人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案

这是一份人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案，共11页。


　　　　　　　　　　　　　　匀变速直线运动的平均速度公式　v－t图像求位移

[学习目标]　1.理解平均速度公式．并能用平均速度公式解决相关问题.2.会用v－t图像求位移并判定变加速直线运动位移的大小．

一、平均速度公式的理解与应用
导学探究　如图1所示，如果匀变速直线运动的初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为，试推导＝＝.

图1
答案　方法一　解析法
在匀变速直线运动中，对于这段时间t，其中间时刻的瞬时速度＝v0＋at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0＋at＝＝＝＝，即＝＝.
方法二　图像法

这段时间位移x＝t
平均速度＝＝
中间时刻的瞬时速度对应梯形中位线高，故＝
知识深化
1．平均速度公式：＝＝
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半．
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用平均速度公式及中间时刻瞬时速度公式＝，＝.
2．三个平均速度公式的比较
＝适用于任何运动；
＝及＝仅适用于匀变速直线运动．
某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了12 s时，发现还有乘客没上来，于是汽车立即做匀减速直线运动至停下，共历时20 s，运动了50 m，求汽车在上述运动中的最大速度的大小．
答案　5 m/s
解析　由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，设最大速度为vm，则x1＝t1①
x2＝t2②
由①＋②得x1＋x2＝(t1＋t2)
解得vm＝＝5 m/s.
2019年6月6日，中国科考船“科学”号对马里亚纳海沟南侧系列海山进行调查，船上搭载的“发现”号遥控无人潜水器完成了本航次第10次下潜作业，“发现”号下潜深度可达6 000 m以上，如图2所示．潜水器完成作业后上浮，上浮过程初期可看作匀加速直线运动．今测得潜水器相继经过两段距离为8 m的路程，第一段用时4 s，第二段用时2 s，则其加速度大小是(　　)

图2
A. m/s2 B. m/s2
C. m/s2 D. m/s2
答案　A
解析　根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于平均速度可知：v1＝ m/s＝2 m/s；v2＝ m/s＝4 m/s
再根据加速度的定义可知：a＝＝ m/s2＝ m/s2.故选A.
二、 v－t图像求位移
1．利用v－t图像求位移
v－t图线与时间轴所围的“面积”表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差．通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和．
2．理解
(1)初速度为v0的匀加速直线运动的v－t图像如图3甲，其中v0t与矩形面积相等，at2与三角形面积相等，所以x＝v0t＋at2.
(2)当物体做匀减速直线运动时，如图乙，公式中的a取负值．相当于从匀速直线运动的位移中“减去”了一部分．
　　
图3
某一做直线运动的物体的v－t图像如图4所示，根据图像求：

图4
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移大小；
(3)前4 s内物体通过的路程．
答案　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m
解析　(1)当物体运动了3 s时，物体距出发点的距离最远，xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m；
(2)前4 s内物体的位移大小x＝|x1|－|x2|＝|v1t1|－|v2t2|＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m；
(3)前4 s内物体通过的路程s＝|x1|＋|x2|＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m.
针对训练1　(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度－时间图像如图5所示，那么0～t0和t0～3t0 两段时间内(　　)

图5
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
答案　BD
解析　加速度a＝，由题图知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，则＝，A项错误；位移大小之比等于v－t图线与t坐标轴所围图形的面积之比，即＝，B项正确；平均速度＝，＝1，C项错误，D项正确．
针对训练2　某物体做直线运动，物体的v－t图像如图6所示．若初速度的大小为v0，末速度的大小为v1，则在0～t1时间内物体的平均速度________(选填“大于”“等于”或“小于”).

图6
答案　大于
3．v－t图像与x－t图像的比较
内容
种类
v－t图像
x－t图像
图线斜率
表示加速度
表示速度
图线与时间轴所围面积
表示位移
无意义
两图线交点坐标
表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点
表示相遇
相同点
表示物体做直线运动

(2020·广元天立国际学校高二月考)有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x－t图像如图7甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图像如图乙所示．根据图像做出的以下判断中正确的是(　　)

图7
A．物体A和B均做匀变速直线运动
B．在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小
C．t＝3 s时，物体C、D的位移相同
D．在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大
答案　D
解析　由题图甲看出：物体A和B的位移－时间图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故A错误；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体A的位移都大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故B错误；由题图乙可以看出C、D两物体的v－t图线在t＝3 s交于一点，所以此时刻C、D的速度一定相同，根据v－t图线与t轴所围面积表示位移以及物体C、D从同一地点沿同一方向运动可知，t＝3 s时物体C、D的位移不相同，故C错误；由题图乙看出：在0～3 s的时间内，D的速度较大，C、D间距离增大，故D正确．


考点一　平均速度公式的运用
1．(2020·河南省高一月考)如图1所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程．假设该战斗机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战斗机起飞前的运动时间为(　　)

图1
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由平均速度公式可知x＝t，即t＝，故A正确，B、C、D错误．
2．一物体从固定斜面上某点由静止开始沿斜面做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经过9 s停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
答案　C
解析　设物体到达斜面底端时的速度为v，
则物体在斜面上的平均速度1＝，
在斜面上的位移x1＝1t1＝t1
在水平地面上的平均速度2＝，
在水平地面上的位移x2＝2t2＝t2
所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故选C.
3．一辆汽车在水平地面上沿直线行驶，在0～2t时间内做匀加速直线运动，速度由0变为v.在2t～3t时间内做匀减速直线运动，速度由v变为0，在这两段时间内，下列说法正确的是(　　)
A．加速度的大小之比为2∶1
B．位移的大小之比为2∶1
C．平均速度的大小之比为1∶2
D．平均速度的大小之比为2∶1
答案　B
解析　根据题意作出汽车运动的v－t图像，如图所示．

根据图像的斜率表示加速度，可得加速度的大小之比a1∶a2＝∶＝1∶2，故A错误；位移的大小之比x1∶x2＝v·2t∶vt＝2∶1，故B正确；平均速度的大小之比1∶2＝∶＝1∶1，故C、D错误．
考点二　v－t图像的应用
4.(2021·山西大学附中月考)如图2是物体做直线运动的v－t图像，由图可知，该物体(　　)

图2
A．0～2 s内和0～4 s内的位移不相等
B．0～2 s内和0～4 s内的平均速度大小不相等
C．第1 s内和第4 s内的位移大小不相等
D．第3 s内和第4 s内的加速度不相同
答案　B
解析　0～2 s内物体的位移x2＝ m＝1.5 m，则平均速度2＝＝0.75 m/s.0～4 s内物体的位移x4＝1.5 m＝x2，则平均速度4＝＝0.375 m/s，A错，B对．第1 s内和第4 s内位移大小均为0.5 m，C错．第3 s内和第4 s内加速度均为－1 m/s2，D错．
5.(多选)做直线运动的物体的v－t图像如图3所示．由图像可知(　　)

图3
A．前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为－1 m/s2
B．15 s末物体回到出发点
C．前15 s内物体的位移为37.5 m
D．前10 s内物体的平均速度为2.5 m/s
答案　ACD
解析　在v－t图像中，图线斜率表示加速度，故前10 s物体的加速度为a1＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为a2＝ m/s2＝－1 m/s2，故A正确；v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移，故物体在前15 s内的位移为x＝×15×5 m＝37.5 m；前10 s内的平均速度＝＝ m/s＝2.5 m/s，故B错误，C、D正确．
6．(多选)做直线运动的物体甲的x－t图像和物体乙的v－t图像分别如图4甲、乙所示，则关于这两个物体的运动情况，下列说法正确的是(　　)

图4
A．甲在0～6 s时间内运动方向不变，它通过的总位移大小为4 m
B．甲在0～6 s时间内平均速度为零
C．乙在0～6 s时间内通过的总位移为零
D．乙在0～6 s时间内加速度大小不变，方向发生了变化
答案　AC
解析　位移－时间图像中图线的斜率表示速度，甲在整个过程中图线的斜率不变，知甲运动的速度不变，总位移为Δx＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A正确，B错误；乙在0～6 s内，先向负方向做匀减速直线运动，后向正方向做匀加速直线运动，速度的方向在第3 s时发生改变，图线与时间轴围成的面积表示位移，则乙在0～6 s内总位移为零，故C正确；速度－时间图像中图线的斜率表示加速度，题图乙中图线的斜率不变，知乙的加速度大小不变，方向也未发生改变，故D错误．
7.如图5是某物体运动的v－t图像，根据图像求：

图5
(1)0～6 s内物体的位移为________．
(2)0～2 s内物体的平均速度1＝__________，4～5 s内物体的平均速度2＝___________，1______(选填“＞”“＝”或“＜”)2.
答案　(1)6.5 m　(2)1 m/s　1 m/s　＝
解析　(1)0～5 s内物体向正方向运动
位移x1＝ m＝7 m
5～6 s内物体的位移x2＝－ m＝－0.5 m
0～6 s内物体的位移x＝x1＋x2＝6.5 m
(2)1＝＝1 m/s
2＝＝1 m/s
1＝2.

8．做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为x，设这段位移内中间位置的瞬时速度为v，则(　　)
A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＜
B．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＞
C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＝
D．匀加速直线运动时，v＜；匀减速直线运动时，v＞
答案　B
解析　等于t时间内物体的平均速度，也等于t时间内中间时刻的瞬时速度，又因为无论是匀加速还是匀减速直线运动中，任意一段时间内的平均速度总小于中间位置的瞬时速度，故有v＞，故选项B正确．
9．(2021·江苏宿迁市高一上期末)甲、乙、丙、丁四辆车由同一地点向同一方向运动，甲、乙的x－t图像和丙、丁的v－t图像如图6所示，下列说法中正确的是(　　)

图6
A．0～t1时间内甲车路程小于乙车路程
B．0～t1时间内的某时刻甲、乙两车速度相等
C．t2时刻，丙、丁两车相遇
D．t2时刻丙车加速度比丁车的加速度小
答案　B
10．(2021·镇江市丹徒高中月考)中国自主研发的“暗剑”无人机，时速可超过2马赫．在某次试飞测试中，起飞前无人机沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120 m的测试距离，用时分别为2 s和1 s，则无人机的加速度大小是(　　)
A．20 m/s2 B．40 m/s2
C．60 m/s2 D．80 m/s2
答案　B
11．(2021·镇江市丹徒高中月考)汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，某时刻驾驶员发现正前方15 m处的斑马线上有行人，经过0.5 s反应时间后，采取刹车礼让行人，汽车恰好停在斑马线前．汽车运动的v－t图像如图7所示，则汽车刹车时的加速度大小为(　　)

图7
A．20 m/s2 B．6 m/s2
C．5 m/s2 D．4 m/s2
答案　C
解析　减速位移x′＝(15－10×0.5) m＝10 m，减速时间设为t′，x′＝t′，得t′＝2 s，a＝＝5 m/s2，C正确．
12．(2020·山西太原高一上期中)我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验，从水面开始竖直下潜，最后返回水面，其v－t图像如图8所示，则下列说法正确的是(　　)

图8
A．0～4 min和6～10 min两时间段平均速度大小相等
B．全过程中的最大加速度为0.025 m/s2
C．3～4 min和6～8 min加速度方向相反
D．本次下潜的最大深度为6 m
答案　A
解析　根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则0～4 min内的位移大小为：x＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m；6～10 min内位移大小为x′＝×3.0×240 m＝360 m，可知，0～4 min和6～10 min两时间段位移大小相等，所用时间相等，则平均速度大小相等，故A正确；v－t图线的倾斜程度表示加速度的大小，0～1 min和3～4 min加速度最大，大小为a＝＝ m/s2≈0.033 m/s2，故B错误；v－t图像的斜率的正负反映加速度的方向，可知3～4 min和6～8 min加速度方向相同，故C错误；由题图可知t＝4 min时“蛟龙号”下潜到最深处，最大深度为：s＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m，故D错误．

13.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图像如图9所示．在这段时间内(　　)

图9
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案　A
解析　因为v－t图线与t坐标轴所围的面积表示物体的位移，故在0～t1时间内，甲车的位移大于乙车，故根据＝可知，甲车的平均速度大于乙车，选项A正确，C错误；因为乙车做变减速运动，故平均速度不等于，选项B错误；因为v－t图线的切线斜率的绝对值等于物体的加速度大小，故甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小，选项D错误．