基础套餐练01-【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

基础套餐练01

一、多选题

1．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（    ）

A．成绩在分的考生人数最多

B．不及格的考生人数为1000

C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D．考生竞赛成绩的中位数为75分

【来源】第九章统计本章达标检测

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图计算可得.

【详解】

解：由频率分布直方图可得，成绩在内的频率最高，因此考生人数最多，故正确；由频率分布直方图可得，成绩在的频率为0.25，因此，不及格的人数为，故正确；由频率分布直方图可得，平均分为，故正确；因为成绩在内的频率为0.45，的频率为0.3，所以中位数为，故错误，

故选：.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

2．若函数的图象过点，则结论不成立的是（    ）

A．点是的一个对称中心

B．直线是的一条对称轴

C．函数的最小正周期是

D．函数的值域是

【来源】2020届山东省枣庄市第八中学东校区高三一调模拟考试数学试题

【答案】ABC

【解析】

【分析】

先将点代入中可得,则化简后,进而根据余弦型函数的性质依次判断选项即可

【详解】

由函数的图象过点,

可得,即,,,,

故,

当时,,故A、B都不正确；

的最小正周期为,故C不正确；

显然,,故D正确,

故选:ABC

【点睛】

本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．

3．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论可能正确的是（    ）

A． B． C． D．

【来源】2020届山东省临沂市费县高三上学期期末数学试题

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

利用双曲线的定义以及焦点三角形中的余弦定理求解的关系再化简即可.

【详解】

由双曲线的定义有,又,故,.

又,所以.

在焦点三角形中, ,即

,化简得或,即或.

当时即.

当时即.

综上,ABCD均可能正确.

故选：ABCD

【点睛】

本题主要考查了根据双曲线的性质与焦点三角形中的关系求解双曲线基本量关系的方法.属于中档题.

4．如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．平面

C．存在点E，使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值

【来源】2020届山东省临沂市费县高三上学期期末数学试题

【答案】ABD

【解析】

【分析】

对A,根据中位线的性质判定即可.

对B,利用平面几何方法证明再证明平面即可.

对C,根据与平面有交点判定即可.

对D,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.

【详解】

在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;

在B中,因为,,故,

故.故,又有,

所以平面,故B正确；

在C中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故C错误.

在D中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.

二、解答题

5．正项数列的前n项和Sn满足：

 (1)求数列的通项公式；

(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .

【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷带解析)

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【详解】

（1）因为数列的前项和满足：，

所以当时，，

即

解得或，

因为数列都是正项，

所以，

因为，

所以，

解得或，

因为数列都是正项，

所以，

当时，有，

所以，

解得，

当时，，符合

所以数列的通项公式，;

（2）因为，

所以

，

所以数列的前项和为：

，

当时，

有，

所以，

所以对于任意，数列的前项和.

6．在中，角所对的分别为，向量，向量，且.

（1）求角的大小；

（2）求的最大值.

【来源】2020届江苏省无锡市高三上学期期末数学试题

【答案】（1）（2）2

【解析】

【分析】

（1）根据向量平行关系，结合正弦定理化简即可求解；

（2）结合（1）的结果，利用三角恒等变换，化简为即可求得最大值.

【详解】

（1）因为，所以

由正弦定理知:，

，，

又为三角形内角，故，

所以，，即，为三角形内角，故；

（2）由（1）知:，则所以，

，则，故，

即时，取最大值2.

【点睛】

此题考查平面向量共线的坐标表示，利用正弦定理结合三角恒等变换求解最大值，需要注意考虑最大值取得的条件.

7．如图，矩形所在的平面垂直于平面，为的中点，，，，.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值.

【来源】2020届江苏省无锡市高三上学期期末数学试题

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）建立空间直角坐标系，根据即可求解异面直线所成角的余弦值；

（2）分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值，再求出正弦值.

【详解】

矩形所在的平面垂直于平面，为的中点，在平面内过作的垂线交于，根据面面垂直的性质可得平面，

同理在平面内过作的垂线交于，根据面面垂直的性质可得平面，所以两两互相垂直，

如图所示，建立空间直角坐标系，

因为，所以，

易得，

（1）由上述点坐标可知，，所以直线与所成角的余弦值；

（2）因为，设平面的法向量为，则

解得，取，可得，

设平面的法向量为，则

解得，取，可得，

设二面角的平面角为，则，

所以.

【点睛】

此题考查求异面直线的夹角和二面角的大小，建立空间直角坐标系，利用向量求解，需要注意准确计算，防止出现计算错误.

8．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：

（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.

（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；

（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.

【来源】2020届河南省高三上学期末数学理科试题

【答案】（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析

【解析】

【分析】

（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.

（2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.

（ii）由（i）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果.

【详解】

（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，

则P（ξ＝2），P（ξ＝3），

则这3天中空气质量至少有2天为优的概率

为；

（2）（i），

，

，

X的分布列如下：

（ii）由（i）可得：

E（X）＝02201480302（元），

故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），

即30E（X）＝9060元，

设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，

可得：，

，，

E（Y）＝02201480320（元），

所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成

经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），

由19840+9060＝28900＞28800，

即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成

经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.

【点睛】

本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。

9．如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.

（1）求抛物线C的方程.

（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【来源】2020届山东省临沂市高三上学期期末考试数学试题

【答案】（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称

【解析】

【分析】

（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，则直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得，根据焦点弦公式，求出的值，即可得到抛物线方程.

（2）假设满足条件的点P存在，设，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，PN关于x轴对称，所以，即可求出的值. 当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.

【详解】

解：（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，

，的方程为.

由得.

设，，则，

∴，，

∴抛物线C的方程为.

（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，

①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），

由得，

，

，.

∵直线PM，PN关于x轴对称，

∴，，.

∴，

∴时，此时.

②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，

易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.

综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.

【点睛】

本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题.

10．已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）求a，b的值；

（2）若对恒成立，求m的取值范围.

【来源】2019年12月广东省高三调研考试数学（文)试题

【答案】（1）,

（2）

【解析】

【分析】

（1）求导可得,由题,切线方程斜率为,解得,代回函数求得,即,可求得；

（2）如果求对恒成立,即求,利用导数判断单调性求得最小值即可求解不等式

【详解】

解：（1）,

因为在处的切线方程为,即,此时切线斜率,

则,解得,

所以,

所以,则,解得

（2）由（1）知,

,

设函数,则,所以在为增函数,因为,

令,得；令,得,

所以当时,；当时,,

所以,

从而,即

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求值,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查转化思想,考查运算能力