小学数学人教版六年级上册3 圆的面积测试题

2021-2022学年六年级数学上册典型例题系列之

第五单元圆的面积问题（一对一解析版）

【考点一】圆面积的比较问题。

【方法点拨】

周长相等的图形（长方形、正方形、圆）中，圆的面积最大。

【典型例题】

用2根都是31.4cm长的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆，哪个图形的面积大？大多少？

解析：

正方形的边长：31.4÷4=7.85（厘米）

正方形的面积：7.85×7.85=61.6225（平方厘米）

圆的半径：31.4÷3.14÷2=5（厘米）

圆的面积：3.14×52=78.5（平方厘米）

圆的面积更大。

【对应练习1】

王大爷家院子里，原有一个用栅栏围成的长5米，宽3米的长方形羊圈，因发展需要，现在要改围成一面靠墙且占地至少达到35平方米的羊圈，你以为下面第（　　）个方案比较合理。

A． B． C．

解析：C

【对应练习2】

用3根同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆形，则围成的（   ）面积最大。

A．长方形   B．正方形     C．圆形   D．无法比较

解析：C

【对应练习3】

如图中圆的半径为，长方形的长为，图中甲、乙阴影部分的面积相比较，（     ）。

A．甲的面积大     B．乙的面积大      C．一样大   D．无法比较

解析：比较甲乙的大小，即比较圆与长方形的大小。

πr2-2r×r>0

A

【对应练习4】

下面三幅图的阴影部分的面积相比较，________的面积大。

A.图(1)         B.图(2)          C.图(3)        D.同样大

解析：D

【考点二】已知圆的周长，求圆的面积。

【方法点拨】

已知圆的周长，先求出圆的半径，再根据圆的面积公式求面积。

【典型例题】

已知圆的周长C=25.12分米，求圆的面积。

解析：r：25.12÷3.14÷2=4（分米）

s：3.14×42=50.24（平方分米）

答：略。

【对应练习1】

儿童乐园有一个圆形花坛，量得它的周长是50.24米。

（1）这个花坛的占地面积是多少平方米？

解析：200.96

（2）如果要在花坛周围修一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？

解析：53.38

（3）如果要给这条小路铺上地砖，每平方米需要80元，这样一共需要多少元？

解析：4270.4

【对应练习2】

用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（     ）厘米，所画的圆的面积是（     ）平方厘米。

解析：50.24÷3.14÷2=8（厘米）；3.14×82=200.96（平方厘米）

【对应练习3】

圆的周长为12.56米，这个圆的半径是多少米？面积是多少平方米？（π=3.14）

解析：半径：12.56÷3.14÷2=2（米）

面积：3.14×22=12.56（平方米）

【对应练习4】

一个正方形的周长和一个圆的周长相等。正方形的边长是12.56米，圆的面积是多少？

解析：圆的周长：12.56×4=50.24（米）

半径：50.24÷3.14÷2=8（米）

面积：3.14×82=200.96（平方米）

【考点三】圆与长方形面积的拼切转化。

【方法点拨】

把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。

【典型例题】

如图，把一个圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是（       ）cm，面积是（       ）cm2.

解析：3.14×4=12.56；3.14×42=50.24

【对应练习1】

如图，下面的长方形是由一个圆沿半径切拼而成的，已知它的长6.28厘米。求它的面积。

解析：半径：6.28÷3.14=2（厘米）

面积：3.14×22=12.56（平方厘米）

【对应练习2】

把一个圆平均分成若干个小扇形，再拼成一个近似的长方形，拼成的这个长方形的长是，这个圆的面积是（        ），长方形的周长是（       ）。

解析：半径是3；面积是28.26；周长是24.84

【对应练习3】

把一个圆剪拼成一个和它面积相等的近似长方形，这个长方形的宽是5厘米，它的长是多少厘米？

解析：3.14×5×2÷2=15.7（厘米）

补充练习：

1.如图是把一个圆平均分成若干份后，拼成的一个近似长方形，已知长方形的长比宽多4.28厘米，则圆的面积是（       ）平方厘米．

2.如图，把一个圆形纸片剪开后，拼成一个近似长方形，这个长方形的周长是24.84厘米，圆形纸片的面积是（　　）平方厘米（π取3.14）

A．28.26  B．25.12    C．18.84    D．12.56

【考点四】求半圆的面积。

【方法点拨】

半圆的面积：÷2。

【典型例题】

如图，求它的面积。

解析：3.14×（6÷2）2÷2=28.26÷2=14.13（平方厘米）

【对应练习1】

刘大爷用15.7米长的篱笆靠墙围了一个半圆形的养鸡场，鸡场的面积是多少平方米？

解析：15.7÷3.14=5（米）

3.14×52÷2=78.5÷2=39.25（平方米）

【对应练习2】

李大爷想用31.4m长的篱笆，靠墙围成一个半圆形养鸡场，你能帮他设计一下吗？

解析：半径：31.4÷3.14=10（m）

面积：3.14×102÷2=157（平方米）

【对应练习3】

王爷爷用18.84m长的竹篱笆围成一个半圆形鸡舍（如图）。

①这个鸡舍的占地面积是多少？

②如果每0.36m2可以养一只鸡，这个鸡舍能养多少只鸡？

解析：（1）半径：18.84÷3.14=6（米）

面积：3.14×62÷2=56.52（平方米）

（2）56.52÷0.36=157（只）

【考点五】圆的面积：羊吃草问题。

【方法点拨】

该题型关键是画出羊吃草的范围图，较复杂的问题是由多个不同部分的图形组成，需要分开计算面积。

【典型例题1】

把一只羊拴在一块长8m，宽6m 的长方形草地上，拴羊的绳长2m，那么这只羊吃到草的最大面积是多少平方米？如果要使羊吃草的面积最小，应该将羊拴在这个长方形草地的什么位置？

解析：（1）最大面积：3.14×22=12.56（平方米）

（2）最小面积：3.14×22×=3.14（平方米）

答：将羊拴在长方形的四个角上。

【典型例题2】

草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？

解析：羊活动的范围受到绳长的影响，从图中可以分析得到，羊活动的范围由四分之三个半径为30米的圆的面积、四分之一个半径为20米的圆、四分之一个半径为10米的圆的面积组成。

【对应练习1】

一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积。

解析：狗不能走到三角形里面去，如示意图，狗所到达的面积由300°圆心角，半径为4m的扇形和两个半径为4-3=1米，圆心角为120°的扇形组合而成的。

3.14×42×+3.14×（4-3）2×=43.96（平方米）

【对应练习2】

草场上有一个木屋，木屋的地基是边长3米的正方形，A是木屋的一角，在A点有一木桩，在木桩上用6米长的绳子拴一匹马，这匹马的活动范围有多大?

解析：画出示意图，

【考点六】圆环的面积。

【方法点拨】

圆环的面积：或

【典型例题】

一个圆形花坛的直径是20米，现在要在花坛的周围铺一条2米宽的石板路，这条石板路的占地面积是多少平方米？

解析：内圆半径：20÷2=10（米）

外圆半径：10+2=12（米）

3.14×（122-102）=138.16（平方米）

答：略。

【对应练习1】

一个环形铁片的内圆半径8厘米，外圆半径12厘米。求这个环形铁片的面积。

解析：3.14×（122-82）=251.2（平方厘米）

【对应练习2】

一个圆环，它的内圆半径是2分米，外圆直径是5分米，这个圆环的面积是多少平方分米？

解析：3.14×（2.52-22）=7.065（平方分米）

【对应练习3】

校园圆形花池的半径是6米，在花池的周围修一条1米宽的水泥路，求水泥路的面积是多少平方米？   

解析：3.14×（6+1）2-3.14×62=153.86-113.04=40.82（平方米）

【对应练习4】

在一个直径是8米的圆形花坛周围铺2米宽的水泥路面，这条水泥路的面积是多少平方米?   

解析：3.14×（4+2）2-3.14×42=62.8（平方米）

补充练习：

1.一个周长是37.68米的圆形花坛，它的四周有一条宽2米的小路，这条小路的面积是多少平方米？

2.一个环形铁片，外圆半径是5厘米，内圆直径是6厘米，这个环形铁片的面积是多少？

3.香山小区内靠围墙有一个半圆形水池（如下图）。现在要沿着水池外边用地砖铺一条宽1m的小路，需要多少平方米的地砖? 

4.一个半径为16米的圆形喷水池，在它周围修一条宽 1米的环形花带。如果每平方米种花32株，每株成本为4.5元，这条环形花带共需投资多少元?

【考点七】外方内圆与内圆外方。

【方法点拨】

1.外方内圆：

在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方形面积比为 。

2.外圆内方：

在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积与正方形的面积比为 。

【典型例题】

从一个边长是8分米的正方形纸上剪下一个最大的圆，剩下部分的面积是正方形面积的百分之几？

解析：直径：8分米

半径：8÷2=4（分米）

剩下的面积：8×8-3.14×42=13.76（平方分米）

正方形的面积：8×8=64（平方分米）

13.76÷64=21.5%

【对应练习1】

在一个面积是 16 平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是（      ）平方厘米；再在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是（     ）平方厘米。

解析：12.56；8

【对应练习2】

小方拿一张长方形的纸，长18cm,宽16cm，用这张纸剪掉一个最大的圆，剩下的面积是多少平方厘米？

解析：以宽为最大圆的直径。

18×16-3.14×82=288-200.96=87.04（平方厘米）

【对应练习3】

如图，圆内正方形的面积是多少平方厘米？

解析：正方形的面积等于对角线之积的一半。

6×6÷2=18（平方厘米）

【对应练习4】

如图，一个小正方形内接于一个圆，而这个圆则内接于一个大正方形，若最外面的大正方形的面积是48，里面的小正方形的面积是多少?

解析：

圆的面积：48÷4×π=12π

小正方形的面积：12π÷π×2=24

补充练习：

1.一张长30厘米的正方形纸，在纸上剪一个最大的圆，求圆的面积？

2.边长10厘米的正方形外接一个圆，如图，那外圆的面积是多少平方厘米？

3.王芳在一张边长30cm的正方形彩纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是多少厘米？

4.一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，求圆的面积？

5.一个长方形铁皮，长8分米，宽是长的，剪去一个最大的圆形后，还剩多少平方分米的铁皮？

6.在一个长是3厘米、宽是2厘米的长方形中剪去一个最大的圆，这个圆的面积是多少？剩下部分的面积是多少？

【考点八】求阴影部分的面积：四大基础衍生图形。

【方法点拨】

【典型例题1】

如图，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

解析：2×2-3.14×22×=0.86（平方厘米）

【对应练习1】

如图，互相垂直的两条线段均为10，求阴影部分的面积。

解析：3.14×102×-10×10÷2=78.5-50=28.5

【对应练习2】

如图，互相垂直的两条线段均为10，求阴影部分的面积。

解析：10×10-3.14×102×=100-78.5=21.5

【对应练习3】

如图，互相垂直的两条线段均为4，求中间谷子部分的面积。

解析：S=2S弓形=2×4.56=9.12

【对应练习4】

如图，求阴影部分的面积。

解析：8×8÷2=32

【考点九】求阴影部分的面积：S阴影=S1+S2。

【方法点拨】

加法分割思路是把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。

【典型例题1】

如图，求阴影部分的面积。（单位：cm）

解析：S阴影=S半圆+S三角形

3.14×（6÷2）2÷2+6×6÷2=28.26+18=46.26（平方厘米）

【对应练习1】

求下面图形的面积。（单位：米） 
 

解析：3.14×12+2×2.5=8.14（平方米）

【对应练习2】

计算如图的面积。
 

解析：3.14×（10÷2）2+10×20=78.5+200=278.5（平方米）

【考点十】求阴影部分的面积：S阴影=S整体-S空白。

【方法点拨】

减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。

【典型例题1】

求阴影部分的面积。

解析：

4×2=8

8×8-3.14×42=13.76

【对应练习1】

边长为10米的正方形内的花园里，要在阴影部分种植玫瑰，种植玫瑰的面积有多大？

解析：10÷2=5（米）

10×10－3.14×5×5=21.5（平方米）

答：种植玫瑰的面积是 21.5 平方米。

【对应练习2】

求阴影部分的面积。

解析：3.4×22÷2=6.28（平方厘米）

【对应练习3】

计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）

解析：3.14×42÷2-3.14×（4÷2）2÷2-4×4÷2=10.84（平方厘米）

【典型例题2】

求阴影部分的面积。

解析：S阴影=S圆环÷2

3.14×（5.52-42）÷2=3.14×14.25÷2=22.3725（平方厘米）

【对应练习1】

在下图中(单位:厘米)，两个阴影部分面积的和是多少平方厘米？

解析：S阴影=S小半圆+S中半圆+S三角形-S大半圆

3.14×（16÷2）2÷2+3.14×（12÷2）2÷2+12×16÷2-3.14×（20÷2）2÷2

=100.48+56.52+96-157

=96（平方厘米）

【对应练习2】

已知ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

解析：

【对应练习3】

求下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）

解析：S正方形-S圆=4个弯角的面积；S圆-4个弯角=S阴影

10×10-3.14×52=21.5（平方厘米）

78.5-21.5=57（平方厘米）

补充练习：

1.如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。

2.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

3.下图中，正方形的边长是2厘米，四个圆的半径都是1厘米，圆心分别是正方形的四个顶点。求出阴影部分的面积。

4.如图，OABC是正方形，扇形的半径是6厘米，求图中阴影部分的面积？
 

5.在图中，长方形的长是宽的2倍，半圆的面积是6.28平方厘米，求阴影部分的面积。

解析：

r2=6.28×2÷3.14=4

阴影部分可看作是两个三角形的面积之和，即

r2÷2×2=4（平方厘米）

【考点十一】求阴影部分的面积：拼接法。

【方法点拨】

在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一个整体。

【典型例题1】

如图，是一个边长为5厘米的等边三角形，其面积为15平方厘米，在三角形中挖去三个同样的扇形，求剩下阴影部分的面积。

解析：15-3.14×（6÷2）2÷2=0.87（平方厘米）

【对应练习1】
如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位：厘米)

解析：四边形的内角和为360°，四个扇形正好可以拼成一个圆。

S阴影=S梯形-S圆

（4+7）×4÷2-3.14×（4÷2）2=22-12.56=9.44（平方厘米）

【对应练习2】
如图，三个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位：厘米)

解析：3.14×32÷2=14.13（平方厘米）

【对应练习3】

如图，图中四个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积。

解析：50.24÷3.14÷2=8（厘米）

3.14×82=200.96（平方厘米）

【考点十二】求阴影部分的面积：割补法。

【方法点拨】

移拼、割补的思路是把不规则的阴影面积通过学习割补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。

【典型例题】

求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

解析：如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积

解：62×3.14×＝28.26（平方厘米）

答：阴影部分的面积为 28.26 平方厘米

【对应练习1】

求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

解析：6×6÷2=18（平方厘米）

【对应练习2】

求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）

解析：10×10÷2=50（平方厘米）

【对应练习3】

求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

解析：

4÷2=2（厘米）

3.14×42÷4-4×2÷2=8.56（平方厘米）

【对应练习3】

计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。

解析：4×4÷2=8

【对应练习4】

已知右图中大正方形边长是6厘米，中间小正方形边长是4厘米，求阴影部分的面积。

解析：3×6-2×4=10（平方厘米）

【对应练习5】

有八个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图)。图中黑点是这些圆的圆心。如果圆周率是3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米？

解析：通过分割，补全，可得花瓣面积由一个正方形的面积+一个圆的面积。

4×4+3.1416×12=19.1416（平方米）

补充练习：

1.求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

2.求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

3.如图，正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。

4.求如图阴影部分的周长和面积。

【考点十三】求阴影部分的面积：添加辅助线。

【方法点拨】

重叠、分层思路是图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。

【典型例题】

ABC是等腰直角三角形。 D是半圆周的中点， BC是半圆的直径，已知AB=BC=10，那么阴影部分的面积是多少?

解析：如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形AED的面积减去正方形BEDO 的面积再加上圆面积的

【对应练习1】

右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心。如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?

解析：

方法一：

方法二：

【考点十四】求阴影部分的面积：圆与长方形、正方形的结合。

【方法点拨】

注意分析长方形、正方形面积公式与圆的面积的相同之处。

【典型例题】

图中圆的周长是12.56cm，圆的面积正好等于长方形的面积，求阴影部分的面积。

解析：12.56÷3.14÷2=2（cm）

3.14×22×=9.42（平方厘米）

【对应练习1】

图中正方形的面积是6平方厘米，求圆的面积。

解析：3.14×6=18.84（平方厘米）

【对应练习2】

已知长方形面积20平方厘米，求半圆的面积。

解析：2r×r=20，即r2=10

半圆的面积：3.14×10÷2=15.7（平方厘米）

【对应练习3】

如图，已知阴影部分的小正方形面积是8平方分米，求图中圆的面积是多少平方分米？

解析：根据题意，r2=8，所以圆的面积是3.14×8=25.12（平方分米）

【对应练习4】

如图，半圆S1的面积是14.13平方厘米，圆 S2的面积是19.625平方厘米。那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米?

解析：

S1的半径：14.13×2÷3.14=9（厘米）；3×3=9

S1的直径（正方形的边长）：3×2=6（厘米）

S2的半径：19.625÷3.14=6.25；2.5×2.5=6.25

S2的直径（长方形的长）：2.5×2=5（厘米）

宽：6-5=1（厘米）

面积：5×1=5（平方厘米）

补充练习：

1.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位：厘米)
 

2.如图，已知阴影部分的面积是8平方厘米，求圆的面积。

3.在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？

4.一个正方形的内部有一个圆（涂色部分）。已知正方形的面积是10cm2，涂色部分的面积是多少？

5.如图圆的面积是25.12平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

6.如图中，直角三角形的面积是20平方厘米，圆的面积是（     ）平方厘米。
           

A. 31.4                B. 62.8                  C. 125.6           D. 无法计算

7.如图，圆中等腰直角三角形的面积是3.14cm2，圆的面积是（     ）cm2。

8.圆与长方形的面积相等，长方形的长是12.56厘米．求阴影部分的面积是多少平方厘米？

【考点十五】求阴影部分的面积：容斥原理。

【方法点拨】

重叠、分层思路是图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。

【典型例题1】

下图中的三角形是等腰直角三角形，阴影部分的面积是多少平方厘米？

解析：3.14×（6÷2）2-6×6÷2=10.26（平方厘米）

【对应练习1】

求阴影部分的面积。（单位：厘米）

解析：S阴影=S小扇形+S大扇形-S长方形

3.14×32×+3.14×22×-3×2=7.065+3.14-6=4.205（平方厘米）

【对应练习2】

求阴影部分的面积。（单位：厘米）

解析：3.14×22÷2×4-4×4=9.12（平方厘米）

【考点十六】求阴影部分的面积：差不变思想。

【方法点拨】

差不变思想，即利用等式的性质来求面积：

如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。

【典型例题】

如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形，利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？

解析：甲、乙两部分同时加上空白扇形，就相当于圆-三角形。

3.14×42×-4×4÷2=4.56（平方厘米）

【对应练习1】

下图中的长方形的长、宽分别是4厘米、2厘米，求阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大多少平方厘米？

解析：

【对应练习2】

如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。求BC的长度。

解析：根据题意：

S甲-S乙=28，则（S甲+S空白）-（S乙+S空白）=28

即S三角形ABC-S半圆=28

设BC长x厘米。

40x÷2-3.14×（40÷2）2÷2=28

x=32.8