基础套餐练04-【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

基础套餐练04

一、多选题

1．下列判断正确的是（    ）

A．若随机变量服从正态分布，，则；

B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；

C．若随机变量服从二项分布：，则；

D．已知直线经过点，则的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据正态分布曲线的对称性可判断A选项；B选项为充分不必要条件；根据二项分布均值公式求解可判断C选项；由题意知，根据基本不等式求出的范围即可判断D选项.

【详解】

A选项，若随机变量服从正态分布，，根据正态分布曲线的对称性有，所以，A选项正确；

B选项，因为，直线平面，所以直线平面，又直线平面，所以，充分性成立；设，在内取平行于的直线，则且，但是与相交，必要性不成立，B不正确；

C选项，因为，所以，C正确；

D选项，由题意知，因为，，所以，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：ACD

【点睛】

本题考查正态分布曲线的对称性，二项分布的期望，线、面之间的位置关系，均值不等式，属于中档题.

2．对于函数（其中），下列结论正确的是（    ）

A．若，，则的最小值为；

B．若，则函数的图象向右平移个单位可以得到函数的图象；

C．若，则函数在区间上单调递增；

D．若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则.

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据三角函数的单调性，周期，最值，平移依次判断每个选项判断得到答案.

【详解】

，则，当时，.

故，正确；

的图象向右平移个单位可以得到函数，故错误；

，则，函数先增后减，故错误；

函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则，

故，，正确；

故选：.

【点睛】

本题考查了三角函数的平移，最值，单调性，周期，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.

3．已知，，记，则(    )

A．的最小值为 B．当最小时，

C．的最小值为 D．当最小时，

【答案】BC

【解析】

【分析】

将所求最小值转化为为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方；利用导数可求得与直线平行的函数的切线，由此可求得切点坐标，则切点到直线距离的平方即为所求最小值，利用点到直线距离公式求得最小值；求得过切点且与垂直的直线方程，两直线方程联立即可求得最小时，的值.

【详解】

由得：

的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方

由得：

与直线平行的直线的斜率为

则令，解得：    切点坐标为

到直线的距离

即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为

的最小值为

过与垂直的直线为

即

由，解得：，即当最小时，

故选：

【点睛】

本题考查两点间距离的最小值的求解问题，关键是能够通过等价转化将问题转化为曲线上的点到直线距离的最小值的求解问题，可知与直线平行并和曲线相切的直线所形成的切点到直线的距离最小.

4．在棱长为1的正方体中，点M在棱上，则下列结论正确的是（    ）

A．直线与平面平行

B．平面截正方体所得的截面为三角形

C．异面直线与所成的角为

D．的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据线面平行，异面直线夹角，截面图形，线段最值的计算依次判断每个选项得到答案.

【详解】

如图所示：易知平面平面，平面，故直线与平面平行，正确；

平面截正方体所得的截面为为四边形，故错误；

连接，，易知，故异面直线与所成的角为，

，故，故正确；

延长到使，易知，故，

当为中点时等号成立，故正确；

故选：.

【点睛】

本题考查了异面直线夹角，截面图形，线面平行，最短距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

二、解答题

5．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2acosC=2b-c．

（1）求角A的大小；

（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．

【答案】（1）A=；（2）6

【解析】

【分析】

（1）先根据正弦定理化边为角，再利用三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得cosA=，即得结果，（2）根据余弦定理求AD，再根据三角形面积公式得结果.

【详解】

（1）∵2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinC=sinB，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．

∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，

∴由A（0，π），可得角A=；

（2）在△ABD中，AB=3，BD=，cosA=，

由余弦定理可得：13=9+AD2-3AD，解得：AD=4（负值舍去），

∵BD为AC边上的中线，∴D为AC的中点，∴AC=2AD=8，

∴S△ABC=AB•AC•sinA==6．

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

6．在公差为的等差数列中，，，，且.

（1）求的通项公式；

（2）若，，成等比数列，求数列的前项和.

【答案】（1）或. （2）

【解析】

【分析】

（1）是自然数集，求出的值，写出通项公式；

（2）由，，成等比数列，确定通项公式，代入到中，是用裂项相消的方法求前项和．

【详解】

解：（1）∵，，，且，

∴或

当时，；

当时，.

（2）∵，，成等比数列，∴，

∴，

则，

故.

【点睛】

等差数列的通项公式为；

当通项公式为时，适合用裂项相消法求前项和．

7．如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，，//，.

（1）证明：//平面BCE.

（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF，然后根据勾股定理计算可得BF＝DE，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.

（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一个法向量为，平面CDF的法向量为，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果.

【详解】

（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DEAD，

因为AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，

又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，

所以DE//BF，又BF＝DE，

所以平行四边形BEDF，故DF//BE，

因为BE平面BCE，DF平面BCE

所以DF//平面BCE；

（2）建立如图空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（4，0，0），

C（0，4，0），F（4，3，﹣3），

，

设平面CDF的法向量为，

由，令x＝3，得，

易知平面ABF的一个法向量为，

所以，

故.

【点睛】

本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.

8．2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，并绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示年龄在内的人数，求的分布列和数学期望；

（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时，求的值.

【答案】（1）分布列见解析；；（2）7.

【解析】

【分析】

（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在内的人数，可得的可能取值为0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望；（2）设年龄在内的人数为，则，设,可得若，则，；若，则，，从而可得结果.

【详解】

（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，

年龄在内的人数为人，

年龄在内的人数为人，

年龄在内的人数为人.

所以的可能取值为0，1，2，

所以，

，

，

所以的分布列为

.

（2）设在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，

所以，

所以 .

设 ，

若，则，；

若，则，.

所以当时，最大，即当最大时，.

【点睛】

本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.

9．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点(直线与坐标轴不垂直)，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于.

(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的最大值.

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

【分析】

(Ⅰ) 联立可得.设点的坐标为，点的坐标为,再计算出的斜率为，的斜率为，即得.因此与垂直. (Ⅱ)先求出 ，再求，即得的最大值.

【详解】

(Ⅰ)联立可得.

设点的坐标为，点的坐标为，则

，.

于是有.

因为的中点为，所以.因此的斜率为.

因为直线交直线于，所以.故的斜率为，

即得.因此与垂直，.

(Ⅱ)设

.

令，则.

由于，故.

因此(当时取到最大值，也即).

综上所述，的最大值为.

【点睛】

（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，考查椭圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.(2)解答第2问的关键有两点，其一是求出，其二是求函数的最大值.

10．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，然后根据的符号进行分类讨论，并借助解不等式组的方法得到单调区间；（2）根据（1）中的结论求出当时，函数在上的最小值，因此问题转化为有解，即有解，构造函数，求出函数的最小值即可得到所求．

【详解】

（1）由，

得，

①当时，

令，得，

所以，或，即或，

解得或．

令，得，

所以或，即或，

解得或．

所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．

②当时，

令，得，由①可知；

令，得，由①可知或．

所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．

综上可得，

当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为．

当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，．

（2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以不等式有解等价于有解，

即有解，

设，则，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的极小值也是最小值，且最小值为，

从而，

所以实数的取值范围为．

【点睛】

（1）求函数的单调区间时，若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时，需要对字母进行分类讨论，讨论时要选择合适的标准，同时分类时要做到不重不漏．

（2）解答不等式有解的问题时，常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题，解题时要用到以下结论：在上有解；在上有解．若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．