浙江省金华市浦江县第五中学2021-2022学年九年级上学期第一次学情调研数学试题（word版 含答案）

九年级数学第一次学情调研2021.10

一．选择题（每题3分，共30分）

1．下列四个图形从中任取一个是中心对称图形的概率是（　　）

A． B．1 C． D．

2．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点B′，若点B′、A、C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°

3．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　）

A．8cm               B．10cm

C．16cm D．20cm

4．将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向上平移3个单位，得到的图象的表达式为（　　）

A．y＝2（x﹣4）2﹣3 B．y＝2（x+4）2+3 

C．y＝2（x﹣4）2+3 D．y＝2（x+4）2﹣3

5．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（　　）

A．2.5        B．3.5 C．4.5 D．5.5

6．关于二次函数y＝2x2+4x﹣3，下列说法正确的是（　　）

A．图象与y轴的交点坐标为（0，3） 

B．图象的对称轴在y轴的右侧 

C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 

D．y的最小值为﹣5

7．若过⊙O内一点P的最长弦的长度为8，最短弦的长度为4，则OP的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．4

8．已知点（﹣1，y1），（﹣3，y2），（﹣2，y3）都在函数y＝3（x+1）2﹣2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2

9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．

其中正确结论的个数是（　　）

A．4      B．3        C．2 D．1

10．如图，在△AOB中，已知∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝4．

将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）

到△A1OB1处，此时线段OB1与边AB的交点为点D，

则在旋转过程中，线段B1D长的最大值为（　　）

A．4.5       B．5 C． D．

二．填空题（每题6分，共24分）

11．抛物线y＝3（x﹣4）2+5的顶点坐标为　      　．

12．在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个．这些球除颜色不同外，其它无任何差别，搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n＝　 　．

13．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为　    　cm．

14．矩形ABCD的边AB＝3，BC＝4，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点中至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是　      　．

15．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角

墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形

花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为　    　m2．

16．如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等

分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O

的半径为3，则AP+BP的最小值为　            　．

三．解答题（共8小题，共66分）

17．（本题6分）一只不透明的箱子里共有3个球，把它们的分别编号为1，2，3，这些球除编号不同外其余都相同．

（1）从箱子中随机摸出一个球，求摸出的球是编号为1的球的概率；

（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球并记录下编号，求两次摸出的球都是编号为3的球的概率．

18．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，把Rt△ABC绕着B点

逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上．

（1）若∠BDA＝70°，求∠BAC的度数；

（2）若BC＝8，AC＝6，求△ABD中AD边上的高．

19．（本题6分）如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度

AB＝6m，弓形的高EF＝2m，现设计安装玻璃，

请帮工程师求出所在圆O的半径．

20．（本题8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点

C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线解析式和顶点D的坐标；

（2）求抛物线与x轴的两交点A、B的坐标；

（3）你可以直接写出不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集吗？

21．（本题8分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦

AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．

（1）求AC的长；

（2）若大圆半径为13cm，求小圆的半径．

22．（本题10分）某商店经营一种小商品，进价为40元，据市场调查，销售价是60元时，平均每天销售量是300件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．

（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式；

（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？

23．（本题10分）已知：如图，在⊙O中，M是弧AB的中点，过点M

的弦MN交弦AB于点C，设⊙O半径为4cm，MN＝cm，

OH⊥MN，垂足是点H．

（1）求OH的长度；

（2）求∠ACM的度数．

24．（本题12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于

A（﹣1，0）、B（2，3）两点，与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△ABD的面积；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC

是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

九年级数学答案

一、选择题（30分）

二、填空题（24题）

11.    （4，5）          12.     　3　            13.    4或2          

14.   3＜r＜5            15.      144              16.    3　          

三、解答题

17  解：（1）从箱子中随机摸出一个球，摸出的球是编号为1的球的概率为：；

（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为．

18解：（1）∠BAC＝50°；

（2）BF＝3．

19．解：∵弓形的跨度AB＝6m，EF为弓形的高，

∴OE⊥AB于F，

∴AF＝AB＝3m，

∵所在圆O的半径为r，弓形的高EF＝2m，

∴AO＝r，OF＝r﹣2，

在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2＝AF2+OF2，

即r2＝32+（r﹣2）2，

解得r＝（m）．

20．解：（1）根据题意得x＝﹣＝1，0+c＝﹣3，解得b＝﹣2，c＝﹣3

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；

（2）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1

∴A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）；

（3）x2﹣2x﹣3＜0的解集为﹣1＜x＜3．

21．解：（1）作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点

∴AE＝AB＝5，CE＝CD＝3

∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm；

（2）连接OA，OC，

∵在Rt△AOE中，AE＝5cm，OA＝13cm，

∴OE＝＝＝12cm．

在Rt△OCE中，

∵CE＝3cm，OE＝12cm，

∴OC＝＝＝5（cm）．

22．解：（1）依题意有：y＝（60﹣x﹣40）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000；

（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣2.5）2+6125；

∵a＝﹣20＜0，

∴当x＝2.5时y取最大值，最大值是6125，即降价2.5元时利润最大，

∴每件小商品销售价是60﹣2.5＝57.5元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6125元．

23解：连接MO交弦AB于点E，

（1）∵OH⊥MN，O是圆心，

∴MH＝MN，

又∵MN＝4cm，

∴MH＝2cm，

在Rt△MOH中，OM＝4cm，

∴OH＝＝＝2（cm）；

（2）∵M是弧AB的中点，MO是半径，

∴MO⊥AB          

∵在Rt△MOH中，OM＝4cm，OH＝2cm，

∴OH＝MO，

∴∠OMH＝30°，

∴在Rt△MEC中，∠ACM＝90°﹣30°＝60°．

解：（1）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，

得，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴点D（1，4），

设直线AB的解析式为：y＝kx+d，

代入A、B两点，

得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为y＝x+1，

设直线AB与抛物线对称轴交于点E，则E（1，2），

∴；

（3）存在，理由如下：

设点P（1，m），

∴AC2＝12+32＝10，CP2＝12+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，AP2＝m2+4，

△ACP是直角三角形需分三种情况讨论：

①当∠APC＝90°时，AP2+CP2＝AC2，即m2+4+m2﹣6m+10＝10，

解得：m1＝1，m2＝2，

此时点P的坐标为（1，1）或（1，2）；

②当∠ACP＝90°时，AC2+CP2＝AP2，即10+m2﹣6m+10＝m2+4，

解得：，

此时点P的坐标为；

③当∠PAC＝90°时，AP2+AC2＝PC2，即m2+4+10＝m2﹣6m+10，

解得：，

此时点P的坐标为；

综上所述，满足条件的P点的坐标为（1，1）或（1，2）或或．