2021年江苏省徐州市中考数学试卷

这是一份2021年江苏省徐州市中考数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省徐州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a3）3＝a9 B．a3•a4＝a12 C．a2+a3＝a5 D．a6÷a2＝a3
4．（3分）甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别．具体情况如下表所示．
糖果
袋子
红色
黄色
绿色
总计
甲袋
2颗
2颗
1颗
5颗
乙袋
4颗
2颗
4颗
10颗
若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋（　　）
A．摸到红色糖果的概率大 B．摸到红色糖果的概率小
C．摸到黄色糖果的概率大 D．摸到黄色糖果的概率小
5．（3分）第七次全国人口普查的部分结果如图所示．

根据该统计图，下列判断错误的是（　　）
A．徐州0～14岁人口比重高于全国
B．徐州15～59岁人口比重低于江苏
C．徐州60岁以上人口比重高于全国
D．徐州60岁以上人口比重高于江苏
6．（3分）下列无理数，与3最接近的是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
8．（3分）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（　　）

A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置上）
9．（3分）我市2020年常住人口约9080000人，该人口数用科学记数法可表示为 　 　人．
10．（3分）49的平方根是　 　．
11．（3分）因式分解：x2﹣36＝　 　．
12．（3分）若有意义，则x的取值范围是 　 　．
13．（3分）若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝　 　．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝　 　°．

15．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为 　 　cm．

16．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比 　 　．

17．（3分）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 　 　．

18．（3分）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2．

三、解答题（本大题共有10小题，共86分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）|﹣2|﹣20210+﹣（）﹣1；
（2）（1+）÷．
20．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0；
（2）解不等式组：．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．

22．（8分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．

23．（8分）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
24．（7分）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1、B1、B2…D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．

25．（7分）某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所示．

根据图中信息，解决下列问题．
（1）这11年间，该市中考人数的中位数是 　 　万人；
（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是 　 　年；
（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是 　 　．
A．12.8万人
B．14.0万人
C．15.3万人
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为 　 　．
A．23.1万人
B．28.1万人
C．34.4万人
（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加多少人？（结果取整数）
26．（8分）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　 　个．

27．（9分）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62

28．（11分）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与 A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．
（1）求证：
①△PDF的面积S＝PD2；
②EA＝FD；
（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．


2021年江苏省徐州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数为相反数．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的两个数为相反数，0的相反数是0．
2．（3分）下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a3）3＝a9 B．a3•a4＝a12 C．a2+a3＝a5 D．a6÷a2＝a3
【分析】运用同底数幂乘除法法则、幂的乘方进行计算．
【解答】解：A．（a3）3＝a9，故A正确，本选项符合题意；
B．a3•a4＝a7，故B错误，选项不符合题意；
C．a2+a3不能合并，故C错误，选项不符合题意；
D．a6÷a2＝a4，故D错误，选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的运算，正确利用幂的运算法则进行计算是解题的关键．
4．（3分）甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别．具体情况如下表所示．
糖果
袋子
红色
黄色
绿色
总计
甲袋
2颗
2颗
1颗
5颗
乙袋
4颗
2颗
4颗
10颗
若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋（　　）
A．摸到红色糖果的概率大 B．摸到红色糖果的概率小
C．摸到黄色糖果的概率大 D．摸到黄色糖果的概率小
【分析】由概率公式分别求出小明从甲、乙两个袋子中，摸到红色糖果的概率和摸到黄色糖果的概率，即可求解．
【解答】解：小明从甲袋子中各随机摸出一颗糖果，摸到红色糖果的概率为，摸到黄色糖果的概率为，
从乙袋子中摸出一颗糖果，摸到红色糖果的概率为＝，摸到黄色糖果的概率为＝，
∵＞，
∴小明从甲袋比从乙袋摸到黄色糖果的概率大，
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，求出小明从甲、乙两个袋子中，摸到红色糖果的概率和摸到黄色糖果的概率是解题的关键．
5．（3分）第七次全国人口普查的部分结果如图所示．

根据该统计图，下列判断错误的是（　　）
A．徐州0～14岁人口比重高于全国
B．徐州15～59岁人口比重低于江苏
C．徐州60岁以上人口比重高于全国
D．徐州60岁以上人口比重高于江苏
【分析】根据条形统计图分析数据解答判断即可．
【解答】解：根据表格内容可知，
徐州0～14岁人口比重高于全国，故A正确，不符合题意；
徐州15～59岁人口比重低于江苏，故B正确，不符合题意；
徐州60岁以上人口比重高于全国，故C正确，不符合题意；
徐州60岁以上人口比重低于江苏，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了条形统计图，根据条形统计图分析出正确的数据是解题的关键．
6．（3分）下列无理数，与3最接近的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用逼近法估算无理数大小即可解答问题．
【解答】解：∵（）2＝6，（）2＝7，（）2＝10，（）2＝11，32＝9，
∴与3最接近的是．
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数大小，正确化简二次根式是解题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再上向平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
【点评】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键．
8．（3分）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（　　）

A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【分析】根据圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，设圆的直径，表示出正方形的对角线的长，再分别表示圆、正方形的面积即可．
【解答】解：设AB＝6a，因为CD：AB＝1：3，
所以CD＝2a，OA＝3a，
因此正方形的面积为CD•CD＝2a2，
圆的面积为π×（3a）2＝9πa2，
所以圆的面积是正方形面积的9πa2÷（2a2）≈14（倍），
故选：B．

【点评】本题考查圆的有关计算，正方形的性质，掌握圆的面积和正方形面积的计算方法是得出正确答案的前提．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置上）
9．（3分）我市2020年常住人口约9080000人，该人口数用科学记数法可表示为 　9.08×106　人．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9080000人用科学记数法可表示为9.08×106人．
故答案为：9.08×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）49的平方根是　±7　．
【分析】根据平方根的定义解答．
【解答】解：49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【点评】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
11．（3分）因式分解：x2﹣36＝　（x+6）（x﹣6）　．
【分析】直接用平方差公式分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6）．
【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
12．（3分）若有意义，则x的取值范围是 　x≥1　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，解不等式即可求得x的取值范围．
【解答】解：根据题意得x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
13．（3分）若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝　﹣3　．
【分析】由x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出x1+x2的值．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，a＝1，b＝3，
∴x1+x2＝﹣＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣”是解题的关键．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝　32　°．

【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠ADC＝58°，然后利用互余计算∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝58°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝32°．
故答案为32．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
15．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为 　2　cm．

【分析】利于扇形的弧长公式求得弧长，然后利用底面周长等于弧长列式求得底面半径即可．
【解答】解：∵扇形的圆心角为90°，母线长为8cm，
∴扇形的弧长为＝4π，
设圆锥的底面半径为rcm，
则2πr＝4π，
解得：r＝2，
故答案为2．
【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解底面周长等于扇形的弧长，难度不大．
16．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比 　　．

【分析】先由＝＝，设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，证明＝，又∠B＝∠B，可证明△DBE～△ABC．进而可得相似比为，面积比＝＝，从而可得S△DBE：S四边形ADEC＝4：21．
【解答】解：∵＝＝，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，
∴＝，＝，
∴＝，
又∠B＝∠B，
∴△DBE～△ABC．
相似比为，面积比＝＝，
设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，
∴S四边形ADEC＝25a﹣4a＝21a，
∴S△DBE：S四边形ADEC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△DBE～△ABC得出相似比是解题的关键．
17．（3分）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 　（2，3）　．

【分析】根据题意设出A、D的纵坐标为n，即可得出A（﹣，n），D（，n），根据正方形的性质得出+＝n，求得n＝3，即可求得D的坐标为（2，3）．
【解答】解：设A的纵坐标为n，则D的坐标为n，
∵点A、D分别在函数y＝、y＝的图像上，
∴A（﹣，n），D（，n），
∵四边形ABCD为正方形，\
∴+＝n，
解得n＝3（负数舍去），
∴D（2，3），
故答案为（2，3）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出A、D的坐标是解题的关键．
18．（3分）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为 　24　cm2．

【分析】由面积关系列出关系式可求解．
【解答】解：∵矩形AEGF的周长为20cm，
∴AF+AE＝10cm，
∵AB＝AE+BE，AD＝AF+DF，BE＝FD＝2cm，
∴阴影部分的面积＝AB×AD﹣AE×AF＝（AE+2）（AF+2）﹣AE×AF＝24（cm2），
故答案为：24．
【点评】本题考查了矩形的性质，利用面积和差关系列出关系式是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）|﹣2|﹣20210+﹣（）﹣1；
（2）（1+）÷．
【分析】（1）先分别化简绝对值，零指数幂，立方根，负整数指数幂，然后再计算；
（2）分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+2﹣2
＝1；
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题基础．
20．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个方程的解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1；

（2），
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＜﹣3，
所以不等式组的解集是x＜﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．

【分析】（1）利用“SAS”可证明△AOE≌△CDE；
（2）连接OC，如图，先根据垂径定理得到OD⊥AC，则CE垂直平分OD，所以CD＝CO，再分别证明△OCD为等边三角形和△OCB为等边三角形，从而得到OB＝BC＝CD＝OD，然后根据菱形的判定方法得到结论．
【解答】证明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）连接OC，如图，
∵AE＝CE，
∴OD⊥AC，
∵OE＝DE，
∴CE垂直平分OD，
∴CD＝CO，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC∥OD，
∴∠BCO＝∠COD＝60°，
而OB＝OC，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OC，
∴OB＝BC＝CD＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质和菱形的判定与性质．
22．（8分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．

【分析】（1）由折叠性质可知∠AEF＝∠CEF，由AD∥BC可得∠AFE＝∠CEF，所以∠AEF＝∠AFE，由等角对等边即可得证；
（2）由折叠性质并结合（1）中结论可设CE＝AE＝AF＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理AB2+BE2＝AE2建立方程，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，则FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝3．
【解答】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由矩形性质可得AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF，
故△AEF为等腰三角形．
（2）解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
在Rt△AB中，有AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．
由（1）结论可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．

【点评】本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，等腰三角形的证明，平行线的性质，勾股定理，根据勾股定理建立方程求解线段长是解题的关键．
23．（8分）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
【分析】设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元，400元该商品打折前可购件，打折后可购件，根据“用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件”列出方程，解方程求出x问题得解．
【解答】解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元，
根据题意得，+2＝，
解得，x＝50，
检验：经检验，x＝50是原方程的解．
答：该商品打折前每件50元．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，根据“用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件”找出等量关系是解决问题的关键．
24．（7分）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1、B1、B2…D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．

【分析】根据题意画出该过程的树状图，写出所有可能的情况，即可求圆球落入③号槽内的概率．
【解答】解：根据题意，画出如下树形图，

共有8种情况，其中落入③号槽的有3种，
P（落入③号槽）＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．（7分）某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所示．

根据图中信息，解决下列问题．
（1）这11年间，该市中考人数的中位数是 　7.6　万人；
（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是 　2020　年；
（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是 　C　．
A．12.8万人
B．14.0万人
C．15.3万人
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为 　C　．
A．23.1万人
B．28.1万人
C．34.4万人
（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加多少人？（结果取整数）
【分析】（1）根据中位数的意义，将这11年的中考人数从小到大排列，处在中间位置的一个数即可；
（2）分别计算相邻两年的增长情况进行判断即可；
（3）根据增长的趋势，预测增长的数量进而得出答案；
（4）求出2019年，2020年，2021年中考人数之和即可；
（5）求出2020年七、八、九年级学生人数，按照数学教师与学生的比不变，列方程求解即可．
【解答】解：（1）将这11年的中考人数从小到大，处在中间位置的一个数是7.6万人，因此中位数是7.6万人，
故答案为：7.6；
（2）13.7﹣11.6＝2.1（万人），
11.6﹣9.1＝2.5（万人），
9.1﹣7.4＝1.7（万人），
7.4﹣6.6＝0.8（万人），
6.6﹣6.1＝0.5（万人），
所以2020年增长最快，
故答案为：2020；
（3）2020年比2019年增长2.5万人，
2021年比2020年增长2.1万人，
因此预测2022年比2021年增长约1.6万人，
所以2022年中考人数约为13.7+1.6＝15.3（万人），
故选：C；
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为13.7+11.6+9.1＝34.4（万人），
故选：C；
（5）设需要增加x人，由题意得，
（13.7+11.6+9.1）：4000＝（15.3+13.7+11.6）：（4000+x），
解得x≈720（人），
答：该校数学教师较上年同期增加大约720人．
【点评】本题考查折线统计图，中位数，理解中位数的意义是正确求解的前提，根据折线统计图的数据变化趋势作出预测是解决问题的关键．
26．（8分）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　4　个．

【分析】（1）由抛物线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）由直线AB的解析式求得C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，利用三角形面积公式即可求得；
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P1AB的面积、△P2AB的面积、△P3AB的面积和△P4AB的面积都等于△AOB的面积的一半．
【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．

【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
27．（9分）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62

【分析】（1）在Rt△ADF中，由锐角三角函数定义求出AF的长，再在Rt△AEF中，由锐角三角函数定义求出AE的长即可；
（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，由锐角三角函数定义求出DF、FG的长，得出AG的长，再由锐角三角函数定义求出AN的长，然后证△AMN为等腰直角三角形，得AM＝AN≈123.1（cm），则EM＝AM﹣AE≈32（cm），即可得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，
∴AF＝AD•cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），
在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，
∴AE＝＝＝≈91（cm）；
（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，如图所示：
∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，
在Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），
在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，
∴tan32°＝，
∴FG＝＝≈75.8（cm），
∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），
在Rt△AGN中，AN＝AG•sin∠DGA＝163.8×sin32°＝163.8×0.53≈86.8（cm），
∵∠AMN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM＝AN≈1.41×86.8≈123.1（cm），
∴EM＝AM﹣AE≈123.1﹣91≈32（cm），
当M、H重合时，EH的值最小，
∴EH的最小值约为32cm．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，求出AE、AM的长是解题的关键．
28．（11分）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与 A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．
（1）求证：
①△PDF的面积S＝PD2；
②EA＝FD；
（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．

【分析】（1）①作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，作EH⊥AD，交DA的延长线于点H，由旋转及正方形的性质证明△FPG≌△PCD，可得FG＝PD，可得结论；
②证明△EPH≌△PBA，再证明△EAH≌△EFG，即可得出结论；
（2）在（1）的基础上，作FL⊥EH于点L，设PD＝m，则可证明LH＝AH＝m，设EL＝n，用含m的代数式表示n，用含n的代数式表示EF，可先求出EF的取值范围，再证明∠EMF＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出MN的取值范围．
【解答】（1）证明：如图1，作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，作EH⊥AD，交DA的延长线于点H.
①由旋转得，PF＝CP，∠CPF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDC＝90°，
∵∠FPG+∠DPC＝90°，∠PCD+∠DPC＝90°，
∴∠FPG＝∠PCD，
∵∠G＝∠PDC＝90°，
∴△FPG≌△PCD（AAS），
∴FG＝PD，
∴△PDF的面积S＝PD•FG＝PD2．
②由①得，△FPG≌△PCD，
∴PD＝FG，PG＝CD＝4，
同理，△EPH≌△PBA，
∴EH＝AP，PH＝BA＝4，
∵AH＝4﹣AP＝PD，
∴AH＝FG；
∵AP＝4﹣PD＝DG，
∴EH＝DG；
∵∠H＝∠G＝90°，
∴△EAH≌△DFG（SAS），
∴EA＝FD．
（2）如图2，在图1的基础上，作FL⊥EH于点L，则∠FLE＝∠FLH＝90°，
∴四边形HLFG是矩形，
∴LH＝FG＝AH，FL＝GH＝4+4＝8；
∵EH＝PA，AH＝PD，
∴EH+AH＝PA+PD＝AD＝4；
设PD＝m，EL＝n，（m＞0，n≥0），则LH＝AH＝m，
∴n＝4﹣2m；
∵EF2＝EL2+FL2＝n2+82＝n2+64，
∴EF＝，
∴EF随n的增大而增大；
由n＝4﹣2m可知，n随m的增大而增大，
当m＝2时，n最小＝0，此时，EF最小＝＝8；
若m＝0，则n最大＝4，此时，EF最大＝＝4，
∵点P不与点A、D重合，
∴m＞0，
∴n＜4，EF＜4，
∴EF的取值范围是8≤EF＜，
∴4≤EF＜；
∵∠ADM＝∠GDF＝∠HEA，∠DAM＝∠HAE，
∴∠ADM+∠DAM＝∠HEA+∠HAE＝90°，
∴∠EMF＝90°；
∵N是EF的中点，
∴MN＝EF，
∴MN的取值范围是4≤MN＜．


【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的特征、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及线段和的最值问题等知识与方法，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，恰当地使用转化思想，此题难度较大，综合性较强，属于考试压轴题．
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