重庆市万盛经开区2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份重庆市万盛经开区2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版），共27页。
2017-2018学年重庆市万盛经开区九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑
1．下列方程中关于x的一元二次方程的是（　　）
A．3（x+1）2=2（x+1） B． +=2 C．x2+2x=x2﹣1 D．ax2+bx+c=0
2．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
4．反比例函数y=﹣的图象位于（　　）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
5．下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上
B．打开电视频道，正在播放《十二在线》
C．射击运动员射击一次，命中十环
D．方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根
6．在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．无法确定
7．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15
8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分的面积为（　　）

A．2π B．π C． D．
10．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（　　）

A．43 B．45 C．51 D．53
11．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程﹣=3有整数解的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，菱形OABC在直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），对角线OB=，反比例函数经过点C，则k的值等于（　　）

A．12 B．8 C．15 D．9
　
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案填在答题卷上的相应位置
13．方程x2﹣2x=0的根是　 　．
14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=　 　度．

15．在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积．进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵树：依此估计这种幼树成活的概率是　 　．（结果用小数表示，精确到0.1）
移栽棵数
100
1000
10000
成活棵数
89
910
9008
16．反比例函数y=的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1＜x2＜0且y1＞y2，则k的取值范围是　 　．
17． 如图，某运动员在2016年里约奥运会10米跳台跳水比赛时，估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=﹣x2+x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为　 　米．

18．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为　 　．

　
三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
19． 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，求证：CA=CD．

20．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
　
四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
21．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
22． 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（﹣3，1），B（2，n）两点，交x轴、y轴于D、C两点．
（1）求上述反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）连接AO，BO，求出△AOB的面积；
（3）请由图象直接写出，当x满足什么条件时，一次函数的值小于反比例函数的值？

23．某商场经营一种新型台灯，进价为每盏300元．市场调研表明：当销售单价定为400元时，平均每月能销售300盏；而当销售单价每上涨10元时，平均每月的销售量就减少10盏．
（1）当销售单价为多少时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元？
（2）临近春节，为了回馈广大顾客，商场部门经理决定在一月份开展降价促销后动，估计分析：若每盏台灯的销售单价在（1）的销售单价基础上降价m%，则可多售出2m%．要想使一月份的销售额达到112000元，并且销售量尽可能大，求m的值．
24．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2 （a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y=﹣x2+3x﹣2函数可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣3，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2017的值；
（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．
　
五、解答题（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
25．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），若AE=1，试求AB的长；
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2这种情况下，求证AE+CF=EF；
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3这种情况下，（2）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

26．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A和点B．
（1）求抛物线的解析式和点A、B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

　

2017-2018学年重庆市万盛经开区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑
1．下列方程中关于x的一元二次方程的是（　　）
A．3（x+1）2=2（x+1） B． +=2 C．x2+2x=x2﹣1 D．ax2+bx+c=0
【考点】A1：一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、原方程整理为3x2+4x+1=0，是关于x的一元二次方程，故本选项正确；
B、该方程属于分式方程，故本选项错误；
C、原方程整理为2x+1=0，是关于x的一元一次方程，故本选项错误；
D、a=0时，是关于x的一元一次方程，故本选项错误；
故选：A．
　
2．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、该图形是中心对称图形，正确，
B、该图形不是中心对称图形，错误；
C、该图形不是中心对称图形，错误；
D、该图形是轴对称图形，错误；
故选A
　
3．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选A．
　
4．反比例函数y=﹣的图象位于（　　）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
【考点】G4：反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，k=﹣2＜0，函数位于二、四象限．
【解答】解：y=﹣中k=﹣2＜0，
根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限．
故选D．
　
5．下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上
B．打开电视频道，正在播放《十二在线》
C．射击运动员射击一次，命中十环
D．方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根
【考点】X1：随机事件；92：二元一次方程的解．
【分析】根据必然事件的定义逐项进行分析即可做出判断，必然事件是一定会发生的事件．
【解答】解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，随机事件，故本选项错误；
B、打开电视频道，正在播放《十二在线》，随机事件，故本选项错误；
C、射击运动员射击一次，命中十环，随机事件，故本选项错误；
D、因为在方程x2﹣2x﹣1=0中△=4﹣4×1×（﹣1）=8＞0，故本选项正确．
故选：D．
　
6．在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．无法确定
【考点】M8：点与圆的位置关系．
【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴AB＞BC，
∴点A在圆外．
故选A．
　
7．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【解答】解：∵x2﹣8x=1，
∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，
故选：C．
　
8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2=315，
故选：B．
　
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分的面积为（　　）

A．2π B．π C． D．
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】要求阴影部分的面积，由图可知，阴影部分的面积等于扇形COB的面积，根据已知条件可以得到扇形COB的面积，本题得以解决．
【解答】解：∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°，
又∵弦CD⊥AB，CD=2，
∴OC=，
∴，
故选D．
　
10．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（　　）

A．43 B．45 C．51 D．53
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】设图形n中星星的颗数是an（n为正整数），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“an=+n﹣1”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：设图形n中星星的颗数是an（n为正整数），
∵a1=2=1+1，a2=6=（1+2）+3，a3=11=（1+2+3）+5，a4=17=（1+2+3+4）+7，
∴an=1+2+…+n+（2n﹣1）=+（2n﹣1）=+n﹣1，
∴a8=×82+×8﹣1=51．
故选C．
　
11．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程﹣=3有整数解的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式；B2：分式方程的解；CB：解一元一次不等式组．
【分析】从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，判断出使得关于x的不等式组无解的值，再判断出分式方程﹣=3有整数解的值，根据概率公式解答即可．
【解答】解：，
由①得，x≤a，
由②得，x＞，
可见，x取﹣3，﹣2，﹣1，0时，不等式组无解；
解分式方程﹣=3得，
x=，
当a取﹣3，1时，分式方程有整数解．
综上，a取﹣3时，符合题意，P=，
故选A．
　
12．如图，菱形OABC在直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），对角线OB=，反比例函数经过点C，则k的值等于（　　）

A．12 B．8 C．15 D．9
【考点】L8：菱形的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据点A坐标求出OA的长度，过点B作BD⊥x轴于D，设AD=x，利用勾股定理列式表示出BD2，然后解方程求出x，再求出BD，从而得到点B的坐标，再根据菱形的性质求出点C的坐标，然后代入函数解析式计算即可求出k．
【解答】解：∵点A的坐标为（5，0），
∴OA=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=5，
过点B作BD⊥x轴于D，设AD=x，
由勾股定理得，BD2=（4）2﹣（5+x）2=52﹣x2，
解得x=3，
∴OD=5+3=8，BD==4，
∴点B（8，4），
∵菱形对边BC=OA=5，
∴点C的坐标为（3，4），
代入y=得， =4，
解得k=12．
故选A．

　
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案填在答题卷上的相应位置
13．方程x2﹣2x=0的根是　x1=0，x2=2　．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：因式分解得x（x﹣2）=0，
解得x1=0，x2=2．
故答案为x1=0，x2=2．
　
14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=　36　度．

【考点】M5：圆周角定理；MM：正多边形和圆．
【分析】圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴=====72°，
∴∠CAD=×72°=36°．
故答案为36．
　
15．在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积．进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵树：依此估计这种幼树成活的概率是　0.9　．（结果用小数表示，精确到0.1）
移栽棵数
100
1000
10000
成活棵数
89
910
9008
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】成活的总棵树除以移栽的总棵树即为所求的概率．
【解答】解：根据抽样的意义可得幼树成活的概率为（++）÷3≈0.9．
故本题答案为：0.9．
　
16．反比例函数y=的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1＜x2＜0且y1＞y2，则k的取值范围是　k＞﹣1　．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】由中x1＜x2＜0，且y1＞y2，得出在同一象限内y随x的增大而减小解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1＜x2＜0，且y1＞y2，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∴k+1＞0，即k＞﹣1．
故答案为：k＞﹣1．
　
17． 如图，某运动员在2016年里约奥运会10米跳台跳水比赛时，估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=﹣x2+x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为　10　米．

【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】直接利用配方法得出二次函数的最值，进而得出运动员在空中运动的最大高度离水面的距离．
【解答】解：∵y=﹣x2+x
=﹣（x2﹣x）
=﹣（x﹣）2+，
∴y的最大值为：，
∴运动员在空中运动的最大高度离水面为：10+=10（m）．
故答案为：10．
　
18．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为　24+9　．

【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质．
【分析】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ进行计算．
【解答】解：连结PQ，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PQ=AP=6，
∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，
∴∠CAP=∠BAQ，
在△APC和△ABQ中，
，
∴△APC≌△ABQ，
∴PC=QB=10，
在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，
而64+36=100，
∴PB2+PQ2=BQ2，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，
∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9．
故答案为24+9．

　
三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
19． 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，求证：CA=CD．

【考点】MC：切线的性质．
【分析】连接OC，构建直角三角形，根据切线的性质，推出∠A，∠D的度数，即可推出结论．
【解答】证明：连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC=OB，
∴∠A=30°，
∴∠D=30°，
∴CA=CD．

　
20．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；
（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：
，
解得：x=1，经检验x=1是方程的根，
即红球的个数为1个；
（2）画树状图如下：

∴P（摸得两白）==．
　
四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
21．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【考点】AA：根的判别式；A3：一元二次方程的解；AB：根与系数的关系．
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；

（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
　
22． 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（﹣3，1），B（2，n）两点，交x轴、y轴于D、C两点．
（1）求上述反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）连接AO，BO，求出△AOB的面积；
（3）请由图象直接写出，当x满足什么条件时，一次函数的值小于反比例函数的值？

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）首先根据A点坐标求出反比例函数，然后将B点代入可求出B点坐标，再将A和B代入一次函数中可求出一次函数的表达式．
（2）可将△AOB分成3部分，△AOD、△ODC和△OCB，利用一次函数求出C点和D点的坐标，然后分别求出3个三角形的面积相加即可．
（3）观察图象，只要反比例函数的图象在一次函数图象上方即可．
【解答】解：（1）把x=﹣3，y=1代入y=得：m=﹣3
∴反比例函数的解析式为y=﹣，
把x=2，y=n代入y=﹣得n=﹣
把x=﹣3，y=1与x=2，y=﹣分别代入y=kx+b
得，
解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣

（2）由一次函数的解析式为y=﹣x﹣得C点的坐标为（0，﹣），
∴OC=，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC（|xB|+|xA|）=××5=；

（3）观察图象可知当﹣3＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值．
　
23．某商场经营一种新型台灯，进价为每盏300元．市场调研表明：当销售单价定为400元时，平均每月能销售300盏；而当销售单价每上涨10元时，平均每月的销售量就减少10盏．
（1）当销售单价为多少时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元？
（2）临近春节，为了回馈广大顾客，商场部门经理决定在一月份开展降价促销后动，估计分析：若每盏台灯的销售单价在（1）的销售单价基础上降价m%，则可多售出2m%．要想使一月份的销售额达到112000元，并且销售量尽可能大，求m的值．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）当销售单价为x元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元，利用总利润等于每盏灯的利润乘以销售量列方程得（x﹣300）[300﹣（x﹣400）]=40000，然后解方程即可；
（2）当x=500时，销售量为300﹣（x﹣400）=200（盏），则利用一月份的销售额达为112000元列方程得500（1﹣m%）×200（1+2m%）=112000，然后解关于m%的一元二次方程即可得到m的值．
【解答】解：（1）当销售单价为x元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元，
根据题意得（x﹣300）[300﹣（x﹣400）]=40000，
解得x1=x2=500，
答：当销售单价为500元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元；
（2）当x=500时，300﹣（x﹣400）=200（盏），
根据题意得500（1﹣m%）×200（1+2m%）=112000，
整理得50（m%）2﹣25•m%+3=0，
解得m%=0.6（舍去）或m%=0.3，
所以m=30．
　
24．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2 （a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y=﹣x2+3x﹣2函数可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣3，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2017的值；
（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由函数函数y=﹣x2+3x﹣2的解析式可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，然后依据旋转函数的定义得到﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，然后求得a2，b2，c2的值即可；
（2）依据旋转函数的定义列出关于m、n的方程，从而可求得m、n的值，然后代入计算即可；
（3）先求得A，B，C三点的坐标，然后再求得A1，B1，C1的坐标，然后可求得经过点A1，B1，C1的二次函数的解析式，最后依据旋转函数的定义进行判断即可．
【解答】解：（1）∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，
∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，
∴a2=1，b2=3，c2=2，
∴函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y=x2+3x+2；

（2）解：根据题意得m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，
∴（m+n）2017=（﹣3+2）2017=﹣1；

（3）证明：当x=0时，y=﹣（x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），
当y=0时，﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4，
则A（﹣1，0），B（4，0），
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），…
设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x﹣1）（x+4），把C1（0，﹣2）
代入得a2•（﹣1）•4=﹣2，解得a2=，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，
∵y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，
∴a1+a2=﹣+=0，b1=b2=，c1+c2=2﹣2=0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．
　
五、解答题（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
25．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），若AE=1，试求AB的长；
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2这种情况下，求证AE+CF=EF；
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3这种情况下，（2）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

【考点】RB：几何变换综合题．
【分析】（1）根据AE=CF可以求得BF=BE，易求得∠CBF=30°，即可解题；
（2）将Rt△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG+CF=AE+CF，易证∠GBF=∠EBF=60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解题；
（3）将Rt△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG﹣CF=AE﹣CF，易证∠GBF=∠EBF=60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解题．
【解答】证明：（1）如图1中，

∵Rt△ABE和Rt△CBF中，AB=BC，CF=AE，
∴tan∠CBF=tan∠ABE，BF=BE，
∴∠CBF=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠CBF=30°，△BEF是等边三角形，
∵AE=CF=1，
∴AB=AE=
（2）如图2，将Rt△ABE顺时针旋转120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，
∴BG=BE，FG=CG+CF=AE+CF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠ABE=∠CBG，
∴∠GBF=60°，
在△GBF和△EBF中，
，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF；

（3）不成立，新结论为EF=AE﹣CF．
理由：如图3，将Rt△ABE顺时针旋转120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，∠ABE=∠CBG，
∴BG=BE，FG=CG﹣CF=AE﹣CF，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，
∵∠MBN=60°，
∴∠GBF=60°，
在△BFG和△BFE中，
，
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF=EF，
∴EF=AE﹣CF．
　
26．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A和点B．
（1）求抛物线的解析式和点A、B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）依据抛物线的对称轴公式可得到﹣=﹣1，然后在将点C的坐标代入可得到关于b、c的方程组，然后解得b、c的值即可；
（2）由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知当点M在CB上时，AM+MC的值最小，然后求得BC的解析式，再把x=﹣1代入直线BC的解析式求得对应的y值即可；
（3）设P（﹣1，t），依据两点间的距离公式得到CB2=18，PB2=t2+4，PC2=t2﹣6t+10，然后分为BC2+PB2=PC2、BC2+PC2=PB2、PC2+PB2=BC2三种情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：﹣ =﹣1，c=3，解得：b=﹣2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，
当y=0时，即0=﹣x2﹣2x+3，
解得：x1=﹣3，x2=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0）；

（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时AM+MC的值最小．
∵点A与点B关于x=﹣1对称，A（1，0），
∴C（﹣3，0）．
设BC的解析式为y=mx+n，将点B和点C的坐标代入得：，解得：m=1，n=3．
∴直线BC的解析式为y=x+3．
将x=﹣1代入y=x+3得：y=2，
∴M（﹣1，2）．
∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，点M到点A和点C的距离之和最小；

（3）设P（﹣1，t）．
∵P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），
∴CB2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=t2+4，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10．
①当点B为直角顶点时，则BC2+PB2=PC2，即18+t2+4=t2﹣6t+10，解得t=﹣2，
∴P（﹣1，﹣2）．
②当点C为直角顶点时，BC2+PC2=PB2，即18+t2﹣6t+10=t2+4，解得t=4，
∴P（﹣1，4）．
③当点P为直角顶点时，PC2+PB2=BC2，即t2+4+t2﹣6t+10=18，解得：t=或t=，
∴P（﹣1，）或（﹣1，）．
综上所述，点P的坐标为P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．