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    第8讲 外接球与内切球(原卷版)+解析版

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    这是一份第8讲 外接球与内切球(原卷版)+解析版,文件包含第8讲外接球与内切球原卷版docx、第8讲外接球与内切球解析版pdf等2份试卷配套教学资源,其中试卷共61页, 欢迎下载使用。

    8 外接球与内切球  

    一.外接球8大模型秒杀公式推导

    1.墙角模型

    (1)    使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

    (2)推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径

    (2)    秒杀公式:

    (4)图示过程

     

     

    (3)    秒杀公式:

     

     

     

    2.汉堡模型

    (1)使用范围:有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体

    (2)推导过程

    第一步:取底面的外心O1,,过外心做高的的平行且长度相等,在该线上中点为球心的位置

    第二步:根据勾股定理可得

    (3)秒杀公式:

    (4)图示过程

     

     

    3.斗笠模型

    (1)使用范围:正棱锥或顶点的投影在底面的外心上

    (2)推导过程

    第一步:取底面的外心O1,,连接顶点与外心,该线为空间几何体的高h

    第二步:在h上取一点作为球心O

    第三步:根据勾股定理

    (3)秒杀公式:

    (4)图示过程

     

     

    4.折叠模型

    (1)使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠

    (2)推导过程

    第一步:过两个平面取其外心H1、H2,分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O

    第二步:计算

    第三步:

    (3)秒杀技巧:

    (4)图示过程

     

    5.切瓜模型

    (1)使用范围:有两个平面互相垂直的棱锥

    (2)推导过程:

    第一步:分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N,过两个外心做两个垂面的垂线,两条垂线的交点即为球心O,取BC的中点为M,连接FM、MN、OF、ON

    第二步:

    (3)秒杀公式:

    (4)图示过程

    6.麻花模型

    (1)使用范围:对棱相等的三棱锥

    (2)推导过程:设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c

    (3)秒杀公式:

    (4)图示过程

     

    7.矩形模型

    (1)使用范围:棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边

    (2)推导过程:根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得,斜边为球的直径

    (3)秒杀公式:

    (4)图示过程

    1. 鳄鱼模型

    (1)使用范围:适用所有的棱锥

    (2)推导过程:

    (3)秒杀公式:

    (4)图示过程

    二.内切球的半径---等体积法

    1. 推导过程

     

    1. 秒杀公式:
    2. 图示过程

    特别说明:下面例题或练习都是常规方法解题,大家可以利用模型的秒杀公式

    技巧1 外接球之墙角模型

    【例1(2020·河南高三月考)已知长方体中,与平面所成角的正弦值为,则该长方体的外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    【举一反三】

    1.(2020·全国高三专题练习)棱长为的正方体的外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    2.(2019·绥德中学)球面上有四个点,若两两垂直,且,则该球的表面积为(  

    A. B. C. D.

     

    技巧2 外接球之汉堡模型

    【例2(2020·四川泸州市·高三)已知四棱锥中,四边形是边长为2的正方形,平面,则该四棱锥外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    【举一反三】

    1.(2020·广州市广外)各顶点都在一个球面上的正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直于底面)高为2,体积为8,则这个球的表面积是(   

    A. B. C. D.

    2.(2020·辽宁省高三)如图,在三棱锥ABCD中,BD⊥平面ADCBD=1,AB=2,BC=3,AC,则三棱锥ABCD外接球的体积为(   

    A.4π B.3π C.2π D.4π

    3.(2020·广东广州市·高三月考)在长方体中,,点在正方形内,平面,则三棱锥的外接球表面积为(   

    A. B. C. D.

    4.(2020·全国高三月考(文))三棱柱中,平面,则该三棱柱的外接球的体积为(   

    A. B. C. D.

    技巧3 外接球之斗笠模型

    【例3(2020·江苏南通市·高三期中)正三棱锥中,,则该棱锥外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

     

    【举一反三】

    1.(2020·秦皇岛市抚宁区第一中学)已知正三棱锥的侧棱长为,底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是________.

    2.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )

    A. B. C. D.

     

    技巧4 外接球之折叠模型

    【例4(2020·广东省高三)在三棱锥ABCD中,△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形,且二面角的平面角为120°,则该三棱锥的外接球的表面积为(  )

    A.7π B.8π C. D.

    【举一反三】

    1.(2020·山东枣庄市·高三期中)已知二面角的大小为120°,且.若点PABC都在同一个球面上,则该球的表面积的最小值为______.

    2.(2020·南昌市八一中学)如图所示,三棱锥SABC中,△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形,二面角ABCS的大小为,若SABC四点都在球O的表面上,则球O的表面积为(   

    A.π B.π C.π D.3π

    技巧5 外接球之切瓜模型

    【例5(2020·内蒙古赤峰市·高三月考)已知三棱锥中,,面,则此三棱锥的外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

     

     

    【举一反三】

    1.(2020·四川泸州市·高三一模)已知三棱锥中,平面平面,且都是边长为2的等边三角形,则该三棱锥的外接球表面积为(   

    A. B. C. D.

     

    技巧6 外接球之麻花模型

    【例6(2020·四川省眉山市彭山区第二中学)在四面体中,若,则四面体的外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    技巧7 外接球之矩形模型

    【例7(2020·新疆维吾尔自治区)在四面体中,,则四面体的外接球的表面积为(    )

    A. B. C. D.

    【举一反三】

    1.(2020·黑龙江省哈尔滨三中)四面体中,平面,则该四面体外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    2.(2020·重庆一中高三)已知四面体满足:,则四面体外接球的表面积为_______.

     

    技巧8 内切球半径

    【例8(2020·全国)正四面体的外接球与内切球的表面积比为(   

    A. B. C. D.不确定

    【举一反三】

    1.(2020·北京)如图所示,球内切于正方体.如果该正方体的棱长为a,那么球的体积为(   

    A. B. C. D.

    2.(2020·山西大同一中)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形,若该棱柱存在外接球与内切球,则其外接球与内切球表面积之比为( 

    A.25︰1 B.1︰25 C.1︰5 D.5︰1

    3.(2020·江苏无锡市第六高级中学)正三棱柱有一个半径为的内切球,则此棱柱的体积是(    ).

    A. B. C. D.

    1.(2020·江苏镇江市·高三期中)直三棱柱的所有顶点都在同一球面上,且,则该球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    2.(2020·江西高三其他模拟)在三棱锥中,,则该三棱锥的外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    3.(2020·四川泸州市·高三)已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,且,则该四棱锥外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    4.(2020·四川宜宾市·高三)已知点PABC在同一个球的球表面上,PA⊥平面ABCABACPB=BC=PC=,则该球的表面积为(   

    A.6π B.8π C.12π D.16π

    5.(2020·江西赣州市·高三)四面体中,底面,则四面体的外接球表面积为(   

    A. B. C. D.

    6.(2020·全国高三专题练习))平行四边形中,,且,沿将四边形折起成平面平面,则三棱锥外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    7.(2020·湖北省鄂州高中高三月考)张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家.他的数学著作有《算罔论》,他曾经得出结论:圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点,若线段的最小值为,利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为(   

    A.30 B. C. D.36

    8.(2020·江苏南京市第二十九中学高三期中)已知直三棱柱的顶点都在球上,且,则此直三棱柱的外接球的表面积是(   

    A. B. C. D.

    9.(2020·全国高三专题练习)已知三棱柱(侧棱底面,底面是正三角形)内接于球O与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是,则球O的表面积是(   

    A. B. C. D.

    10.(2020·甘肃省民乐县第一中学高三)在四棱锥中,,则三棱锥外接球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    11.(2020·天津红桥区·高三期中)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是(   

    A.10 B.20 C.24 D.32

    12.(2020·河南洛阳市·高三月考)我国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.如图,三棱柱为一个“堑堵”,底面是以为斜边的直角三角形且,点在棱上,且,当的面积取最小值时,三棱锥的外接球表面积为(   

    A. B. C. D.

    13.(2020·山西高三月考)已知正三棱柱的体积为54,,记三棱柱的外接球为球,则外接球的表面积是__________.

    14.(2020·济南市·山东省实验中学高三月考)在三棱锥中,侧棱底面则该三棱锥的外接球的体积为__________.

    15.(2020·湖南怀化市·高三期中)如图所示,在三棱锥中,,则三棱锥的外接球的表面积为______.

    16.(2020·广东肇庆市·高三月考)鳖臑(biē nào)出自《九章算术·商功》:“斜解立方,得两重堵.斜解壍堵,其一为阳马,一为鳖臑.”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称.如图,三棱锥是一个鳖臑,其中,且,过点BAC引垂线,垂足为E,过ECD的平行线,交AD于点F,连接BF.设三棱锥的外接球的表面积为,三棱锥的外接球的表面积为,则________.

    17.(2020·上海市松江二中高三期中)若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上,则该球的体积为______.

    18.(2020·江苏南通市·高三期中)在我国古代数学名著《九章算术》中,把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”,已知三棱柱是一个“堑堵”,其中,则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.

    19.(2020·合肥市第六中学高三期中)在长方体中,,点在正方形内,平面,则三棱锥的外接球表面积为______.

    20.(2020·湖南高三开学考试)在四面体中,平面,则该四面体的外接球的表面积为________.

    21.(2020·全国高三月考)我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2,则其内切球的体积为______.

    22.(2020·江西南昌市·南昌十中)已知在三棱锥中,,则当点到平面的距离最大时,三棱锥外接球的表面积为_____.

    23.(2021·福建省福州第一中学高三期中)三棱锥中,,面的面积为,则此三棱锥外接球的表面积为___.

    24.(2020·福建福州市·高三期中)在三棱锥中,平面垂直平面,则三棱锥外接球的表面积为_________.

    25.(2020·全国高三其他模拟)在三棱锥中,平面,若三棱锥的体积为,则此三棱锥的外接球的表面积为______

    26.(2020·全国高三专题练习)设为球的球面上的四个点,满足.若四面体的表面积为,则球的表面积为______.

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