2021年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷

这是一份2021年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷，共40页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在实数0，π，|﹣2|，﹣1中，最小的数是（ ）
A．|﹣2|B．0C．﹣1D．π
2．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）
A．1.2×10﹣7B．0.12×10﹣6C．12×10﹣8D．1.2×10﹣6
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4B．a6÷a2＝a3
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9D．（﹣3a3）2＝9a6
5．（3分）一块含30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝146°33′，则∠2的度数为（ ）
A．64°27′B．63°27′C．64°33′D．63°33′
6．（3分）小明收集了鄂尔多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（ ）
A．平均数是B．众数是10
C．中位数是8.5D．方差是
7．（3分）已知：▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（ ）
A．（，3）B．（3﹣，3）C．（﹣，3）D．（2﹣，3）
8．（3分）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N、M，则线段A′M的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ）
①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．
②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．
③当0＜t≤6时，S＝．
④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．
⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）函数的自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）计算：+（2021﹣π）0+（﹣）﹣1＝ ．
13．（3分）如图，小梅把一顶底面半径为10cm的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为120°的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为 cm．
14．（3分）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有 个“〇”．
15．（3分）下列说法不正确的是 （只填序号）
①7﹣的整数部分为2，小数部分为﹣4．
②外角为60°且边长为2的正多边形的内切圆的半径为．
③把直线y＝2x﹣3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y＝2x﹣2．
④新定义运算：m*n＝mn2﹣2n﹣1，则方程﹣1*x＝0有两个不相等的实数根．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程.
17．（8分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（2）先化简：÷（2x﹣），再从﹣2，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．
18．（9分）某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：A﹣动物园；B﹣七星湖；C﹣鄂尔多斯大草原；D﹣康镇；E﹣蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为90°，请根据图中信息解答下列问题．
（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中m＝ ，表示D的扇形的圆心角是 度；
（3）九年级准备在最喜欢A景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．
19．（8分）如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点E，与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP＝S矩形ABCD，求此时点P的坐标．
20．（8分）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．
（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cs50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cs26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，BC于点E，直线EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）当EB＝6，cs∠ABE＝时，求tanH的值．
22．（8分）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
23．（11分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（11分）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝ cm．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．
2021年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）在实数0，π，|﹣2|，﹣1中，最小的数是（ ）
A．|﹣2|B．0C．﹣1D．π
【分析】先化简|﹣2|，然后根据正数大于0，负数小于0即可得出答案．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，
∴﹣1＜0＜|﹣2|＜π，
∴最小的数是﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的比较大小，绝对值，注意负数的绝对值等于它的相反数．
2．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找出几何体从左边看所得到的图形即可．
【解答】解：此几何体的左视图有两列，左边一列有2个小正方形，右边一列有1个小正方形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握所看的位置．
3．（3分）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）
A．1.2×10﹣7B．0.12×10﹣6C．12×10﹣8D．1.2×10﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4B．a6÷a2＝a3
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9D．（﹣3a3）2＝9a6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法运算法则、平方差公式、幂的乘方的运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣3a3）2＝9a6，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则和乘法公式是解题的关键．
5．（3分）一块含30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝146°33′，则∠2的度数为（ ）
A．64°27′B．63°27′C．64°33′D．63°33′
【分析】根据平角的定义得到∠4＝33°27′，再根据三角形外角性质得到∠3＝63°27′，最后根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠4＝180°，∠1＝146°33′，
∴∠4＝33°27′，
∵∠3＝∠4+∠A，∠A＝30°，
∴∠3＝63°27′，
∵直尺的对边互相平行，
∴∠2＝∠3＝63°27′，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质及三角形外角性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及三角形外角的性质是解题的关键．
6．（3分）小明收集了鄂尔多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（ ）
A．平均数是B．众数是10
C．中位数是8.5D．方差是
【分析】由折线图得到2021年3月1日～3月6日的用水数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【解答】解：由折线图知：2021年3月1日～3月6日的用水量（单位：吨）依次是4，2，7，10，9，4，
从小到大重新排列为：2，4，4，7，9，10，
∴平均数是（4+2+7+10+9+4）＝6，
中位数是（4+7）＝5.5，
由4出现了2次，故其众数为4．
方差是S2＝[2×（4﹣6）2+（2﹣6）2+（7﹣6）2+（10﹣6）2+（9﹣6）2]
＝．
综上只有选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了折线图、平均数、中位数、众数及方差等知识，读折线图得到用水量数据是解决本题的关键．
7．（3分）已知：▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（ ）
A．（，3）B．（3﹣，3）C．（﹣，3）D．（2﹣，3）
【分析】利用基本作图得到∠AOF＝∠COF，再根据平行四边形的性质得到AD∥OC，接着证明∠AOF＝∠AFO得到OA＝AF，设AF交y轴于M，如图，设A（t，3），则AM＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+2，利用勾股定理得到t2+32＝（﹣t+2）2，然后解方程求出t即可得到A点坐标．
【解答】解：由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF＝∠COF，
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AD∥OC，
∴∠AFO＝∠COF，
∴∠AOF＝∠AFO，
∴OA＝AF，
设AF交y轴于M，如图，
∵F（2，3），
∴MF＝2，OM＝3，
设A（t，3），
∴AM＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+2，
在Rt△OAM中，t2+32＝（﹣t+2）2，解得t＝﹣，
∴A（﹣，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）；也考查了平行四边形的性质．利用方程的思想求出AM是解决问题的关键．
8．（3分）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设2020年每包口罩为x元，根据数量＝总价÷单价结合花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设2020年每包口罩为x元，
根据题意可得：，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N、M，则线段A′M的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由翻折知：A'B'＝2，由角的关系推导出A'M⊥AB，再通过∠A＝∠A'，则csA'＝csA，求得A'M的长．
【解答】解：由两次翻折知：
CB＝CB'＝6，AC＝A'C＝8，∠A'＝∠A，∠B＝∠BB'C，
∴A'B'＝2，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A'+∠BB'C＝90°，
∴∠A+∠A'B'M＝90°，
∴A'M⊥AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB＝，
∴csA'＝csA＝，
∴，
∴A'M＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了翻折的性质、三角函数等知识，推导出A'M⊥AB是解题的关键．
10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ）
①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．
②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．
③当0＜t≤6时，S＝．
④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．
⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤
【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH＝AB＝6 cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD＝AB＝6 cm；当6≤t≤9时，S＝且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，可得HC＝3 cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论．
【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，
①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，
∴AH＝AB＝6 cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6 cm．
∵当t＝6 s时，S＝9 cm2，
∴×AB×BC＝9．
∴BC＝3 cm．
∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，
∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，
∴HC＝3 cm，即点H为CD的中点．
∴BH＝ cm．
∴AB＝AH＝BH＝6 cm，
∴△ABM为等边三角形．
∴∠HAB＝60°．
∵点M、N同时开始运动，速度均为1 cm/s，
∴AM＝AN，
∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：
此时有两个符合条件的点；
当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：
当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：
综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．
∴②不正确；
③过点M作ME⊥AB于点E，如图，
由题意：AM＝AN＝t，
由①知：∠HAB＝60°．
在Rt△AME中，
∵sin∠MAE＝，
∴ME＝AM•sin60°＝tcm，
∴S＝AN×ME＝ cm2．
∴③正确；
④当t＝9+时，CM＝ cm，如图，
由①知：BC＝3 cm，
∴MB＝BC﹣CM＝2 cm．
∵AB＝6 cm，
∴tan∠MAB＝，
∴∠MAB＝30°．
∵∠HAB＝60°，
∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．
∴∠DAH＝∠BAM．
∵∠D＝∠B＝90°，
∴△ADH∽△ABM．
∴④正确；
⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，
此时MB＝9+3﹣t，
∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．
∴⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）函数的自变量x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：4﹣2x≥0，
解得x≤2．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（3分）计算：+（2021﹣π）0+（﹣）﹣1＝ ﹣4 ．
【分析】利用立方根的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义化简即可．
【解答】解：原式＝﹣2+1﹣3＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了实数的运算，主要涉及立方根的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义．熟练应用非零实数的零次幂等于1，和（a≠0，p为正整数）是解题的关键．
13．（3分）如图，小梅把一顶底面半径为10cm的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为120°的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为 30 cm．
【分析】设扇形纸片的半径为xcm，根据圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长列方程即可解得答案．
【解答】解：设扇形纸片的半径为xcm，由圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长可得：
2π×10＝，
解得x＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是找出等量关系：圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长．
14．（3分）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有 875 个“〇”．
【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为1+4＝5；第2个图形中小圆的个数为1+5+1＝7；第3个图形中小圆的个数为1+6+4＝11；第4个图形中小圆的个数为1+7+9＝17；…由此得出第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．据此可以求得答案．
【解答】解：∵第1个图形中小圆的个数为1+4＝5；
第2个图形中小圆的个数为1+5+1＝7；
第3个图形中小圆的个数为1+6+4＝11；
第4个图形中小圆的个数为1+7+9＝17；
…
∴第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．
∴第30个“龟图”中的“〇”的个数为1+（30+3）+（30﹣1）2＝1+33+841＝875．
故答案为：875．
【点评】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
15．（3分）下列说法不正确的是 ①③④ （只填序号）
①7﹣的整数部分为2，小数部分为﹣4．
②外角为60°且边长为2的正多边形的内切圆的半径为．
③把直线y＝2x﹣3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y＝2x﹣2．
④新定义运算：m*n＝mn2﹣2n﹣1，则方程﹣1*x＝0有两个不相等的实数根．
【分析】①利用无理数的估算即可得到结论；
②设正多边形是n边形．由题意：＝60°，求出n即可解决问题；
③直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；
④根据新运算得到﹣x2﹣2x﹣1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【解答】解：①）∵4＜＜5，
∴2＜7﹣＜3，
∴7﹣的整数部分是2，小数部分是小数部分为5﹣，故符合题意；
②解：设正多边形是n边形．
由题意：＝60°，
∴n＝6，
∴这个正多边形的内切圆的半径为；故不符合题意；
③把直线y＝2x﹣3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y＝2x﹣1，故符合题意；
④根据题意得﹣x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4＝0，
∴方程有两个相等的实数根，故符合题意．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了正多边形与圆，估算无理数的大小，一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为 3﹣3 ．
【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，得到点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB'C'D，则点B的对应点是B'，连接B'O交AD于E，交⊙O于F，则线段B'F的长即为EB+EF的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠FDC＝90°，
∵∠ADF＝∠FCD，
∴∠FDC+∠FDC＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB'C'D，则点B的对应点是B'，
连接B'O交AD于E，交半圆O于F，则线段B'F的长即为BE+EF的长度最小值，OF＝3，
∵∠C'＝90°，B'C'＝C'D＝CD＝6，
∴OC'＝9，
∴B'O＝＝＝3，
∴EP＝3﹣3，
∴FD+FE的长度最小值为3﹣3，
故答案为：3﹣3．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程.
17．（8分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（2）先化简：÷（2x﹣），再从﹣2，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．
【分析】（1）运用不等式性质分别解不等式①和②，然后借助数轴求解集的公共部分即可；
（2）运用分式性质和因式分解进行化简，然后再选取合适的值代入计算．
【解答】解：（1）由①得，
4x﹣3x+6≥4，
x≥﹣2；
由②得，
2（x﹣1）＞5（x+1）﹣10，
2x﹣2＞5x+5﹣10，
﹣3x＞﹣3，
x＜1，
所以不等式组的解集是：﹣2≤x＜1，
它们的解集在数轴上表示如下：
（2）÷（2x﹣）
＝
＝
＝﹣，
∵x≠0，2，﹣2，
∴当x＝1时，原式＝﹣．
【点评】本题考查不等式性质及分式化简，重点是不等式两边同乘（除）一个负数时，注意要改变不等号方向；分式化简求值时，要注意选取使分式有意义的值代入计算．
18．（9分）某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：A﹣动物园；B﹣七星湖；C﹣鄂尔多斯大草原；D﹣康镇；E﹣蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为90°，请根据图中信息解答下列问题．
（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中m＝ 10 ，表示D的扇形的圆心角是 36 度；
（3）九年级准备在最喜欢A景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．
【分析】（1）用A项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用总人数分别减去其它项目的人数得到C项目的人数，即可补全条形图；
（2）用D项目人数除以总人数得到D项目的百分比m的值，用360°乘以D项目人数所占比例可得其圆心角度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出2名学生都是女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）∵B对应的圆心角为90°，B的人数是50，
∴此次抽取的九年级学生共50÷＝200（人），
C对应的人数是：200﹣60﹣50﹣20﹣40＝30，
补全条形统计图如图1所示：
（2）D所占的百分比为×100%＝10%，
∴m＝10，
表示D的扇形的圆心角是360°×＝36°；
故答案为：10，36°；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中选出的2名学生都是女生的结果数为6，
∴选出的2名学生都是女生的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
19．（8分）如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点E，与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP＝S矩形ABCD，求此时点P的坐标．
【分析】（1）根据勾股定理求出BE＝5，由CF﹣BE＝1得CF＝6，设F（﹣6，m），则E（﹣4，m+3），因为E，F都在反比例函数图象上，得出方程﹣6m＝﹣4（m+3），解方程即可；
（2）由S△CEP＝S矩形ABCD，可得CP的长，从而得出P坐标．
【解答】解：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝，
∵CF﹣BE＝1，
∴CF＝6，
∴F的横坐标为﹣6，
设F（﹣6，m），则E（﹣4，m+3），
∵E，F都在反比例函数图象上，
∴﹣6m＝﹣4（m+3），
解得m＝6，
∴F（﹣6，6），
∴k＝﹣36，
∴反比例函数y＝﹣．
（2）∵S△CEP＝S矩形ABCD，
∴，
∴CP＝8，
∴P（0，14）或（0，2）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征、待定系数法求函数的解析式、勾股定理等知识，表示出E，F的坐标是解题的关键．
20．（8分）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．
（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cs50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cs26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
【分析】（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，则点A到直线DE的距离为：AH+CF；在Rt△CDF中，解直角三角形可得CF的长，在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长．
（2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．
【解答】解：（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，
则点A到直线DE的距离为：AH+CF．
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35≈59.5（mm）．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm）．
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝59.5+64＝123.5≈124（mm）．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，B的对应点为B′，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35 mm，DC′＝DC＝70 mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝＝0.5，tan26.6°≈0.5，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系．正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，BC于点E，直线EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）当EB＝6，cs∠ABE＝时，求tanH的值．
【分析】（1）连接OE，先说明OE∥AC，再说明OE⊥HF，即可得到HF是⊙O的切线．
（2）过点E作EG⊥AH于G，分别在Rt△BGE和Rt△ABE中求出线段BG、GE、GO的长，最后根据锐角三角函数求出结果．
【解答】解（1）如图
证明：连接OE，
∵AB＝AC、OB＝OE，
∴OE∥AC，
又∵HF⊥AC，
∴OE⊥HF，
∴HF是⊙O的切线．
（2）过点E作EG⊥AH于G，
∴∠EGB＝90°，EB＝6，
∵cs∠ABE＝，
∴BG＝2，EG＝4，
∵∠H+∠HEG＝90°，∠GEO+∠HEG＝90°，
∴∠H＝∠GEO，
在Rt△BEA中，
cs∠ABE＝，EB＝6，
∴AB＝18，
∴OB＝AB＝9，
∴GO＝OB﹣BG＝7，
∴tanH＝tan∠GEO＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”，也考查了圆周角定理、锐角三角函数等知识．
22．（8分）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据图象设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据宾馆利润数＝单个房间的利润×游客居住房间数列出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
把（280，40，），（290，39）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣x+68（200≤x≤320）；
（2）设宾馆的利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+68）＝﹣x2+70x﹣1360＝﹣（x﹣350）2+10890，
∵﹣＜0，
∴当x＜350时，w随x的增大而增大，
∵200≤x≤320，
∴当x＝320时，w取得最大值，最大值为10800元，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是10800元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据宾馆利润数＝单个房间的利润×游客居住房间数列出二次函数的关系式，用二次函数解决实际问题中的最值问题．
23．（11分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，可得A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，可得C（0，﹣8）；
（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，根据题意得E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），即可得出DE＝﹣m2﹣4m，利用△ACO∽△DOF，建立方程求解即可；
（3）分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，可得出N（﹣1，﹣6），根据CM＝PN＝CN＝，即可求出答案；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），建立方程求解即可；③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），根据N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，即可求得答案．
【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
令x＝0，得y＝﹣8，
∴C（0，﹣8）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，
∵直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，
∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），
∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，
设DE交x轴于点F，则F（m，0），
∴OF＝﹣m，
∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8，
∵OD⊥AC，EF⊥OA，
∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，
∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，
∴∠DOF＝∠OCD，
∴△ACO∽△DOF，
∴＝，
∴OC•DF＝OA•OF，
∴8（2m+8）＝4（﹣m），
解得：m＝﹣，
∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣）2﹣4×（﹣）＝；
（3）存在，
如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，
①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，
∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6），
CN＝＝，
∴CM＝PN＝，
∴M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣）；
②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，
设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），
∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，
解得：a＝，
∴M3（0，﹣），
③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），
∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，
∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，
∴M4（0，﹣12），
综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，待定系数法，相似三角形的判定和性质，菱形性质等知识，第（2）问利用相似三角形性质建立方程求解是解题关键，第（3）问题运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
24．（11分）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝ cm．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）如图①，先根据等腰直角三角形得两锐角为45°，由旋转得∠MCN＝90°，CN＝BM＝1，由勾股定理可得MN的长，最后根据△AMN是等腰直角三角形可得结论；
（2）如图②，延长AB到E，使BE＝DQ，连接CE，证明△CDQ≌△CBE（SAS）和△QCP≌△ECP（SAS），根据等量代换可得△APQ的周长＝2AB＝2a；
（3）如图③，连接 BD，由于AD＝CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BA；易证△BDB'是等边三角形，△AEB'是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE＝B′E＝，BB′＝2 ，根据面积差可得结论．
【解答】解：（1）如图①，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
由旋转得：CN＝BM＝1，∠ACN＝∠B＝45°，∠MAN＝∠BAC＝90°，AM＝AN，
∴∠MCN＝∠ACB+∠ACN＝45°+45°＝90°，△AMN是等腰直角三角形，
∵CM＝2，
∴MN＝＝，
∴AM＝MN＝（cm）；
故答案为：；
（2）如图②，延长AB到E，使BE＝DQ，连接CE，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠CDQ＝90°，
在△CDQ和△CBE中，
，
∴△CDQ≌△CBE（SAS），
∴∠DCQ＝∠BCE，CQ＝CE，
∵∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，
∴∠PCB+∠BCE＝∠PCQ＝∠PCE，
在△QCP和△ECP中，
，
∴△QCP≌△ECP（SAS），
∴PQ＝PE，
∴△APQ的周长＝AQ+PQ+AP＝AQ+PE+AP＝AQ+BE+PB+AP＝AQ+DQ+AB＝2AB＝2a；
（3）如图③，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，
连接BB′，延长BA，作B′E⊥BA于E，
由旋转得：△BCD≌△B′AD，
∴BD＝B'D，∠BDB'＝60°，∠CBD＝∠AB'D，
∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A，△BDB'是等边三角形，
∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，
∴∠BAB′＝∠BDB'+∠AB'D+∠ABD＝135°，
∴∠B′AE＝45°，
∵B′A＝BC＝2，
∴B′E＝AE＝，
∴BE＝AB+AE＝2+＝3，
∴BB′＝＝2，
设等边三角形的高为h，
则勾股定理得：h＝＝，
∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A＝S△BDB′﹣S△ABB′＝×2×﹣××＝5﹣2．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等，四边形和三角形面积计算等知识，关键是利用旋转的性质作辅助线，构建全等三角形来解决问题．
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