第9讲 法向量秒求（原卷版）+解析版

第9讲  法向量秒求

一．叉乘法求解法向量

二．掐头去尾交叉法求法向量

说明：两种方法的实质是一样，都可以使用

【例1】（2020·辽宁节选）已知平面上三点，，，则平面的一个法向量为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解法一：常规法

由已知，，

设平面的一个法向量为，由，可得，取，可得，，所以，平面的一个法向量为.故选：B.

解法二：叉乘法

由已知，，设平面的一个法向量为

解法三：掐头去尾交叉法

【例2】（2020·全国）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】解法一：常规法

,

设为平面的法向量，

则，化简得，∴，故选C.

解法二：叉乘法

解法三：掐头去尾交叉法

1．（2020·全国）在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（　　）

A． B．

C． D．

 【解析】解法一：常规法

，，设平面的一个法向量为，

由则，解得，．

又，因此，平面的一个法向量为.故选：A.

解法二：叉乘法

，，设平面的一个法向量为

解法三：掐头去尾交叉法

，，设平面的一个法向量为

2．（多选）（2020·南京市第十四中学）已知6，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（    ）

A． B． C．4， D．4，

【答案】BD

【解析】解法一：常规法

设平面是坐标原点的一个法向量是y，，

则即得，

令，解得

令，解得

故或，．

故选：BD．

解法二：叉乘法

解法三：掐头去尾交叉法

3．（2020·天津市第五十五中学）如图，长方体中，，，，，分别是，的中点，以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是___________.

【答案】，3，

【解析】解法一：常规法

长方体中，，，，，分别是，的中点，

以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，4，，，2，，

，4，，，2，，

设平面的一个法向量是，，，

则，取，得，3，，

则平面的一个法向量是，3，.故答案为：，3，.

解法二：叉乘法

，4，，，2，，

设平面的一个法向量是，，，

解法三：掐头去尾交叉法

4．（2020·鱼台县第一中学）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】解法一：常规法

是正方形，且，

，

，

，，

，

，

，，

，

故，

故，

∵向量是平面OCB1的法向量，

，

，

故，，取，故，

平面的法向量

故答案为：（答案不唯一）

5．（2020·全国）已知，，.求平面的一个法向量；

【答案】平面的一个法向量为（答案不唯一）；

【解析】解法一：常规法

因为，，，

所以，，

设为平面的一个法向量，

则有，所以，不妨令，

则，

所以平面ABC的一个法向量为；

解法二：叉乘法

所以，，设为平面的一个法向量，

解法三：掐头去尾交叉法

（2）若存在实数，，使，

即，

则，解得，

所以，即向量与平面平行.

6．（2020·河南郑州市·高三月考）如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．

求证：；

若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】证明见解析；.

【解析】由题意，得底面圆，点，分别为，的中点，

， 底面圆，

在底面圆上，．

，为正三角形，

又因为为的中点，，

又因为，且平面，平面，

平面，

平面，．

解法一：常规法

如图，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

故，，，

设平面的法向量为，

由，可得，

令，得为平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成的角的正弦值为．

解法二：叉乘法

，，设平面的法向量为，

解法三：掐头去尾交叉法

7．（2020·浙江衢州市）如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC中点，E为AD中点，PA＝AC＝2，BC＝1．

（1）求证：AD⊥平面PBC：

（2）求PE与平面ABD所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：∵平面ABC，∴

又因为，

∴平面PAC，∴．

∵，D为PC中点，

∴，又∵，

∴平面PBC；

（2）解法一：常规法

以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系

，，，∴，，

∴，，．

设平面ABD的法向量为，

则，令，则，得．

设PE与平面ABD所成角为，则

．

解法二：叉乘法

，．设平面ABD的法向量为，

设PE与平面ABD所成角为，则

．

解法三：掐头去尾交叉法

设PE与平面ABD所成角为，则

．

8．（2020·河北邢台市·邢台一中高三月考=）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且，，为的中点.

求证：；

求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】证明见解析；.

【解析】因为，

所以，

又为的中点，

所以，，

连接，在中，为的中点，

所以.

因为，

所以，

又，

所以平面.

又平面，

所以.

解法一：常规法

如图，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，.

设平面的一个法向量为，

由，得

令，可得.

设直线与平面所成角为，

则.

即直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：叉乘法

，设平面的一个法向量为，

则.

即直线与平面所成角的正弦值为.

解法三：掐头去尾交叉法

，设平面的一个法向量为，

则.即直线与平面所成角的正弦值为.

9．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）见详解；（2）

【解析】（1）证明：

∵底面是边长为2的正方形，

，为中点，

∵，.

∵平面，平面，

∴.

∵

∴平面，

∵平面，∴，

∵.

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）解法一：常规法

以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立如图空间直角坐标系.

则，，，

，，，

，

设平面的一个法向量，

则，

取，得.

设平面的一个法向量为.

则，

取.得，

，

∴二面角的正弦值

为

解法二：叉乘法（法向量求解略）

解法三：掐头去尾交叉法（法向量求解略）

10．（2020·河北省晋州市）如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，

又AP∩AC=A，

故BD⊥平面PAC.

（2）解法一：常规法

（3）由（1）得.

设平面PCD的法向量为，则，

即，∴，故平面PCD的法向量可取为,

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.

设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得，

故二面角P—CD—B余弦值的大小为.

解法二：叉乘法

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.

设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得，

故二面角P—CD—B余弦值的大小为.

解法三：掐头去尾交叉法

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.

设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得，

故二面角P—CD—B余弦值的大小为.