2）由（1）知：

①当时，在上恒成立，

∴在上是单调减函数，

②当时，令，解得：，当变化时，随变化情况如下表：当时，单调减，当时，，单单调增，综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为.

(3)当时，要证，即证，令，只需证，∵由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数又，，∴，在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为，则，即，由的单调性知：当时，，为减函数当时，，为增函数，所以当时，，又，等号不成立，∴.

点睛: 本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，(1)利用导数的几何意义；（2）研究单调性，即研究导函数的正负；（2）：证明恒成立，转化为函数最值问题．