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2021-2022学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份2021-2022学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（ ）
A．y=（x+2）2 B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2
3．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（ ）
A．（2，），（），（）
B．（8，6）（6，2）（2，4）
C．（8，6）（6，2）（2，4）或（﹣8，﹣6）（﹣6，﹣2）（﹣2，﹣4）
D．（8，﹣6）（6，﹣2）（2，﹣4）或（﹣8，6）（﹣6，2）（﹣2，4）
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，已知，则=（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：
①常数m＜﹣1；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；
③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；
④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．（3分）已知反比例函数y=的图象经过点A（2，2）、B（x，y），当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．﹣4＜y＜﹣ B．﹣＜y＜﹣4 C．＜y＜4 D．﹣1＜y＜﹣
10．（3分）已知点A（4，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
11．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜4 B．﹣4＜x＜4 C．x＜﹣4或x＞4 D．x＞4
12．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）等边三角形绕它的中心至少旋转 度，才能和原图形重合．
14．（3分）面积等于6cm2的正六边形的周长是 ．
15．（3分）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，
∠E=30°，则∠F= ．
16．（3分）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S△AOB= ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB=24，则AB的长= ．
18．（3分）将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．
（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小= （度）；
（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小= （度），点D的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是1，求该方程的另一个根．
20．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，
①求CB的长；
②求DF的长．
22．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
23．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．
（1）点P与水面的距离是 m；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）水面上升1m，水面宽是多少？
24．（10分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．
（2）设OD=t，
①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．
②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．
25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2．
（1）写出抛物线y=x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）已知点A（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？
（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y=x2于D，E两点，点F为y轴负半轴上一点，且∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．
2017-2018学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴朝上一面的数字是偶数的概率为： =．
故选：C．
2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（ ）
A．y=（x+2）2 B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2
【解答】解：y=（x+2）2的对称轴为x=﹣2，A正确；
y=2x2﹣2的对称轴为x=0，B错误；
y=﹣2x2﹣2的对称轴为x=0，C错误；
y=2（x﹣2）2的对称轴为x=2，D错误．
故选：A．
3．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC==，
所以△ABC的三边之比为：2： =1：2：，
A、三角形的三边分别为2， =， =3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4， =2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3， =，三边之比为2：3：，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为=， =，4，三边之比为：：4，故D选项错误．
故选：B．
4．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【解答】解：（1）∵∠E=∠E，∠FCE=∠D，
∴△CEF∽△ADF．
（2）∵∠E是公共角，∠B=∠FCE，
∴△ABE∽△CEF，
（3）∴△ABE∽△ADF．
故有3对．
故选：B．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（ ）
A．（2，），（），（）
B．（8，6）（6，2）（2，4）
C．（8，6）（6，2）（2，4）或（﹣8，﹣6）（﹣6，﹣2）（﹣2，﹣4）
D．（8，﹣6）（6，﹣2）（2，﹣4）或（﹣8，6）（﹣6，2）（﹣2，4）
【解答】解：由坐标系可知，点A、点B、点C的坐标分别为（4，3），（3，1），（1，2），
∵以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，
则它的对应顶点的坐标为（4×2，3×2），（3×2，1×2），（1×2，2×2）或（﹣4×2，﹣3×2），（﹣3×2，﹣1×2），（﹣1×2，﹣2×2），
即（8，6），（6，2），（2，4）或（﹣8，﹣6），（﹣6，﹣2），（﹣2，﹣4），
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，已知，则=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADP∽△ABQ，△APE∽△AQC，
∴=， =，
∴==．
故选：A．
7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：
一共有8种情况，有两只雄鸟的情况有3种，
所以，P（恰有两只雄鸟）=．
故选：B．
8．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：
①常数m＜﹣1；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；
③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；
④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解答】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，
∴m＞0
故①错误；
当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；
将A（﹣1，h），B（2，k）代入y=得到h=﹣m，2k=m，
∵m＞0
∴h＜k
故③正确；
将P（x，y）代入y=得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入y=得到m=xy，
故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上
故④正确，
故选：C．
9．（3分）已知反比例函数y=的图象经过点A（2，2）、B（x，y），当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．﹣4＜y＜﹣ B．﹣＜y＜﹣4 C．＜y＜4 D．﹣1＜y＜﹣
【解答】解：∵反比例函数关系式为y=（k≠0）图象经过点A（2，2），
∴k=2×2=4，
∴y=，
当x=﹣3时，y=﹣，
当x=﹣1时，y=﹣4，
∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣4＜y＜﹣．
故选：A．
10．（3分）已知点A（4，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵y=（x﹣2）2﹣1，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=2，
A（4，y1）关于直线x=2的对称点是（0，y1），
∵﹣2＜0＜，
∴y3＞y1＞y2，
故选：D．
11．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜4 B．﹣4＜x＜4 C．x＜﹣4或x＞4 D．x＞4
【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
所以，x=4时，y=5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故选：A．
12．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x=﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）等边三角形绕它的中心至少旋转 120 度，才能和原图形重合．
【解答】解：由于等边三角形三角完全相同，
旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，
因为一圈360度，除以3，就得到120度．
故答案为：120°．
14．（3分）面积等于6cm2的正六边形的周长是 12cm ．
【解答】解：如图，设正六边形外接圆的半径为a，
∵正六边形的面积为6cm2，
∴S△AOF=×6=cm2，
即a•a•sin∠OFA=a2•=．
∴a=2cm，
∴正六边形的周长是12cm，
故答案为：12cm．
15．（3分）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，
∠E=30°，则∠F= 40° ．
【解答】解：∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
故答案为40°．
16．（3分）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S△AOB= 2 ．
【解答】解：根据题意得：S△AOB==2，
故答案为：2
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB=24，则AB的长= 10 ．
【解答】解：如图连接OE、OF．则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2．
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F
∴可以假设设AD=AF=a，BD=BE=b，
则AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b，
∵AC2+BC2=AB2，
∴（a+2）2+（b+2）2=（a+b）2，
∴4a+4b+8=2ab，
∴4（a+b）=48﹣8
∴a+b=10，
∴AB=10．
故答案为10
18．（3分）将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．
（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小= 30 （度）；
（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小= 90 （度），点D的坐标为 （3，﹣3） ．
【解答】解：（1）∵线段OC，OD由OB旋转而成，
∴OB=OC=OD．
∴点B、C、D在以O为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=∠BOC=30°．
（2）如图2，过点O作OM⊥CD于点M，连接EM，过点D作BF⊥BO的延长线于点F．
∵∠OMD=90°，
∴∠OMC=90°．
在△OEB与△OMC中，
，
∴△OEB≌△OMC（AAS）．
∴OE=OM，∠BOE=∠COM．
∴∠EOM=∠EOC+∠COM=∠EOC+∠BOE=∠BOC=60°．
∴△OEM是等边三角形．
∴EM=OM=OE．
∵OC=OD，OM⊥CD，
∴CM=DM．
又∵∠DEC=90°，
∴EM=CM=DM．
∴OM=CM=DM．
∴点O、C、D、E在以M为圆心，MC为半径的圆上．
∴α=∠COD=90°，
∴∠FOD=30°，
∴OF=3，DF=3，
∴点D的坐标为（3，﹣3）．
故答案为：（1）30；（2）90，（3，﹣3）．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是1，求该方程的另一个根．
【解答】解：将x=1代入原方程，得：
1+k+3+k=0，
解得：k=﹣2．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：1+x1=﹣（﹣2+3），
∴x1=﹣2，
∴该方程的另一个根为﹣2．
20．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE=CE，
∴AB⊥CD，
∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴CD∥BF；
（2）解：连接OD、OC，
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°，
∴∠COD=2∠BOD=140°，
∴的长==．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，
①求CB的长；
②求DF的长．
[来源:Z#xx#k.Com]
【解答】（1）证明：连结AD，如图，
∵E是的中点，
∴==，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①在Rt△ACB中，
∵cosC===，AC=6，
∴BC=9．
②作FH⊥AB于H，
∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，
∵cos∠BFH=cos∠C==，
∴=，
解得x=3，即BF的长为3，
∴DF=2
22．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他 （x﹣1） 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 x（x﹣1） 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
【解答】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了x（x﹣1）份合同；
（Ⅱ）根据题意列方程得： x（x﹣1）=45，
解得x1=10，x2=﹣9（舍去），
检验：x=﹣9不合题意舍去，
所以x=10．
答：共有10家公司参加商品交易会．
故答案为：（x﹣1）； x（x﹣1）．
23．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．
（1）点P与水面的距离是 m；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）水面上升1m，水面宽是多少？
【解答】解：（1）由点P的坐标为（3，）知点P与水面的距离为m，
故答案为：；
（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
将点A（4，0）、P（3，）代入，得：
，
解得：，
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x；
（3）当y=1时，﹣x2+2x=1，即x2﹣4x+2=0，
解得：x=2，
则水面的宽为2+﹣（2﹣）=2（m）．
24．（10分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．
（2）设OD=t，
①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．
②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．
【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE=60°，DC=EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE=AD，
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，
∴C△DBE=CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD=2，
∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；
（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED=90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠CEB=30°，
∵∠CEB=∠CDA，
∴∠CDA=30°，
∵∠CAB=60°，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴DA=CA=4，
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，
∴t=2；
③当6＜t＜10时，由∠DBE=120°＞90°，
∴此时不存在；
④当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，
又由（1）知∠CDE=60°，
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE=90°，
从而∠BCD=30°，
∴BD=BC=4，
∴OD=14，
∴t=14，
综上所述：当t=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2．
（1）写出抛物线y=x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）已知点A（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？
（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y=x2于D，E两点，点F为y轴负半轴上一点，且∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．
【解答】解：（1）由题可得，抛物线y=x2的开口方向向上，
对称轴为直线x=0，
顶点坐标为（0，0）；
（2）∵点A（2，4），
∴OA解析式为y=2x，
∵抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，
∴可设顶点坐标为（m， 2m），
∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m，
∵抛物线与直线x=2交于点P，
∴P（2，m2﹣2m+4），
又∵直线x=2与x轴相交于点B，
∴B（2，0），
∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，
∴当m=1时，PB最短；
（3）设直线DE为y=kx+b，则C（0，b），OC=b，
直线DE与抛物线y=x2联立，得x2﹣kx﹣b=0，
设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=k，x1x2=﹣b，
∴y1+y2=kx1+b+kx2+b=k2+2b，y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=b2，
如图，分别过D，E作DQ⊥y轴于Q，EP⊥y轴于P，则∠DQC=∠EPC=90°，而∠DCQ=∠ECP，
∴△DCQ∽△ECP，[来源:Zxxk.Com]
∴=，
∵∠CFD=∠CFE，∠DQF=∠EPF，
∴△DQF∽△EPF，
∴=，
∴=，
设F（0，f），则OF=﹣f，
，
整理可得，k2（b+f）=0，
∵k≠0，
∴b+f=0，
∴b=﹣f，即OC=OF．
2017-2018学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（ ）
A．y=（x+2）2 B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2
3．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（ ）
A．（2，），（），（）
B．（8，6）（6，2）（2，4）
C．（8，6）（6，2）（2，4）或（﹣8，﹣6）（﹣6，﹣2）（﹣2，﹣4）
D．（8，﹣6）（6，﹣2）（2，﹣4）或（﹣8，6）（﹣6，2）（﹣2，4）
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，已知，则=（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：
①常数m＜﹣1；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；
③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；
④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．（3分）已知反比例函数y=的图象经过点A（2，2）、B（x，y），当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．﹣4＜y＜﹣ B．﹣＜y＜﹣4 C．＜y＜4 D．﹣1＜y＜﹣
10．（3分）已知点A（4，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
11．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜4 B．﹣4＜x＜4 C．x＜﹣4或x＞4 D．x＞4
12．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）等边三角形绕它的中心至少旋转 度，才能和原图形重合．
14．（3分）面积等于6cm2的正六边形的周长是 ．
15．（3分）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，
∠E=30°，则∠F= ．
16．（3分）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S△AOB= ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB=24，则AB的长= ．
18．（3分）将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．
（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小= （度）；
（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小= （度），点D的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是1，求该方程的另一个根．
20．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，
①求CB的长；
②求DF的长．
22．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
23．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．
（1）点P与水面的距离是 m；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）水面上升1m，水面宽是多少？
24．（10分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．
（2）设OD=t，
①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．
②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．
25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2．
（1）写出抛物线y=x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）已知点A（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？
（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y=x2于D，E两点，点F为y轴负半轴上一点，且∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．
2017-2018学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴朝上一面的数字是偶数的概率为： =．
故选：C．
2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（ ）
A．y=（x+2）2 B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2
【解答】解：y=（x+2）2的对称轴为x=﹣2，A正确；
y=2x2﹣2的对称轴为x=0，B错误；
y=﹣2x2﹣2的对称轴为x=0，C错误；
y=2（x﹣2）2的对称轴为x=2，D错误．
故选：A．
3．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC==，
所以△ABC的三边之比为：2： =1：2：，
A、三角形的三边分别为2， =， =3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4， =2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3， =，三边之比为2：3：，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为=， =，4，三边之比为：：4，故D选项错误．
故选：B．
4．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【解答】解：（1）∵∠E=∠E，∠FCE=∠D，
∴△CEF∽△ADF．
（2）∵∠E是公共角，∠B=∠FCE，
∴△ABE∽△CEF，
（3）∴△ABE∽△ADF．
故有3对．
故选：B．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（ ）
A．（2，），（），（）
B．（8，6）（6，2）（2，4）
C．（8，6）（6，2）（2，4）或（﹣8，﹣6）（﹣6，﹣2）（﹣2，﹣4）
D．（8，﹣6）（6，﹣2）（2，﹣4）或（﹣8，6）（﹣6，2）（﹣2，4）
【解答】解：由坐标系可知，点A、点B、点C的坐标分别为（4，3），（3，1），（1，2），
∵以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，
则它的对应顶点的坐标为（4×2，3×2），（3×2，1×2），（1×2，2×2）或（﹣4×2，﹣3×2），（﹣3×2，﹣1×2），（﹣1×2，﹣2×2），
即（8，6），（6，2），（2，4）或（﹣8，﹣6），（﹣6，﹣2），（﹣2，﹣4），
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，已知，则=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADP∽△ABQ，△APE∽△AQC，
∴=， =，
∴==．
故选：A．
7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：
一共有8种情况，有两只雄鸟的情况有3种，
所以，P（恰有两只雄鸟）=．
故选：B．
8．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：
①常数m＜﹣1；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；
③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；
④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解答】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，
∴m＞0
故①错误；
当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；
将A（﹣1，h），B（2，k）代入y=得到h=﹣m，2k=m，
∵m＞0
∴h＜k
故③正确；
将P（x，y）代入y=得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入y=得到m=xy，
故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上
故④正确，
故选：C．
9．（3分）已知反比例函数y=的图象经过点A（2，2）、B（x，y），当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．﹣4＜y＜﹣ B．﹣＜y＜﹣4 C．＜y＜4 D．﹣1＜y＜﹣
【解答】解：∵反比例函数关系式为y=（k≠0）图象经过点A（2，2），
∴k=2×2=4，
∴y=，
当x=﹣3时，y=﹣，
当x=﹣1时，y=﹣4，
∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣4＜y＜﹣．
故选：A．
10．（3分）已知点A（4，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵y=（x﹣2）2﹣1，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=2，
A（4，y1）关于直线x=2的对称点是（0，y1），
∵﹣2＜0＜，
∴y3＞y1＞y2，
故选：D．
11．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜4 B．﹣4＜x＜4 C．x＜﹣4或x＞4 D．x＞4
【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
所以，x=4时，y=5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故选：A．
12．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x=﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）等边三角形绕它的中心至少旋转 120 度，才能和原图形重合．
【解答】解：由于等边三角形三角完全相同，
旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，
因为一圈360度，除以3，就得到120度．
故答案为：120°．
14．（3分）面积等于6cm2的正六边形的周长是 12cm ．
【解答】解：如图，设正六边形外接圆的半径为a，
∵正六边形的面积为6cm2，
∴S△AOF=×6=cm2，
即a•a•sin∠OFA=a2•=．
∴a=2cm，
∴正六边形的周长是12cm，
故答案为：12cm．
15．（3分）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，
∠E=30°，则∠F= 40° ．
【解答】解：∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
故答案为40°．
16．（3分）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S△AOB= 2 ．
【解答】解：根据题意得：S△AOB==2，
故答案为：2
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB=24，则AB的长= 10 ．
【解答】解：如图连接OE、OF．则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2．
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F
∴可以假设设AD=AF=a，BD=BE=b，
则AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b，
∵AC2+BC2=AB2，
∴（a+2）2+（b+2）2=（a+b）2，
∴4a+4b+8=2ab，
∴4（a+b）=48﹣8
∴a+b=10，
∴AB=10．
故答案为10
18．（3分）将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．
（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小= 30 （度）；
（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小= 90 （度），点D的坐标为 （3，﹣3） ．
【解答】解：（1）∵线段OC，OD由OB旋转而成，
∴OB=OC=OD．
∴点B、C、D在以O为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=∠BOC=30°．
（2）如图2，过点O作OM⊥CD于点M，连接EM，过点D作BF⊥BO的延长线于点F．
∵∠OMD=90°，
∴∠OMC=90°．
在△OEB与△OMC中，
，
∴△OEB≌△OMC（AAS）．
∴OE=OM，∠BOE=∠COM．
∴∠EOM=∠EOC+∠COM=∠EOC+∠BOE=∠BOC=60°．
∴△OEM是等边三角形．
∴EM=OM=OE．
∵OC=OD，OM⊥CD，
∴CM=DM．
又∵∠DEC=90°，
∴EM=CM=DM．
∴OM=CM=DM．
∴点O、C、D、E在以M为圆心，MC为半径的圆上．
∴α=∠COD=90°，
∴∠FOD=30°，
∴OF=3，DF=3，
∴点D的坐标为（3，﹣3）．
故答案为：（1）30；（2）90，（3，﹣3）．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是1，求该方程的另一个根．
【解答】解：将x=1代入原方程，得：
1+k+3+k=0，
解得：k=﹣2．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：1+x1=﹣（﹣2+3），
∴x1=﹣2，
∴该方程的另一个根为﹣2．
20．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE=CE，
∴AB⊥CD，
∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴CD∥BF；
（2）解：连接OD、OC，
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°，
∴∠COD=2∠BOD=140°，
∴的长==．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，
①求CB的长；
②求DF的长．
[来源:Z#xx#k.Com]
【解答】（1）证明：连结AD，如图，
∵E是的中点，
∴==，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①在Rt△ACB中，
∵cosC===，AC=6，
∴BC=9．
②作FH⊥AB于H，
∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，
∵cos∠BFH=cos∠C==，
∴=，
解得x=3，即BF的长为3，
∴DF=2
22．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他 （x﹣1） 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 x（x﹣1） 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
【解答】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了x（x﹣1）份合同；
（Ⅱ）根据题意列方程得： x（x﹣1）=45，
解得x1=10，x2=﹣9（舍去），
检验：x=﹣9不合题意舍去，
所以x=10．
答：共有10家公司参加商品交易会．
故答案为：（x﹣1）； x（x﹣1）．
23．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．
（1）点P与水面的距离是 m；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）水面上升1m，水面宽是多少？
【解答】解：（1）由点P的坐标为（3，）知点P与水面的距离为m，
故答案为：；
（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
将点A（4，0）、P（3，）代入，得：
，
解得：，
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x；
（3）当y=1时，﹣x2+2x=1，即x2﹣4x+2=0，
解得：x=2，
则水面的宽为2+﹣（2﹣）=2（m）．
24．（10分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．
（2）设OD=t，
①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．
②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．
【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE=60°，DC=EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE=AD，
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，
∴C△DBE=CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD=2，
∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；
（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED=90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠CEB=30°，
∵∠CEB=∠CDA，
∴∠CDA=30°，
∵∠CAB=60°，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴DA=CA=4，
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，
∴t=2；
③当6＜t＜10时，由∠DBE=120°＞90°，
∴此时不存在；
④当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，
又由（1）知∠CDE=60°，
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE=90°，
从而∠BCD=30°，
∴BD=BC=4，
∴OD=14，
∴t=14，
综上所述：当t=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2．
（1）写出抛物线y=x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）已知点A（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？
（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y=x2于D，E两点，点F为y轴负半轴上一点，且∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．
【解答】解：（1）由题可得，抛物线y=x2的开口方向向上，
对称轴为直线x=0，
顶点坐标为（0，0）；
（2）∵点A（2，4），
∴OA解析式为y=2x，
∵抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，
∴可设顶点坐标为（m， 2m），
∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m，
∵抛物线与直线x=2交于点P，
∴P（2，m2﹣2m+4），
又∵直线x=2与x轴相交于点B，
∴B（2，0），
∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，
∴当m=1时，PB最短；
（3）设直线DE为y=kx+b，则C（0，b），OC=b，
直线DE与抛物线y=x2联立，得x2﹣kx﹣b=0，
设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=k，x1x2=﹣b，
∴y1+y2=kx1+b+kx2+b=k2+2b，y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=b2，
如图，分别过D，E作DQ⊥y轴于Q，EP⊥y轴于P，则∠DQC=∠EPC=90°，而∠DCQ=∠ECP，
∴△DCQ∽△ECP，[来源:Zxxk.Com]
∴=，
∵∠CFD=∠CFE，∠DQF=∠EPF，
∴△DQF∽△EPF，
∴=，
∴=，
设F（0，f），则OF=﹣f，
，
整理可得，k2（b+f）=0，
∵k≠0，
∴b+f=0，
∴b=﹣f，即OC=OF．
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