第7讲 点差法（原卷版）+解析版

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第7讲 点差法
技巧导图


技巧详讲

1. 点差法适用范围
（1） 中点弦
（2） 圆锥曲线有三点P、A、B且A、B关于原点对称
2.点差法在中点弦中推导过程



3点差法在对称中的推导过程



4.点差法在圆锥曲线中的结论

总结：小题可以直接利用结论解题，解答题需要写推导过程
例题举证

技巧1 点差法在椭圆在的应用
【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）直线与椭圆相交于两点，若中点的横坐标为，则=（ ）
A． B． C． D．
(2)2．（2020·高密市教育科学研究院高三其他模拟）已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（ ）
A． B． C． D．
（3）．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（　　）
A． B． C． D．
（4）．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点所在的直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）D（3）B（4）B
【解析】（1）设把代入得，
，因为中点的横坐标为，所以，解得.故选:C
（2）设，则
，两式相减并化简得，
即,
由于且，由此可解得，
故椭圆的方程为.故选：D.
（3）设，，的中点，
则，.
因为，两点在椭圆上，所以，.
两式相减得：，
，
，，
即，解得.故选：B
（4）设，，中点坐标，代入椭圆方程中，得到，，
两式子相减得到，，
结合，，，且，代入上面式子得到，，故选：B.

【举一反三】
1．（2020·广东珠海市·高三一模）已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得.
设，由题得，
所以，
两式相减得，
所以，
所以，
所以.
故选：C
2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，
所以，相减得，
∴，
即，
又∵，，
所以，即，
解得，又，
∴．
即椭圆的方程为.
故选：A．
3．（2020·全国高三专题练习）椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，由题知：
，.
设线段中点为，则.
将代入得到.
因为，故.
故选：B
4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆于两点，线段的中点为为坐标原点，若直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
则，，
两式相减，得．
两点直线的倾斜角为
，
，即，①
直线的斜率为②
由①②可得得．故选：B．
5．（2020·湖南长沙市·浏阳一中高三）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令AB的中点为M，坐标为，则，
因为A、B两点是直线与椭圆的交点，且焦点在x轴，所以则故选：B
技巧2 点差法在双曲线在的应用
【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为（ ）
A．4x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0
C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0
（2）（2020·沙坪坝区·重庆一中高三）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为2，其焦点到渐近线的距离为，过点的直线与双曲线交于，两点.若是的中点，则直线的斜率为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（3）．（2020·河南鹤壁市·鹤壁高中高三）已知直线:与双曲线:(,)交于,两点,点是弦的中点,则双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
（4）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）C（3）D（4）B
【解析】（1）依题意，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有
两式相减得＝，即＝×.
又线段AB的中点坐标是，因此x1＋x2＝1，y1＋y2＝（－1）×2＝－2，
所以＝－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1＝，
即2x＋8y＋7＝0.故选：C．
（2）由题,双曲线中,又焦点到渐近线的距离,且,解得.故双曲线.
设则,两式相减得
.又中点,
故.故选：C
（3）设
点是弦的中点
根据中点坐标公式可得:
,两点在直线:
根据两点斜率公式可得:
两点在双曲线上
,即
解得:故选:D.
（4）∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.
【举一反三】
1．（2019·陕西宝鸡市·高考模拟）双曲线的一条弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设弦的两端点，，，，斜率为，则，，
两式相减得，即，
弦所在的直线方程，即．故选C
2．（2019·广东佛山市·佛山一中高三期中）已知双曲线C：(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0
【答案】B
【解析】设直线方程为，
联立，消去y，得，
设，
因为线段AB的中点为，所以，解得，
所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，即，故选B.
3．（2020·吉林长春市·高三月考）双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设代入双曲线方程作差有:，
有，所以，故选：B．
4．（2020·全国高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，　①
.　②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故选：D
5．（2020·全国高三专题练习）已知斜率为的直线与双曲线：(，)相交于、两点，且的中点为.则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设
，两式做差得
整理得，
而，，，
代入有，即
可得．
故选：A.
技巧3 点差法在抛物线在的应用
【例3】（1）（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2020·贵州高三其他模拟）已知抛物线，倾斜角为的直线交于两点.若线段中点的纵坐标为，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）设过点的直线交抛物线于、两点.
若直线垂直于轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，由于点为线段的中点，则，
由于点、在抛物线上，可得，
两式作差得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.故选：A.
（2）设直线方程为，联立得，
设，则，
因为线段中点的纵坐标为，所以，所以.故选：C.
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习）直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
，两式相减得，
即，
当时，，
因为点是的中点，所以，，
解得：
故选：A
2．（2020·河北衡水市·衡水中学高三）已知直线与抛物线交于、两点，直线的斜率为，线段的中点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设、\，
则，，两式相减得，
所以，解得，得，所以，
得直线，联立，得，，
由韦达定理得，，
所以，
故选：B.
技巧强化

1．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则=2，=－2，
， ① ， ②
①－②得，
∴===，
又==，∴=，又9==，
解得=9，=18，∴椭圆方程为，
故选：D．
2．（2020·全国高三专题练习）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为．
则，，两式相减得，
又，，，
代入解得．
故选：．
3．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线(为坐标原点)的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设A，，则，
A，代入椭圆方程得：，
两式相减可得：，
化简可得：，即：，

故选：B
4．（2020·全国高三专题练习）已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均不为0，若直线斜率之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，所以不妨设为.
设，，，，，，，
两式作差得，
则，，
同理可得，
所以，
故选：．
5．（2020·全国高三专题练习）中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得c＝5，设椭圆的方程为，联立得，
消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，
设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由根与系数关系得x1＋x2＝，
由题意知x1＋x2＝1，即＝1，
解得a2＝75，所以该椭圆方程为.
故选：C
6．（2020·全国高三专题练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，
所以线段MN的中点为P，.
由题意知，kOP＝，所以．
故选：A.
7．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三）已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】设、，则，，
所以，所以，
又弦中点坐标为，所以，，又，
所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：B.
8．（2020·青海西宁市·高三二模）已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，
所以直线的斜率，
设，则①②
由①②得则
因为是弦的中点，
因为直线的斜率为1即所以
，则，故选：D
9．（2020·银川三沙源上游学校高三）已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设，因为是弦的中点，根据中点坐标公式得.
直线:的斜率为，故.
因为两点在双曲线上，所以，
两式相减并化简得，
所以，所以.故选：D
10．（2020·齐齐哈尔市第八中学校高三）已知A，B为双曲线1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若kAB•kOM，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设，，则＝，＝，
由可得．∴ ，
即，则双曲线的离心率为．故选：D．
11．（2020·甘肃兰州市·高三月考）过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣2＝k（x﹣4）
代入双曲线C：，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0
设此方程两实根为，，则
又P（4，2）为AB的中点，所以8，解得k＝1
当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，
所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10
|AB|||•4．
故选D．
12．（2020·全国高三专题练习）已知F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点R(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，R为线段AB的中点.若|FA|+|FB|=5，则直线l的斜率为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】由于R(2，1)为AB中点，设A(xA，yA)，B(xB，yB).根据抛物线的定义|FA|+|FB|=xA+xB+p=2×2+p=5，解得p=1，抛物线方程为y2=2x.，两式相减并化简得，即直线l的斜率为1.
故选：B
13．（2020·湖北武汉市·高三三模）设直线与抛物线交于，两点，若线段中点横坐标为2，则直线的斜率（ ）.
A．2 B． C． D．或2
【答案】A
【解析】联立直线与抛物线，
消整理可得，
设，，
由题意，
解可得，解可得或，
综上可知，.
故选：A
14．（2020·全国高三月考（理））已知圆与抛物线相交于两点，且，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，则线段的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为关于轴对称，所以纵坐标为，
横坐标为1，代入，
可得.设点，.
则则，
，又关于直线对称.
，即，，
又的中点一定在直线上，.
线段的中点坐标为.
故选:A.
15．（2020·全国高三月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为，若抛物线上存在关于直线对称的不同两点和，则线段的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为焦点到准线的距离为，则，
所以．设点，．
则，则，
，又，关于直线对称．，即，，
又的中点一定在直线上，
．
线段的中点坐标为．
故选：A.
16．（2020·全国高三专题练习）已知直线l过抛物线的焦点，并交抛物线C于A、B两点，，则弦AB中点M的横坐标是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】直线l过抛物线的焦点, 交抛物线C于A、B两点
则其焦点坐标为,准线方程为
过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于,交轴于,如下图所示:

设
由抛物线定义可知,
由,可知
因为为的中点,
由梯形的中位线性质可知
则
即M的横坐标是
故选:C
17．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）抛物线方程为，动点的坐标为，若过点可以作直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设,
由题得，
所以，
故选：A
18．（2020·全国高三专题练习）过椭圆内的一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程 .
【答案】
【解析】解：设直线与椭圆的交点为，、，
为的中点
，
又、两点在椭圆上，则，
两式相减得
于是
，即，
故所求直线的方程为，即．
故答案为：
19．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于、两点，且的中点为，求双曲线的方程 .
【答案】
【解析】设双曲线的方程为(，)，由题意知，，
设、则有：，，
两式作差得：，又的斜率是，
∴，代入得，，，∴双曲线标准方程是.
20．（2020·全国高三专题练习）直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________.
【答案】
【解析】设，中点，
则满足，两式相减得，
整理得，即，即，
.
故答案为：.
21．（2020·全国高三其他模拟）已知直线与椭圆相交于，两点，若中点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】设，，代入椭圆方程得，，
两式作差得，整理得，
因为，所以，
又因为，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
22．（2019·浙江宁波市·镇海中学高三开学考试）已知椭圆：的离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆r上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为、、且均不为0，O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为2，则___________．
【答案】
【解析】由椭圆：的离心率为，
设 ，则
椭圆的标准方程为：
设
因为边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，
故 ，
由 在椭圆上，则 ，
两式相减化简得： ，所以
即： 同理得：，所以
又因为

故答案为：
23．（2020·四川成都市·高三二模）设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为___________．
【答案】
【解析】联立直线与抛物线，得，
则，又，故，.
故答案为：.
24．（2020·全国高三月考）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则椭圆的方程为______.
【答案】
【解析】设，，则，，①，②，
由①－②得，即
所以，
又，
所以，即，又，解得，，
所以椭圆方程为．
25．（2020·江苏）椭圆与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为________．
【答案】
【解析】设，线段AB的中点为
则，
即

，


故答案为：
26．（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）已知双曲线的中心在原点，是一个焦点，过的直线与双曲线交于，两点，且的中点为，则的方程是______.
【答案】
【解析】由，的坐标得.
设双曲线方程为，则.
设，，
则，，.
由，得，
即，
∴.
于是，，
所以的方程为.
故答案为：
27．（2020·广东广州市·高三月考）已知直线与双曲线交于两点，当两点的对称中心坐标为时，直线的方程为________.
【答案】
【解析】设，，则，
相减得到，即，.
故直线方程为：，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线中的点差法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
28．（2020·西藏拉萨市·拉萨中学高三月考）已知双曲线上存在两点A，B关于直线对称，且线段的中点在直线上，则双曲线的离心率为_________.
【答案】2
【解析】点A，B关于直线对称，
线段的中点在直线上
所以得，
设，所以
将代入双曲线，则有
两式相减得.
∵，∴，
∴.
∵点A，B关于直线对称
∴，
所以，即.
∴双曲线的离心率为.
故答案为：
29．（2020·全国高三月考）过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为双曲线方程为
则
设,
因为点恰为线段的中点
则
则,两式相减并化简可得
即直线的斜率为2
所以直线的方程为
,化简可得
因为直线与双曲线有两个不同的交点
所以
解得且
所以的取值范围为
故答案为:
30．（2019·云南玉溪市·高三月考）已知抛物线，焦点到准线的距离为1，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点，，则线段的中点坐标为_________.
【答案】
【解析】焦点到准线的距离为1，，
设，，中点，，
得：，即，即
故，又因为在直线上，所以，
从而线段的中点坐标为.故答案为：.