2021年江苏省泰州市中考数学试卷

这是一份2021年江苏省泰州市中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）（﹣3）0等于（ ）
A．0B．1C．3D．﹣3
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
4．（3分）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0B．0＜P＜1C．P＝1D．P＞1
5．（3分）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（ ）
A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣α
6．（3分）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间D．无法确定
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直楼填写在答题相位置上）
7．（3分）计算：﹣（﹣2）＝ ．
8．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
9．（3分）2021年5月，中国首个火星车“祝融号”成功降落在火星上直径为3200km的乌托邦平原．把数据3200用科学记数法表示为 ．
10．（3分）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
11．（3分）某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ．
12．（3分）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为 ．
13．（3分）扇形的半径为8cm，圆心角为45°，则该扇形的弧长为 cm．
14．（3分）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °．
15．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ．
三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）分解因式：x3﹣9x；
（2）解方程：+1＝．
18．（8分）近5年，我省家电业的发展发生了新变化．以甲、乙、丙3种家电为例，将这3种家电2016～2020年的产量（单位：万台）绘制成如图所示的折线统计图，图中只标注了甲种家电产量的数据．
观察统计图回答下列问题：
（1）这5年甲种家电产量的中位数为 万台；
（2）若将这5年家电产量按年份绘制成5个扇形统计图，每个统计图只反映该年这3种家电产量占比，其中有一个扇形统计图的某种家电产量占比对应的圆心角大于180°，这个扇形统计图对应的年份是 年；
（3）小明认为：某种家电产量的方差越小，说明该家电发展趋势越好．你同意他的观点吗？请结合图中乙、丙两种家电产量变化情况说明理由．
19．（8分）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 （填“相同”或“不同”）；
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
20．（8分）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
21．（10分）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cs19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
22．（10分）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．
你选择的条件是 （只填序号）．
23．（10分）（1）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC．求证，直线l1垂直平分AC；
（2）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
24．（10分）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
25．（12分）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
26．（14分）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求证：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．
2021年江苏省泰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）（﹣3）0等于（ ）
A．0B．1C．3D．﹣3
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），化简进而得出答案．
【解答】解：（﹣3）0＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看，是一列两个矩形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．
3．（3分）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．
【解答】解：A、＝2和不是同类二次根式，本选项不合题意；
B、＝2与不是同类二次根式，本选项不合题意；
C、与不是同类二次根式，本选项不合题意；
D、＝5，＝3是同类二次根式，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
4．（3分）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0B．0＜P＜1C．P＝1D．P＞1
【分析】先确定“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，即可求解．
【解答】解：“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，
∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（ ）
A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣α
【分析】根据正方形的性质先表示出∠PBC的度数，然后利用“SAS”证明△APF≌△CPB，证得∠AFP＝∠PBC即可求得答案．
【解答】解：∵四边形PBEF为正方形，
∴∠PBE＝90°，
∵∠CBE＝α，
∴∠PBC＝90°﹣α，
∵四边形APCD、PBEF是正方形，
∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，
在△APF和△CPB中，
，
∴△APF≌△CPB（SAS），
∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣α．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的．
6．（3分）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间D．无法确定
【分析】用假设法分别计算各选项中的a值，再根据a＞0判断即可．
【解答】解：∵AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，A、B、C三点互不重合
∴a＞0，
若点A在B、C之间，
则AB+AC＝BC，
即2a+1+3a＝a+4，
解得a＝，
故A情况存在，
若点B在A、C之间，
则BC+AB＝AC，
即a+4+3a＝2a+1，
解得a＝﹣，
故B情况不存在，
若点C在A、B之间，
则BC+AC＝AB，
即a+4+2a+1＝3a，
此时无解，
故C情况不存在，
∵互不重合的A、B、C三点在同一直线上，
故选：A．
【点评】本题主要考查两点间的距离及整式的加减，分类讨论和反证法的应用是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直楼填写在答题相位置上）
7．（3分）计算：﹣（﹣2）＝ 2 ．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：﹣（﹣2）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题．
8．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解可得答案．
【解答】解：根据题意可得x+1≠0；
解可得x≠﹣1；
故答案为x≠﹣1．
【点评】求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
9．（3分）2021年5月，中国首个火星车“祝融号”成功降落在火星上直径为3200km的乌托邦平原．把数据3200用科学记数法表示为 3.2×103 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3200＝3.2×103．
故答案为：3.2×103．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较大的数．掌握用科学记数法表示较大数的方法是解决本题的关键．
10．（3分）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是以对称轴为界是解题关键．
11．（3分）某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 0.3 ．
【分析】根据各组频率之和为1，可求出答案．
【解答】解：由各组频率之和为1得，
1﹣0.2﹣0.5＝0.3，
故答案为：0.3．
【点评】本题考查频数和频率，理解“各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于1”是正确解答的前提．
12．（3分）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为 2 ．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1•x2＝﹣1，x1+x2＝1，
∴x1+x2﹣x1•x2＝1﹣（﹣1）＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
13．（3分）扇形的半径为8cm，圆心角为45°，则该扇形的弧长为 2π cm．
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：由题意得，扇形的半径为8cm，圆心角为45°，
故此扇形的弧长为：＝2π（cm），
故答案为：2π
【点评】此题考查了扇弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般．
14．（3分）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 20 °．
【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．
【解答】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础．
15．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 （0，11） ．
【分析】连接AB，过点A分别作AC⊥x轴、AD⊥y轴，利用根据圆的切线性质可知△PAB、△AOC为直角三角形，AB＝AC＝5，利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理分别求出AO、AP、AD的长度，进而求出OD、PD的长度即可求得答案．
【解答】解：过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，如图，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AC＝OD，OC＝AD，
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径，
∵点A坐标为（8，5），
∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10，
在Rt△PAD中，根据勾股定理得，
PD＝＝＝6，
∴OP＝PD+DO＝11，
∵点P在y轴上，
∴点P坐标为（0，11）．
故答案为：（0，11）．
【点评】本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 0＜S≤2 ．
【分析】有中点一般思考中线或者中位线，本题借助三角形中位线求解．
【解答】解：作ME⊥PN，如图所示，
∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，
∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，
∴S△PMN＝＝ME，
∵AB与CD不平行，
∴M，N不能重合，
∴ME＞0
∵ME≤MP＝2
∴0＜S△≤2．
故答案是：0＜S≤2．
【点评】本题主要考查：中位线性质定理，解题关键是三角形面积公式的使用．
三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）分解因式：x3﹣9x；
（2）解方程：+1＝．
【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；
（2）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）方程整理得：+1＝﹣，
去分母得：2x+x﹣2＝﹣5，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x﹣2＝﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法以及分式方程的解法是解本题的关键．
18．（8分）近5年，我省家电业的发展发生了新变化．以甲、乙、丙3种家电为例，将这3种家电2016～2020年的产量（单位：万台）绘制成如图所示的折线统计图，图中只标注了甲种家电产量的数据．
观察统计图回答下列问题：
（1）这5年甲种家电产量的中位数为 935 万台；
（2）若将这5年家电产量按年份绘制成5个扇形统计图，每个统计图只反映该年这3种家电产量占比，其中有一个扇形统计图的某种家电产量占比对应的圆心角大于180°，这个扇形统计图对应的年份是 2020 年；
（3）小明认为：某种家电产量的方差越小，说明该家电发展趋势越好．你同意他的观点吗？请结合图中乙、丙两种家电产量变化情况说明理由．
【分析】（1）根据中位数的定义即可求解；
（2）由折线统计图得，2020年甲、丙2种家电产量和小于乙种家电产量，即可求解；
（3）由折线统计图中乙、丙两种家电产量变化情况说明理由即可．
【解答】解：（1）这5年甲种家电产量从小到大排列为：466，921，935，1035，1046，
∴这5年甲种家电产量的中位数为935万台，
故答案为：935；
（2）由折线统计图得，2020年甲、丙2种家电产量和小于乙种家电产量，
∴2020年的扇形统计图的乙种家电产量占比对应的圆心角大于180°，
故答案为：2020；
（3）不同意小明的观点，
理由：由折线统计图得，丙种家电的方差较小，但丙种家电的产量低，而且是下降趋势，乙种家电的方差较大，但乙种家电的产量高，而且是上升趋势，
∴不同意小明的观点．
【点评】本题主要考查折线统计图和扇形统计图，根据题意从不同统计图中获取所需信息是解题关键．
19．（8分）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 相同 （填“相同”或“不同”）；
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
【分析】（1）两种抽取方式，结果是一样的，即可求解；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率相同，
故答案为：相同；
（2）把“泰宝”和“凤娃”两种吉祥物分别记为：A、B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有8种，
∴抽到不同图案卡片的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【分析】设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，则两队原计划平均每月修建（x+y）km，技术创新后两队原计划平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根据原计划30个月完工，过技术创新提前5个月完工为等量关系即可列出分式方程，求解即可求出结果．
【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，
根据题意得，，
解得，
检验：当x＝2，y＝3时，x+y≠0，（1+50%）x+y≠0，且实际问题有意义．
答：甲工程队原计划平均每月修建2 km，乙工程队原计划平均每月修建3 km．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，能够根据时间找出等量关系是解决问题的关键．
21．（10分）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cs19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出DE，FG即可．
【解答】解：如图，过点B、C分别作CE⊥DG，BF⊥DG垂足为E、F，延长CB交AG于点H，
由题意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，
在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50m，
∴BH＝AB＝25（m）＝FG，
在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，
∴DE＝sin∠DCE•CD≈0.33×180＝59.4（m），
∴DG＝DE+EF+FG＝59.4+30+25＝114.4（m），
答：山顶D的高度约为114.4m．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键..
22．（10分）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．
你选择的条件是 ① （只填序号）．
【分析】（1）根据图象可知，y1＞y2，再把点A和点B的横坐标分别代入反比例函数，分别表达出y1，y2的值进行验证即可；
（2）由（1）可表达点E的坐标，进而可的结论．
【解答】解：（1）根据图象可知，y1＞y2，
∵点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，
∴y1＝﹣，y2＝﹣，
∵k＜0，
∴﹣＞﹣＞0，即y1＞y2．
（2）选择①作为条件；
由（1）可得，A（﹣2，﹣），B（﹣6，﹣），
∴OC＝2，BD＝6，AC＝﹣，OD＝﹣
∴DE＝OC＝2，EC＝OD＝﹣，
∵四边形OCED的面积为2，
∴2×（﹣）＝2，解得k＝﹣6．
【点评】本题主要考查反比例函数上点的特征，待定系数法求表达式等；第（2）问中选择一个进行计算即可，一般选择难度相对较小的进行计算．
23．（10分）（1）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC．求证，直线l1垂直平分AC；
（2）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
【分析】（1）首先证明∠ACB＝90°，推出AC⊥BC，再证明直线l1⊥AC，利用等腰三角形的三线合一，可知结论．
（2）以T为圆心，PT为半径作弧交直线l3于点E，连接PE，延长PE交直线l4于点D，线段PD即为所求．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠OCA，∠B＝∠OCB，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴2∠A+2∠B＝180°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥CB，
∵l1∥l2，
∴l1⊥AC，
∵OA＝OC，
∴直线l1平分AC，
∴直线l1垂直平分线段AC．
（2）解：如图，线段PD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂线段最短，平行线的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是证明∠ACB＝90°，学会利用垂线段最短，解决最短问题．
24．（10分）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
【分析】（1）先设出直线AB的函数关系式，再用待定系数法求解即可；
（2）根据每棵树上的桃子销售额＝每个桃子的平均价格×该棵树上的桃子数以及每个桃子的平均价格w与平均质量y满足函数表达式w＝y+2列出函数关系式，根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设直线AB的函数关系式为：y＝kx+b，
把A（120，300）和B（240，100）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线AB的函数关系式为y＝﹣x+500；
（2）设该树上的桃子销售额为a元，由题意，得；
a＝wx＝（y+2）x＝yx+2x＝（﹣x+500）x+2x＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣210）2+735，
∵﹣＜0，
∴当x＝210时，桃子的销售额最大，最大值为735元．
【点评】本题考查二次函数的应用以及用待定系数法求函数解析式，关键是根据每棵树上的桃子销售额＝每个桃子的平均价格×该棵树上的桃子数列出函数解析式．
25．（12分）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
【分析】（1）直接用顶点的坐标公式，代值进行计算；
（2）将二次函数表达式进行因式分解，即可求解；
（3）由（2）可得二次函数图象与x轴交点坐标，设两交点分别为C，D，由于顶点在y轴右侧，所以顶点横坐标大于0，由此求得a＞1，所以CD＝a+1，由题意可得，A在x轴上方，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，所以CD＜3，否则，A点和交点不可能在x轴异侧，由此得到a+1＜3，即可求解．
【解答】解：（1）根据顶点坐标公式可得，
顶点的横坐标为：＝，
∴该二次函数图象的顶点横坐标为；
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a），
∴p＝﹣1，
（3）∵二次函数图象顶点在y轴右侧，
∴，
∴a＞1，
设二次函数图象与x轴交点分别为C，D，C在D左侧
令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣1或a，
∴C（﹣1，0），D（a，0），
∴CD＝a+1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，
∴CD＜3，
∴a+1＜3，
∴a＜2，
∴1＜a＜2．
【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标公式，二次函数与x轴交点坐标问题，根据题意，理解A点和（m+3，0）两点之间的关系，是解决问题的突破口．
26．（14分）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求证：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．
【分析】（1）①连接OD，由m＝3可得OA＝OD＝2，从而CD是OA的垂直平分线，可得△AOD是等边三角形，故∠OAD＝60°；
②连接AQ，证明△ADH∽△ABQ，可得＝，即得＝2；
（2）连接AQ、BD，证明△APD∽△ADB，得＝，由AP＝1，PB＝m，即得AD＝，而＝，故＝；
（3）由BQ＝•DH，得BQ2﹣2DH2+PB2＝（m﹣1）•DH2+m2，BQ2﹣2DH2+PB2是定值，需（m﹣1）•DH2+m2的值与DH无关，即当m＝1时，BQ2﹣2DH2+PB2的定值为1，此时P与O重合，即可得∠BQD＝45°．
【解答】解：（1）①连接OD，如图：
∵m＝3即PB＝3，AP＝1，
∴AB＝AP+PB＝4，
∴OA＝OD＝AB＝2，
∴OP＝OA﹣AP＝1＝AP，
∴P是OA中点，
又CD⊥AB，
∴CD是OA的垂直平分线，
∴AD＝OD＝OA＝2，即△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
②连接AQ，如图：
∵AB是⊙O直径，
∴∠AQB＝90°，
∵AH⊥DQ，
∴∠AHD＝90°，
∴∠AQB＝∠AHD，
∵＝，
∴∠ADH＝∠ABQ，
∴△ADH∽△ABQ，
∴＝，
由①知：AB＝4，AD＝2，
∴＝2；
（2）连接AQ、BD，如图：
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠APD，
又∠PAD＝∠DAB，
∴△APD∽△ADB，
∴＝，
∵AP＝1，PB＝m，
∴AB＝1+m，＝，
∴AD＝，
与（1）中②同理，可得：＝，
∴＝＝；
（3）由（2）得＝，
∴BQ＝•DH，即BQ2＝（1+m）•DH2，
∴BQ2﹣2DH2+PB2＝（1+m）•DH2﹣2DH2+m2＝（m﹣1）•DH2+m2，
若BQ2﹣2DH2+PB2是定值，则（m﹣1）•DH2+m2的值与DH无关，
∴当m＝1时，BQ2﹣2DH2+PB2的定值为1，此时P与O重合，如图：
∵AB⊥CD，OA＝OD＝1，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠OAD＝45°，
∵＝，
∴∠BQD＝45°，
故存在半径为1的⊙O，对Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2是定值1，此时∠BQD为45°．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及等边三角形性质及判定、线段的垂直平分线、三角形相似的判定及性质、代数式定值等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造相似三角形，求得的值，难点是掌握代数式为定值需满足的条件：与哪个量无关，那个量的系数即为0．
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