第6讲 离心率（原卷版）+解析版

第6讲   离心率 

一．焦点三角形中的离心率

1.椭圆

（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为、，则(正弦定理)。

2.双曲线：利用焦点三角形两底角来表示:。

二．双曲线的渐进线与离心率关系

直线与双曲线相交时，两个交点的位置

（1）两个交点在双曲线的两支：

（2）两个交点在双曲线的同一支:

（3）两个交点在双曲线的左支:

（4）两个交点在双曲线的右支:

三．焦点弦与离心率关系

，则有(为直线与焦点所在轴的夹角)。

技巧1  焦点三角形中的离心率

【例1】(1)．已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B．2 C． D．

（2）（2020·安徽省高三三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·全国高三专题练习）已知点是以、为焦点的椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率（    ）

A． B． C． D．

3．（2019·辽宁沈阳市·沈阳二中高三月考（理））椭圆的离心率为，、是椭圆的两个焦点，是圆上一动点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．0

技巧2 点差法中的离心率

【例2】（1）（2020·四川外国语大学附属外国语学校）过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

（2）（2020·安徽省潜山第二中学）已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为

A． B． C． D．

【举一反三】

1．已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．3

2．（2020·全国高三专题）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ）.

A． B．  C． D．

3．（2020·全国高三专题练习）若，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

技巧3  渐近线与离心率

【例3】已知圆的一条切线与双曲线有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【举一反三】

1．若双曲线（，）与直线无公共点，则离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（      ）

A． B．(1,2), C． D．

3．（2020·河南新乡市·高三）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

技巧4 焦点弦与离心率

【例4】（2020·石嘴山市第三中学高三三模）已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（　　）

A． B． C． D．

【举一反三】

1．（2020·河南省高三月考）倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（  ）

A． B． C． D．

2．（2020·全国高三专题练习）已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

3．（2019·浙江高三其他模拟）已知过双曲线的右焦点F，且与双曲线的渐近线平行的直线l交双曲线于点A，交双曲线的另一条渐近线于点B（A，B在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

1．已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

2．设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3．（2019·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上一点，若为直角三角形，则这样的点P有（    ）.

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

4．（2020·广东广州市）已知,分别是椭圆的左, 右焦点, 椭圆上存在点    使为钝角, 则椭圆的离心率的取值范围是

A． B． C． D．

5．（2020·河北石家庄市）已知椭圆 ，点M,N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使 ,则离心率e的取值范围为

A． B．

C． D．

6．（2020·全国高三专题练习）椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B．

C． D．－1

7．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2．P是椭圆上一点．PF1F2为以F2P为底边

的等腰三角形，当60°<PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A．（） B．（） C．（） D．（0）

8．（2020·广东肇庆市）已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率与直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（   ）

A． B． C． D．

9．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

11．（2020·全国）若、为椭圆：()长轴的两个端点，垂直于轴的直线与椭圆交于点、，且，则椭圆的离心率为______

12．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过右焦点作倾斜角60°的直线交于，两点（A在第一象限），则________.

13．（2020·全国高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是____.

14．（2020·台州市书生中学高三其他）已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为     

15．（2020·开鲁县第一中学）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是    

16．（2020·四川省绵阳南山中学高三）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为        

17．（2020·河北省高三）已知椭圆，，，过点的直线与椭圆交于，，过点的直线与椭圆交于，，且满足，设和的中点分别为，，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为      

18．（2020·广东省高三月考）已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为