人教版 (2019)必修 第一册第四章 运动和力的关系综合与测试学案

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　动力学连接体问题

[学习目标]　1.学会用整体法和隔离法分析连接体问题.2.掌握常见连接体问题的特点和解决方法．

1．连接体

两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法．

2．连接体问题的解题方法

(1)整体法：把整个连接体系统看作一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力．

(2)隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形．

一、加速度和速度都相同的连接体问题

(1)求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．

(2)求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力．

如图1所示，A、B两木块的质量分别为mA、mB，A、B之间用水平细绳相连，在水平拉力F作用下沿水平面向右加速运动，重力加速度为g.

图1

(1)若地面光滑，则A、B间绳的拉力为多大？

(2)若两木块与水平面间的动摩擦因数均为μ，则A、B间绳的拉力为多大？

(3)如图乙所示，若把两木块放在固定斜面上，两木块与斜面间的动摩擦因数均为μ，在方向平行于斜面的拉力F作用下沿斜面向上加速，A、B间绳的拉力为多大？

答案　(1)F　(2)F　(3)F

解析　(1)若地面光滑，以A、B整体为研究对象，有F＝(mA＋mB)a，

然后隔离出B为研究对象，有FT1＝mBa，

联立解得FT1＝F.

(2)若动摩擦因数均为μ，以A、B整体为研究对象，有F－μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a1，然后隔离出B为研究对象，有FT2－μmBg＝mBa1，联立解得FT2＝F.

(3)以A、B整体为研究对象，设斜面的倾角为θ，F－(mA＋mB)gsin θ－μ(mA＋mB)gcos θ＝(mA＋mB)a2

以B为研究对象

FT3－mBgsin θ－μmBgcos θ＝mBa2

联立解得FT3＝F.

针对训练1　五个质量相等的物体置于光滑水平面上，如图2所示，现对左侧第1个物体施加大小为F、方向水平向右的恒力，则第2个物体对第3个物体的作用力等于(　　)

图2

A.F  B.F  C.F  D.F

答案　C

解析　设各物体的质量均为m，对整体运用牛顿第二定律得a＝，对3、4、5组成的整体应用牛顿第二定律得FN＝3ma，解得FN＝F.故选C.

(2020·山东泰安一中高一上期中)如图3所示，两个质量相同的物体A和B紧靠在一起，放在光滑的水平面上，如果它们分别受到水平推力F1和F2，而且F1＞F2，则A对B的作用力大小为(　　)

图3

A．F1   B．F2

C.   D.

答案　C

解析　选取A和B整体为研究对象，共同加速度a＝.再选取物体B为研究对象，受力分析如图所示，根据牛顿第二定律得FN－F2＝ma，得FN＝F2＋ma＝F2＋m＝，故C正确．

二、加速度和速度大小相同、方向不同的连接体问题

跨过光滑轻质定滑轮的物体速度、加速度大小相同，但方向不同，此时一般采用隔离法，即对每个物体分别进行受力分析，分别根据牛顿第二定律列方程，然后联立方程求解．

质量为M的物体放在光滑水平桌面上，通过水平轻绳跨过光滑的轻质定滑轮连接质量为m的物体，如图4所示，重力加速度为g，将它们由静止释放，求：

图4

(1)物体的加速度大小；

(2)绳对M的拉力大小．

答案　(1)　(2)

解析　以m为研究对象：mg－FT＝ma①

以M为研究对象：FT＝Ma②

联立①②得：a＝

FT＝.

针对训练2　如图5所示，质量分别为M和m的物块由相同的材料制成，且M＞m，将它们用一根跨过光滑轻质定滑轮的细线连接．如果按图甲放置在水平桌面上(与物块M相连的细线水平)，两物块刚好做匀速运动．如果互换两物块位置按图乙放置在同一水平桌面上，它们的共同加速度大小为(重力加速度为g)(　　)

图5

A.g   B.g

C.g   D．上述均不对

答案　C

解析　题图甲中，物块m匀速运动，故FT＝mg，

物块M匀速运动，故FT＝μMg.联立解得μ＝.

题图乙中，对M有Mg－FT′＝Ma

对m有FT′－μmg＝ma

联立解得a＝g，故C正确．

1.如图1所示，并排放在光滑水平面上的两物体的质量分别为m1和m2，且m1＝2m2.当用水平推力F向右推m1时，两物体间的相互作用力的大小为FN，则(　　)

图1

A．FN＝F   B．FN＝F

C．FN＝F   D．FN＝F

答案　C

解析　当用F向右推m1时，对m1和m2整体，由牛顿第二定律可得F＝(m1＋m2)a；对m2有FN＝m2a＝F；因m1＝2m2，得FN＝.故选项C正确．

2．将两质量不同的物体P、Q放在倾角为θ的光滑斜面上，如图2甲所示，在物体P上施加沿斜面向上的恒力F，使两物体沿斜面向上做匀加速直线运动；图乙为仅将图甲中的斜面调整为水平，同样在P上施加水平恒力F；图丙为两物体叠放在一起，在物体P上施加一竖直向上的相同恒力F使二者向上加速运动．三种情况下两物体的加速度的大小分别为a甲、a乙、a丙，两物体间的作用力分别为F甲、F乙、F丙．则下列说法正确的是(　　)

图2

A．a乙最大，F乙最大

B．a丙最大，F丙最大

C．a甲＝a乙＝a丙，F甲＝F乙＝F丙

D．a乙＞a甲＞a丙，F甲＝F乙＝F丙

答案　D

解析　以P、Q整体为研究对象，由牛顿第二定律可得：

题图甲：F－(mP＋mQ)gsin θ＝(mP＋mQ)a甲

解得：a甲＝

题图乙：F＝(mP＋mQ)a乙

解得：a乙＝

题图丙：F－(mP＋mQ)g＝(mP＋mQ)a丙

解得：a丙＝

由以上三式可得：a乙＞a甲＞a丙；

对Q由牛顿第二定律可得：

题图甲：F甲－mQgsin θ＝mQa甲

解得：F甲＝

题图乙：F乙＝mQa乙＝

题图丙：F丙－mQg＝mQa丙

解得：F丙＝

故F甲＝F乙＝F丙

综上所述，D正确．

3.(多选)如图3所示，质量分别为mA、mB的A、B两物块用轻绳连接放在倾角为θ的固定斜面上(轻绳与斜面平行)，用平行于斜面向上的恒力F拉A，使它们沿斜面匀加速上升，A、B与斜面间的动摩擦因数均为μ，为了增大轻绳上的张力，可行的办法是(　　)

图3

A．减小A物块的质量   B．增大B物块的质量

C．增大倾角θ   D．增大动摩擦因数μ

答案　AB

解析　当用沿斜面向上的恒力拉A，两物块沿斜面向上匀加速运动时，对整体运用牛顿第二定律，有

F－(mA＋mB)gsin θ－μ(mA＋mB)gcos θ＝(mA＋mB)a，

得a＝－gsin θ－μgcos θ.

隔离B研究，根据牛顿第二定律有

FT－mBgsin θ－μmBgcos θ＝mBa，

则FT＝，

要增大FT，可减小A物块的质量或增大B物块的质量，故A、B正确．

4.如图4所示，在光滑的水平桌面上有一物体A，通过细绳与物体B相连，假设绳子的质量以及绳子与轻质定滑轮之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长且与A相连的绳水平，重力加速度为 g．如果mB＝3mA，则绳子对物体A的拉力大小为(　　)

图4

A．mBg   B.mAg

C．3mAg   D.mBg

答案　B

解析　对A、B整体进行受力分析，根据牛顿第二定律可得mBg＝(mA＋mB)a，隔离A，对A有：FT＝mAa，解得FT＝mAg，B正确．

5.(多选)如图5所示，质量为m2的物体2放在车厢的水平底板上，用竖直细绳通过光滑轻质定滑轮与质量为m1的物体1相连，车厢沿水平直轨道向右行驶，某一段时间内与物体1相连的细绳与竖直方向成θ角，重力加速度为g.由此可知(　　)

图5

A．车厢的加速度大小为gtan θ

B．细绳对m1的拉力大小为

C．底板对物体2的支持力为(m2－m1)g

D．底板对物体2的摩擦力大小为

答案　AB

解析　以物体1为研究对象，受力分析如图甲所示，

由牛顿第二定律得：m1gtan θ＝m1a，

解得a＝gtan θ，

则车厢的加速度也为gtan θ，故A正确．

如图甲所示，细绳的拉力FT＝，故B正确．

以物体2为研究对象，受力分析如图乙所示，在竖直方向上，由平衡条件得FN＝m2g－FT＝m2g－，故C错误．

在水平方向上，由牛顿第二定律得：Ff＝m2a＝m2gtan θ，故D错误．

6．(2021·常州一中高一上期末)中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路”，为国际抗疫贡献了中国力量．某运送防疫物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节车厢对第3节车厢的牵引力为F.若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为(　　)

A．F   B.

C.   D.

答案　C

解析　设每节车厢的质量为m，每节车厢所受摩擦力与空气阻力之和为f，从第3节到第40节车厢看成一个整体，对其进行受力分析，由牛顿第二定律得：F－(40－2)f＝(40－2)ma解得：F＝38(f＋ma)，把最后两节车厢看成一个整体，对其进行受力分析，由牛顿第二定律得：F′－2f＝2ma，解得：F′＝2(f＋ma)，联立解得倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为：F′＝，故C正确，A、B、D错误．

7.如图6所示，质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角．重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)

图6

A．小铁球受到的合外力方向水平向左

B．F＝(M＋m)gtan α

C．系统的加速度为a＝gsin α

D．F＝mgtan α

答案　B

解析　对小铁球受力分析得F合＝mgtan α＝ma且合外力方向水平向右，故小铁球的加速度为gtan α，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为gtan α，A、C错误；对系统受力分析得F＝(M＋m)a＝(M＋m)gtan α，故B正确，D错误．

8.如图7所示，质量为2 kg的物体A和质量为1 kg的物体B放在水平地面上，A、B与地面间的动摩擦因数均为，在与水平方向成α＝37°角、大小为20 N斜向下推力F的作用下，A、B一起做匀加速直线运动(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：

图7

(1)A、B一起做匀加速直线运动的加速度大小；

(2)运动过程中A对B的作用力大小．

(3)若3 s后撤去推力F，求撤去推力F后1 s内A、B在地面上滑行的距离．

答案　(1) m/s2　(2)4 N　(3)均为0.6 m

解析　(1)以A、B整体为研究对象进行受力分析，有：

Fcos α－μ[(mA＋mB)g＋Fsin α]＝(mA＋mB)a

代入数据解得a＝ m/s2.

(2)以B为研究对象，设A对B的作用力大小为FAB，根据牛顿第二定律有：

FAB－μmBg＝mBa

代入数据解得FAB＝4 N.

(3)若3 s后撤去推力F，此时物体A、B的速度：v＝at＝2 m/s

撤去推力F后，物体A、B的加速度为a′＝＝μg＝ m/s2

滑行的时间为t′＝＝0.6 s

撤去推力F后1 s内物体A、B在地面上滑行的距离等于0.6 s内物体A、B在地面上滑行的距离，则x＝t′＝0.6 m.