2021年湖南省郴州市中考数学试卷

这是一份2021年湖南省郴州市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．a＞b B．|a|＞|b| C．ab＞0 D．a+b＞0
2．（3分）下列垃圾分类图标分别表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×108m B．7×10﹣8m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣9m
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a3）2＝a5
C．＝3 D．（a+b）2＝a2+b2
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
6．（3分）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6
7．（3分）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 　 　．
10．（3分）在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 　 　．
11．（3分）为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛．比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按4：3：3的比例计算．若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为 　 　分．
12．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 　 　度．
13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　 　．
14．（3分）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　 　m．

15．（3分）如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是 　 　cm2（结果用含π的式子表示）．

16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 　 　．

三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）
17．（6分）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
19．（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．

20．（8分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 　 　名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 　 　度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
21．（8分）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）

22．（8分）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
（1）求A，B奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．

24．（10分）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位元）之间有如下表所示关系：
x
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
y
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；

（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

26．（12分）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．


2021年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．a＞b B．|a|＞|b| C．ab＞0 D．a+b＞0
【分析】根据a，b两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．
【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故A项不符合题意；
B．由数轴可知|a|＞|b|，故B项符合题意；
C．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故C项不符合题意；
D．∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故D项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断a，b的正负，以及绝对值的大小．
2．（3分）下列垃圾分类图标分别表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×108m B．7×10﹣8m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣9m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，
∴7nm＝7×10﹣9m．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a3）2＝a5
C．＝3 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，二次根式的性质以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A．x2•x3＝x5，故A选项不符合题意；
B．（a3）2＝a6，故B选项不符合题意；
C．，故C选项符合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的性质、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，牢记完全平方公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算，注意二次根式的化简是解题的关键．
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【解答】解：A．明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；
C．某彩票中奖概率是1%，买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，故本选项不符合题意；
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义，本题属于基础题型．
6．（3分）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6
【分析】①+②得出3x﹣3y＝6，再方程两边都除以3即可．
【解答】解：，
①+②，得3x﹣3y＝6，
两边都除以3得：x﹣y＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
7．（3分）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据简单组合体三视图的意义画出俯视图即可．
【解答】解：该组合体的俯视图如下：

故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，掌握俯视图的意义，画出从上面看所得到的图形是正确判断的前提．
8．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，由题意易得AB＝AD＝BC＝4，BE＝2，由点P的运动，分别计算出，当点P从点A运动到点B时；当在线段BC上时；当点P在线段CD上时，△ADP的面积的表达式，由此判断各个选项．
【解答】解：过点B作BE⊥AD于点 E，如图所示：

边长为4的菱形，ABCD中，∠A＝60°，
∴AB＝AD＝BC＝4，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝2，BE＝2，
当点P从点A运动到点B时，过点P作PF⊥AD于点F，

则AP＝x，AF＝x，PF＝x，
S△ADP＝•AD•PF＝•x＝x，
∴△ADP的面积逐渐增大；
当在线段BC上时，
S△ADP＝•AD•BE＝×2＝4，
∴△ADP的面积保持不变；
当点P在线段CD上时，如图，过点P作PM⊥AD交AD的延长线于点M，

则AB+BC+CP＝x，
则DP＝12﹣x，DM＝6﹣x，PM＝DM＝6﹣x，
S△ADP＝•AD•PM＝×（6﹣x）＝12﹣x，
∴△ADP的面积逐渐减小．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象及菱形的性质，含30°的直角三角形等内容，熟练掌握函数图象及菱形的性质是解题关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 　x＞0　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围．
【解答】解：使有意义，则≥0且x≠0，
解得：x＞0．
故答案为：x＞0．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
10．（3分）在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 　m＜3　．
【分析】对于函数y＝来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小，所以根据已知中：图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大列不等式：m﹣3＜0，解出即可．
【解答】解：比例函数y＝图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3．
故答案为：m＜3．
【点评】本题考查反比例函数y＝的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中k的意义不理解，直接认为m＜0．
11．（3分）为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛．比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按4：3：3的比例计算．若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为 　89　分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出式子，再进行计算即可．
【解答】解：选手甲的最终得分为：＝＝89（分）．
故答案为：89．
【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出式子，是一道基础题，比较简单．
12．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 　720　度．
【分析】首先根据外角和与外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形内角和公式180（n﹣2）计算出答案．
【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于60°，
∴它的边数为：360°÷60°＝6，
∴它的内角和：180°×（6﹣2）＝720°，
故答案为：720．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是正确计算出多边形的边数．
13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　　．
【分析】直接利用当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4m＝0，
解得：m＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
14．（3分）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　1.2　m．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可．
【解答】解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．（3分）如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是 　180π　cm2（结果用含π的式子表示）．

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．
【解答】解：这张扇形纸板的面积＝×2π×10×18＝180π（cm2）．
故答案为180π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 　　．

【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD＝4，AD＝3，根据sin∠ABD＝，
得EP＝，则PC+PB的最小值为PC+PE的最小值，即求CH的长，再通过等积法即可解决问题．
【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，

∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵sinA＝＝，AB＝5，
∴BD＝4，
由勾股定理得AD＝，
∴sin∠ABD＝，
∴EP＝，
∴PC+PB＝PC+PE，
即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，
∴PC+PB的最小值为CH的长，
∵S△ABC＝，
∴4×4＝5×CH，
∴CH＝．
∴PC+PB的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为求CH的长，是解题的关键．
三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）
17．（6分）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（2﹣2）+2×
＝1﹣2+2+2
＝3．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算性质是解答本题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝，
当a＝时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，还要注意运算顺序．
19．（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】先根据SSS证出△BEA≌△DFC，从而得到∠EAB＝∠FCD，根据等角的补角相等可得∠BAC＝∠DCA，从而得到AB∥DC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：在△BEA和△DFC中，

∴△BEA≌△DFC（SSS），
∴∠EAB＝∠FCD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥DC，
∵AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键在于先通过全等三角形证出AB∥CD．
20．（8分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 　200　名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 　198　度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【分析】（1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
（2）根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，
故答案为：200，198；
（2）绿色部分的人数为200﹣（16+44+110）＝30（人），
补全图形如下：

（3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×＝288（人）；
（4）列表如下：

A
B
C
D
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．（8分）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）

【分析】过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，则四边形AMBN是矩形，得AN＝BM，BN＝MA，由坡度的定义和勾股定理求出AN＝BM＝21（米），BN＝AM＝42（米），再证△BCN是等腰直角三角形，得CN＝BN＝42（米），即可求解．
【解答】解：过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示：
则四边形AMBN是矩形，
∴AN＝BM，BN＝MA，
∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2＝，
∴设BM＝x米，则AM＝2x米，
∴AB＝＝＝x＝105，
∴x＝21，
∴AN＝BM＝21（米），BN＝AM＝42（米），
在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°，
∴△BCN是等腰直角三角形，
∴CN＝BN＝42（米），
∴AC＝AN+CN＝21+42＝63≈141.1（米），
答：观光电梯AC的高度约为141.1米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
22．（8分）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
（1）求A，B奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
【分析】（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，由题意：预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，由题意：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，
由题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
则x﹣25＝15，
答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；
（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，
由题意得：，
解得：22.5≤m≤25，
∵m为正整数，
∴m的值为23，24，25，
∴有三种方案：
①购买A种奖品23件，B种奖品77件；
②购买A种奖品24件，B种奖品76件；
③购买A种奖品25件，B种奖品75件．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．
23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．

【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵点D是的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠B＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∵BC∥DE，
∴∠E＝45°，
而∠ODE＝90°，
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴OE＝OD＝5，
∴CE＝OE﹣OC＝5﹣5．

【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．
24．（10分）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位元）之间有如下表所示关系：
x
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
y
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；

（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
【分析】（1）根据表格描点连线即可；
（2）根据图象设y＝kx+b，两点确定一条直线，即可求得；
（3）①根据利润＝（售价﹣进价）×数量，可得关系式；
②令利润＝10，可得关于x的一元二次方程，求解即可，根据题意x≤2×200%可得售价的值．
【解答】解：（1）

（2）根据图象设y＝kx+b，把（4.0，8.0）和（5.0，6.0）代入上式，
得，
解得，
∴y＝﹣2x+16，
∵y≥0，
∴﹣2x+16≥0，
解得x≤8，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+16（x≤8）；
（3）①P＝（x﹣2）y
＝（x﹣2）（﹣2x+16）
＝﹣2x2+20x﹣32，
即P与x的函数表达式为：P＝﹣2x2+20x﹣32（x≤8）；
②∵物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，
∴x≤2×200%，
即x≤4，
由题意得P＝10，
∴﹣2x²+20x﹣32＝10，
解得x1＝3，x2＝7，
∵x≤4，
∴此时销售单价为3元．
【点评】本题考查一次函数和二次函数的应用，解本题的关键熟练掌握一次函数和二次函数的性质，解一元二次方程利润＝（售价﹣进价）×数量等基本知识点．
25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

【分析】（1）根据SAS可证明△AHB≌△AGC；
（2）①证明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG＝∠AEH＝45°，从而根据两角的和可得结论；
②分两种情况：i）如图3，AQ＝QG时，ii）如图4，当AG＝QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，

由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，

∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，

∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．
26．（12分）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a（x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；
（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；
（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PE•EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．



【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题关键是熟练掌握二次函数性质、全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想．
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