基础套餐练03-【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

基础套餐练03

一、多选题

1．已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（   ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】

【分析】

由等比数列的公比，可知，又由条件且，判断和中至少有一个数是负数，公差，再判断其他选项.

【详解】

等比数列的公比，

和异号， ，故A正确；

但不能确定和的大小关系；故B不正确；

和异号，且且，

和中至少有一个数是负数，

又 ， ，故D正确，

一定是负数，即 ，故C不正确；

故选：AD

【点睛】

本题考查等差和等比数列的性质的判断和综合应用，意在考查推理和判断能力，属于中档题型.

2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．

【详解】

解：∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，

由向量加法的三角形法则得

，A对；

∵，∴，

∴，

又F为AE的中点，∴，B对；

∴，C对；

∴，D错；

故选：ABC．

【点睛】

本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．

3．已知点为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为（    ）

A． B．

C．（） D．（）

【答案】AD

【解析】

【分析】

依次计算每个曲线方程的焦点判断得到答案.

【详解】

A. ，抛物线的焦点为，满足；   

B. ，抛物线的焦点为，不满足；

C. （），焦点为，或或曲线表示圆不存在焦点，

，则，均不满足；

D. （），双曲线的焦点为，满足；

故选：.

【点睛】

本题考查了曲线的焦点，意在考查学生对于圆锥曲线知识的综合应用.

4．已知函数，，则以下结论错误的是（    ）

A．任意的，且，都有

B．任意的，且，都有

C．有最小值，无最大值

D．有最小值，无最大值

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据与的单调性逐个判定即可.

【详解】

对A, 中为增函数,为减函数.故为增函数.故任意的,且,都有.故A错误.

对B,易得反例,.故不成立.故B错误.

对C, 当因为为增函数,且当时,

当时.故无最小值,无最大值.故C错误.

对D, ,当且仅当即时等号成立. 当时.故有最小值,无最大值.

故选：ABC

【点睛】

本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.

二、解答题

5．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°.

（1）求△ABC的面积；

（2）若D，E是BC边上的三等分点，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理，可得△ABC为直角三角形，然后可计算b，可得结果.

（2）计算，然后根据余弦定理，可得，利用平方关系，可得结果.

【详解】

（1）△ABC中，由csinC＝asinA+bsinB，

利用正弦定理得c2＝a2+b2，所以△ABC是直角三角形.

又a＝3，B＝60°,所以；

所以△ABC的面积为.

（2）设D靠近点B，则BD＝DE＝EC＝1.

，

所以

所以.

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，属基础题.

6．已知等差数列的前项和为，若，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先设等差数列的首项为，公差为，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可得出结果；

（2）由裂项相消法，直接求解，即可得出结果．

【详解】

（1）设等差数列的首项为，公差为，因为 ，，

则：，解得，

所以．

（2）由于，

所以．

则．

【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于基础题型．

7．在四棱锥中，，，，，分别为的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围.

【答案】(1)详见解析; (2).

【解析】

【详解】

（Ⅰ），分别为的中点，

为矩形，

∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF

∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，

∴平面ABE⊥平面BEF．   

(Ⅱ),又，

又,所以面,

法一：建系为轴，为轴，为轴,

，,

平面法向量，平面法向量·

，可得.

法二：连交于点,四边形为平行四边形，所以为的中点，连,

则,面,,

作于点，所以面,

连,则,即为所求

在中，,

解得.

8．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？

（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？

（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望．

附：

【答案】（1）没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关；（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】

（1）根据独立性检验的思想即可判断.

（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，X的可能取值为，求出各随机变量的概率，列出分布列即可求出期望.

【详解】

（1）完善列联表如下所示：

，

故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．

（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，故X的可能取值为，

,,,

,，

故X的分布列为：

所以.

【点睛】

本题考查了独立性检验以及数学期望，解题的关键是列出列联表和分布列，属于基础题.

9．顺次连接椭圆：的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，，其中为坐标原点，求．

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（1）利用已知建立a，b的方程，解出a，b即可.

（2）先考虑斜率不存在时，则与不存在，可设直线为，与椭圆联立，利用韦达定理结合条件解得k，再利用弦长公式计算即可.

【详解】

（1）由题可知，，

解得，.

所以椭圆的方程为.

（2）设，，

当直线斜率不存在时，明显不符合题意，故设的方程为，

代入方程，整理得.

由，解得，

所以，.

，

解得.

.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设而不求，利用韦达定理是解决此类问题的常见方法，考查运算能力，属于中档题．

10．已知函数为自然对数的底数．

（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；

（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（Ⅰ），由题设知，求得的值；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，则方程

在内由两个不等实根,可列不等式组

,即可求a的范围

【详解】

解：（Ⅰ），由题设知，故

（Ⅱ）由题知，在内由两个不等实根，

.

【点睛】

本题考查了函数在一点处导数的几何意义，导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围.