2021年广西百色市中考数学试卷

这是一份2021年广西百色市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广西百色市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．（3分）﹣2022的相反数是（　　）
A．﹣2022 B．2022 C．±2022 D．2021
2．（3分）如图，与∠1是内错角的是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．（3分）骰子各面上的点数分别是1，2，…，6．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．1
4．（3分）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（　　）
A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′
5．（3分）方程＝的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3
6．（3分）一组数据4，6，x，7，10的众数是7，则这组数据的平均数是（　　）
A．5 B．6.4 C．6.8 D．7
7．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．33＝9 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2+3＝5 D．（2a2b）3＝8a8b3
8．（3分）下列展开图中，不是正方体展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：
（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；
（2）作直线OM交AB于点N．
若OB＝10，AB＝16，则tanB等于（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）当x＝﹣2时，分式的值是（　　）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
11．（3分）下列四个命题：
①直径是圆的对称轴；
②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；
③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；
④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．
其中真命题有（　　）
A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④
12．（3分）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）的倒数是　 　．
14．（3分）某公司开展“爱心公益”活动，将价值16000元的物品捐赠给山区小学，数据16000用科学记数法表示为 　 　．
15．（3分）如图，是一组数据的折线统计图，则这组数据的中位数是 　 　．

16．（3分）实数的整数部分是 　 　．
17．（3分）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 　 　米．

18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（π﹣1）0+|﹣2|﹣（）﹣1+tan60°．
20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
21．（6分）如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝（k≠0）的图象与交于点A（m，3），△AOM的面积为6．
（1）求m、k的值；
（2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．

22．（8分）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．
求证：（1）OD＝OE；
（2）△ABE≌△ACD．

23．（8分）为了解某校九年级500名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间t（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．
类别
A
B
C
D
人数
2
18

3
根据所给信息：
（1）求被抽查的学生人数；
（2）周六做家务2小时以上（含2小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数；
（3）为让更多学生积极做家务，从A类与D类学生中任选2人进行交流，求恰好选中A类与D类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．

24．（10分）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2+2π（36+1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2+2π（36+1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2+2π（36+1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）

25．（10分）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．

26．（12分）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．


2021年广西百色市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．（3分）﹣2022的相反数是（　　）
A．﹣2022 B．2022 C．±2022 D．2021
【分析】直接利用只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：﹣2022的相反数是：2022．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）如图，与∠1是内错角的是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角找出即可．
【解答】解：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠4．
故选：C．
【点评】本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
3．（3分）骰子各面上的点数分别是1，2，…，6．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根据概率公式即可得．
【解答】解：∵任意抛掷一次骰子共有6种等可能结果，其中朝上一面的点数为偶数的只有3种，
∴朝上一面的点数为偶数的概率＝．
故选：A．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（3分）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（　　）
A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′
【分析】根据余角的定义，两个锐角和为90°的角互余．
【解答】解：由题意得：∠α＝25°30′，
故其余角为（90°﹣∠α）＝64°30′．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是两个角的互余，互余的两个角的和为90°．
5．（3分）方程＝的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3
【分析】通过分式方程两边乘3x（x﹣1）化为整式方程进而求解．
【解答】解：∵＝，
∴．
去分母，得3（x﹣1）＝2x．
去括号，得3x﹣3＝2x．
移项，得3x﹣2x＝3．
合并同类项，得x＝3．
经检验：当x＝3时，3x（x﹣1）≠0．
∴这个分式方程的解为x＝3．
故选：D．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
6．（3分）一组数据4，6，x，7，10的众数是7，则这组数据的平均数是（　　）
A．5 B．6.4 C．6.8 D．7
【分析】根据众数的意义求出x，再根据平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：这组数据4，6，x，7，10的众数是7，因此x＝7，
这组数据的平均数为＝6.8，
故选：C．
【点评】本题考查众数、平均数，理解众数的意义，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键．
7．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．33＝9 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2+3＝5 D．（2a2b）3＝8a8b3
【分析】根据乘方的意义，完全平方公式，合并同类二次根式以及幂的乘方与积的乘方逐项进行判断即可．
【解答】解：A.33＝27，因此选项A 不符合题意；
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此选项B不符合题意；
C.2+3＝（2+3）＝5，因此选项C符合题意；
D．（2a2b）3＝8a6b3，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查乘方的意义，完全平方公式，合并同类二次根式以及幂的乘方与积的乘方，理解同类二次根式的意义，掌握合并同类二次根式的方法是得出正确答案的前提．
8．（3分）下列展开图中，不是正方体展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：选项A、B、C均能围成正方体；
选项D围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．
9．（3分）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：
（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；
（2）作直线OM交AB于点N．
若OB＝10，AB＝16，则tanB等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据作图过程和圆的性质可得OM是AB的垂直平分线，先根据勾股定理可得ON的长，进而可得tanB的值．
【解答】解：如图，连接OA，

∴OA＝OB，
根据作图过程可知：OM是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN＝AB＝8，
在Rt△OBN中，OB＝10，BN＝8，
根据勾股定理，得ON＝＝6，
∴tanB＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，垂径定理、解直角三角形，解决本题的关键是根据作图过程可得AN＝BN．
10．（3分）当x＝﹣2时，分式的值是（　　）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝
＝
＝﹣15．
故选：A．
【点评】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用平方差公式、完全平方公式以及分式的基本性质，本题属于基础题型．
11．（3分）下列四个命题：
①直径是圆的对称轴；
②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；
③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；
④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．
其中真命题有（　　）
A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④
【分析】根据相似三角形的性质、平行线的判定、正方形的判定和对称判断即可．
【解答】解：①直径所在的直线是圆的对称轴，原命题是假命题；
②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：9，原命题是假命题；
③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；
④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，是真命题；
故选：C．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似三角形的性质、平行线的判定、正方形的判定和对称，难度较小．
12．（3分）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分M点运动到AE段（0≤x＜）和BE段（≤x≤2 ）两种情况，然后根据题意可知在AE段S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；同理当在BE段时S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；最后根据x与S的函数关系式对图像进行判断即可．
【解答】解：①当M点运动在AE段，

此时S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，
∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，
∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，
∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，
∴S△HAE＝AE•AH＝；
∵直线l⊥AB，
∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，
∴△HAE∽△OME，
∴，
∴OM＝，
又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，
∴OM＝ME＝，
∴S△EOM＝，
∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，
此时，对应抛物线开口向下；
②当M点运动到在BE段，

此时，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，
即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，
与①同理，
O1M1＝，
又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，
∴O1M1＝M1E＝，
∴S△EO1M1＝，
∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，
此时，对应抛物线开口向上，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图像，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，结合题意利用数形结合思想，分段求解相应的函数解析式是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）的倒数是　　．
【分析】根据倒数的定义，的倒数是．
【解答】解：的倒数是．
故答案为：．
【点评】此题考查倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
14．（3分）某公司开展“爱心公益”活动，将价值16000元的物品捐赠给山区小学，数据16000用科学记数法表示为 　1.6×104　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：16000＝1.6×104，
故答案为：1.6×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（3分）如图，是一组数据的折线统计图，则这组数据的中位数是 　9　．

【分析】根据图象可以分别写出这组数据，再根据中位数的定义，按从小到大的顺序排列，即可得到中位数．
【解答】解：由图可得，
这组数据分别是：4，8，9，11，12，
所以这组数据的中位数是9，
故答案为：9．
【点评】本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，利用数形结合的思想解答．
16．（3分）实数的整数部分是 　10　．
【分析】根据算术平方根的意义估算的整数部分即可．
【解答】解：∵＜＜，
∴10＜＜11，
∴的整数部分为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的意义是正确判断的前提，估算出10＜＜11是得出答案的关键．
17．（3分）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 　20　米．

【分析】由三角函数的定义求出OA和OB的长，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△APO中，OP＝15米，∠APO＝30°，
∴OA＝OP•tan30°＝（米），
在Rt△POB中，OP＝15米，∠OPB＝60°，
∴OB＝（米），
∴AB＝OA+OB＝20（米），
故答案为：20．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　3﹣　．

【分析】证AD＝CD＝BC，再证△BCD∽△BAC，得BC：AB＝BD：BC，则AD：AB＝BD：AD，得点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，求出AD＝AB＝﹣1，即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，
∴∠CDB＝∠B，
∴BC＝CD，
∴BC＝AD，
∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，
∴△BCD∽△BAC，
∴BC：AB＝BD：BC，
∴AD：AB＝BD：AD，
∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，
∴AD＝AB＝﹣1，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
【点评】本题考查了黄金分割、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握黄金分割，证明△BCD∽△BAC是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（π﹣1）0+|﹣2|﹣（）﹣1+tan60°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+2﹣﹣3+
＝0．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x≥8+x，得：x≥2，
解不等式＞x﹣2，得：x＜7，
则不等式组的解集为2≤x＜7，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（6分）如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝（k≠0）的图象与交于点A（m，3），△AOM的面积为6．
（1）求m、k的值；
（2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．

【分析】（1）根据三角形的面积可得m的值，由A的坐标可得k；
（2）根据勾股定理可得点B的坐标，由A、B坐标可得解析式．
【解答】解：（1）由题意可得：，
∴，即m＝4，
∴A（4，3），
∴k＝xy＝12．
（2）∵l⊥y轴，
∴OB＝OA＝＝5，
∴B（5，0）．
设直线AB为y＝ax+b，
∴，
解得：a＝﹣3，b＝15．
∴y＝﹣3x+15．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键．
22．（8分）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．
求证：（1）OD＝OE；
（2）△ABE≌△ACD．

【分析】（1）直接利用AAS即可判定△BOD≌△COE，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由题意得AD＝AE，AB＝AC，根据SAS即可判定△ABE≌△ACD．
【解答】证明：（1）在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE；
（2）∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD＝BD＝AB，AE＝CE＝AC，
∵BD＝CE．
∴AD＝AE，AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理（ASA、SAS、AAS、SSS、HL）是解题的关键．
23．（8分）为了解某校九年级500名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间t（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．
类别
A
B
C
D
人数
2
18

3
根据所给信息：
（1）求被抽查的学生人数；
（2）周六做家务2小时以上（含2小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数；
（3）为让更多学生积极做家务，从A类与D类学生中任选2人进行交流，求恰好选中A类与D类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．

【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可；
（2）由九年级总人数乘以“热爱劳动”的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有20种等可能的结果，恰好选中A类与D类各一人的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）被抽查的学生人数为：18÷36%＝50（人）；
（2）估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数为：500×＝300（人）；
（3）画树状图如图：

共有20种等可能的结果，恰好选中A类与D类各一人的结果有12种，
∴恰好选中A类与D类各一人的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计表和扇形统计图．
24．（10分）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2+2π（36+1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2+2π（36+1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2+2π（36+1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）

【分析】（1）由第一圈长、第三圈长的数据计算，再由题意得出第八圈长为87×2+2π（36+1.2×7），计算即可；
（2）设小王的平均速度为x米/秒，邓教练的平均速度为y米/秒，由题意：邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，经过20秒两人在直道第一次相遇．列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）由题意得：（415﹣400）＝7.5（米），
87×2+2π（36+1.2×7）≈453（米），
答：第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多7.5米，小王计算的第八圈长约453米；
（2）设小王的平均速度为x米/秒，邓教练的平均速度为y米/秒，
由题意得：，
解得：，
答：小王的平均速度为米/秒，邓教练的平均速度为米/秒．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
25．（10分）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．

【分析】（1）连接OB，PM、PN切⊙O于点A、B，根据平行四边形的判定得出四边形PBCE是平行四边形，即∠P＝∠C＝45°，
（2）CD＝6，由（1）得∠1＝∠P＝45°，根据勾股定理得出OE的长度，由相似三角形的判定得出△AED∽△APF，根据相似比可以得出PF的长．
【解答】解：（1）证明：连接OB，

∵PM、PN切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PM，OB⊥PN，
∵CE∥PN，
∴OB⊥CE，
∵OB＝OC，
∴∠C＝45°，
∵BC∥PM，
∴四边形PBCE是平行四边形，
∴∠P＝∠C＝45°；
（2）∵CD＝6，
∴OB＝OA＝OD＝3，
由（1）得∠1＝∠P＝45°，
∴AE＝OA＝3，
∴OE＝＝3＝BC，
∴PE＝BC＝3，ED＝OE﹣OD＝3﹣3，
∵ED∥PF，
∴△AED∽△APF，
∴＝，
即＝，
∴PF＝3．
【点评】本题考查相似三角形的判定与定理、垂径定理、圆周角定理、切线的性质．解本题要熟练掌握相似三角形的判定与定理、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等这些基本知识点．
26．（12分）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）求出A、C两点的坐标，可得四边形OABC是矩形，则OA∥BC，∠BCA＝∠OAC，由对称可得∠ACD＝∠ACB，等量代换得∠ACD＝∠OAC，等角对等边即可得出AD＝CD；
（2）设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝4，AE＝AB＝OC＝2，由（1）得CD＝AD＝4﹣m，在Rt△OCD中，根据勾股定理可得m＝，可得D的坐标，再由B、C、D三点的坐标通过待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
（3）过点E作EM⊥x轴于M，由S△AED＝AE•DE＝AD•EM，可得EM＝，设△PBC中BC边上的高为h，由S△PBC＝S△OAE可得h＝2，则点P的纵坐标为0或4，分别将y＝0和y＝4代入抛物线的函数表达式即可求解．
【解答】（1）证明：∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A（4，0），C（0，2），
由对称得∠ACD＝∠ACB，
∵B（4，2），
∴四边形O4BC是矩形，
∴OA∥BC，
∴∠BCA＝∠OAC，
∴∠ACD＝∠OAC，
∴AD＝CD；

（2）解：设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝4，AE＝AB＝OC＝2，∠AED＝∠B＝90°，
∴CD＝AD＝4﹣m，
在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+22＝（4﹣m）2，
∴m＝，
∴D（，0），
设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y＝ax2+bx+c，
把B（4，2），C（0，2），D（，0）代入得：
，
解得：．
∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x+2；

（3）解：存在，
过点E作EM⊥x轴于M，

∵ED＝EC﹣CD＝EC﹣AD＝OD＝，
∴S△AED＝AE•DE＝AD•EM，
∴×2×＝×（4﹣）EM，
∴EM＝，
设△PBC中BC边上的高为h，
∵S△PBC＝S△OAE，
∴×OA•EM＝BC•h，
∴××4×＝×4h，
∴h＝2，
∵C（0，2），B（4，2），
∴点P的纵坐标为0或4，
①y＝0时，x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝，x2＝；
②y＝4时，x2﹣x+2＝4，
解得：x3＝，x2＝（舍去），
∴存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，4）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法，矩形的性质、对称的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是利用待定系数法求出过B、C、D三点的抛物线的函数表达式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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