第5讲 焦点三角形（原卷版）+解析版

第5讲   焦点三角形

一．技巧内容

二．技巧推导过程

1.

2.椭圆中焦点三角形的面积公式

3.   椭圆中的离心率

4.

5.双曲线中焦点三角形的面积公式

6.双曲线中的离心率

技巧1  焦点三角形的周长

【例1】（2020·黑龙江）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（  ）

A．20 B．16 C．18 D．14

【举一反三】

1．（2020·西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（　　）

A． B． C． D．

2．（2019·广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是__________．

技巧2  焦点三角形的面积

【例2-1】（2020·安徽省定远中学）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则__________．

【例2-2】（2020·山西大同）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为           

【举一反三】

1．（2020·云南陆良）已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则（   ）

A．2 B．4 C．6 D．8

2（2020·广东汕头）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为(  )

A．36 B．16 C．20 D．24

3．（2020·上海普陀·高三三模）设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

技巧3  焦点三角形的离心率

【例3-1】设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为  (      )

A.            B.            C.            D.

【例3-2】（2020·河北衡水中学）已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考（理））已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·安徽合肥·高三二模（文））记，为椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是(    )

A． B．

C． D．

1．（2020·全国高三单元测试）已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )

A．6 B．5 C．4 D．3

2．（2020·广西钦州一中）设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

3．（2020·河南高三其他（文））椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（    ）

A．1 B．

C． D．2.

4．（2020·黑龙江绥化·高三其他（理））已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·山西临汾）已知椭圆的左，右焦点分别为，若上的点到的距离为，则△的面积为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·陆川中学）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

7．（2020·全国高三一模（文））设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．（2019·江西南昌十中））已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·伊美区第二中学）设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（     ）

A． B．

C．24 D．48

10．（2020·四川青羊·树德中学高二月考（文））设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．（2020·吉林松原·高三其他（文））已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（    ）

A．15 B．16 C．18 D．20

12．（2020·陕西省丹凤中学高三一模（理））设，分别是双曲线的左右焦点.若点在双曲线上，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

13．（2020·陕西高三其他（文））已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，则的取值范围是（    ）

A．  B． 

C．  D．

14．（2020·河北张家口·高三期末（理））已知双曲线的焦点为，，点为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．

15．（2020·全国高三一模（理））已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为（  ）

A． B．

C． D．2

16．（2019·平罗中学高三二模（理））已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则双曲线E的离心率为　　

A． B． C．2 D．3

17．（2020·陕西西安·高三其他（理））已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是______.

18．（2020·全国高二课时练习）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.

19．已知是椭圆的左，右焦点，点在上，且，则的面积为______．