2021-2022学年福建省福州市福清市九年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份2021-2022学年福建省福州市福清市九年级（上）期中数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年福建省福州市福清市九年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项）
1．（4分）一元二次方程x2﹣3x+2=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（　　）
A．1，3，2 B．1，﹣3，2 C．0，3，2 D．0，﹣3，2
2．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+4=0，原方程应变为（　　）
A．（x+3）2=13 B．（x+3）2=5 C．（x﹣3）2=13 D．（x﹣3）2=5
3．（4分）下列熟悉的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．
等腰直角三角形
B．
正五边形
C．平行四边形
D．
矩形
4．（4分）把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是（　　）
A．y=（x+2）2 B．y=（x﹣2）2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2
5．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0一个根为3，则另一个根为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6
6．（4分）今年某市的房价不断上涨，6月份平均每平方米约10362元，仅仅过了两个月，到8月份，平均每平方米就涨到约11438，设每个月房价的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．10362x2=11438 B．10362（1+2x）=11438
C．10362（1+x）2=11438 D．10362（1+x）+10362（1+x）2=11438
7．（4分）如图，平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A的坐标为（3，2），将△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A′的坐标是（　　）

A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2）
8．（4分）已知方程x2+x+m=0有两个不相等的实数根，则二次函数y=x2+x+m的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，在正三角形网格中，其中的一个梯形（阴影部分）经过旋转变换能得到另一个梯形，则下列四个点中能作为旋转中心的是（　　）[来源:学。科。网Z。X。X。K]

A．点P B．点Q C．点M D．点N
10．（4分）已知A（3，n）、B（m，n+1）是抛物线y=ax2+4ax+c（a＜0）上两点，则m的值不可能是（　　）
A．2 B．0 C．﹣6 D．﹣9
　
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）点（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标是　 　．
12．（4分）方程x2=5x的根是　 　．
13．（4分）二次函数y=2017x2﹣2018x有最　 　值（填“大”或“小”）
14．（4分）抛物线y=x2﹣3x﹣20与x轴的其中一个交点是（m，0），则2m2﹣6m的值为　 　．
15．（4分）校运会上，一名男生推铅球，出手点A距地面m，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是4m时，达到最大高度3m，那么该名男生推铅球的成绩是　 　m．

16．（4分）如图，将含有45°角的直角三角板ABC（∠C=90°）绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，连接BB′，已知AC=2，则阴影部分面积为　 　．

　
三、解答题（共9小题，满分86分）
17．（7分）解方程x2﹣3x+1=0．
18．（8分）已知关于x的方程x2+（m﹣2）x+9=0有两个相等的实数根，求m的值．
19．（8分）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？请用方程知识求矩形田地的长与宽．
20．（8分）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过（4，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数解析式．
21．（9分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．
（1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
x
…
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
…
y
…
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
…

（2）结合图象回答：
①当x＞1时，y随x的增大而　 　；（填“增大”或“减小”）
②不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是　 　．
22．（10分）如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，此时点B′恰好落在边AD上．
（1）画出旋转后的图形；
（2）连接B′B，若∠AB′B=75°，求旋转角及AB长．

23．（10分）某超市销售一种成本为40元/千克的商品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，现打算涨价销售，据市场调查，涨价x元时，月销售量为m千克，m是x的一次函数，部分数据如下表：
涨价x（元）
1
2
3
4
…
月销售量m（千克）
490
480
470
460
…
（1）观察表中数据，直接写出m与x的函数关系式：　 　；当涨价5元时，计算可得月销售利润时　 　元；
（2）当售价定多少元时会获得月销售最大利润？求出最大利润．
24．（12分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP=CQ=2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．

（1）求证：AP=BQ；
（2）当PQ⊥BQ时，求AP的长；
（3）设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，直接写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．
25．（14分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）
（1）填空：c=　 　；（用含b的式子表示）
（2）b＜4．
①求证：抛物线与x轴有两个交点；
②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），求b的取值范围；
（3）平移抛物线，使其顶点P落在直线y=3x﹣2上，设抛物线与直线的另一个交点为Q，C在该直线下方的抛物线上，求△CPQ面积的最大值．
　

2017-2018学年福建省福州市福清市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项）
1．（4分）一元二次方程x2﹣3x+2=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（　　）
A．1，3，2 B．1，﹣3，2 C．0，3，2 D．0，﹣3，2
【解答】解：x2﹣3x+2=0的二次项系数是1，一次项系数是﹣3，常数项是2，
故选：B．
　
2．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+4=0，原方程应变为（　　）
A．（x+3）2=13 B．（x+3）2=5 C．（x﹣3）2=13 D．（x﹣3）2=5
【解答】解：x2﹣6x+4=0
x2﹣6x+9=9﹣4
（x﹣3）2=5
故选：D．
　
3．（4分）下列熟悉的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．
等腰直角三角形
B．
正五边形
C．平行四边形
D．
矩形
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
　
4．（4分）把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是（　　）
A．y=（x+2）2 B．y=（x﹣2）2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2
【解答】解：∵抛物线y=x2向左平移2个单位后的顶点坐标为（﹣2，0），
∴得到的抛物线是y=（x+2）2．
故选：A．
　
5．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0一个根为3，则另一个根为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6
【解答】解：
设方程的另一根为x，
∵方程x2+mx﹣3=0一个根为3，
∴3x=﹣3，解得x=﹣1，即方程的另一根为﹣1，
故选： B．
　
6．（4分）今年某市的房价不断上涨，6月份平均每平方米约10362元，仅仅过了两个月，到8月份，平均每平方米就涨到约11438，设每个月房价的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．10362x2=11438 B．10362（1+2x）=11438
C．10362（1+x）2=11438 D．10362（1+x）+10362（1+x）2=11438
【解答】解：设每个月房价的平均增长率为x，
依题意得：10362（1+x）2=11438．
故选：C．
　
7．（4分）如图，平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A的坐标为（3，2），将△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A′的坐标是（　　）

A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2）
【解答】解：如图．
∵将△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，
∴A′B′=AB=2，OB′=OB=3．
∴A′（2，﹣3）．
故选：A．

　
8．（4分）已知方程x2+x+m=0有两个不相等的实数根，则二次函数y=x2+x+m的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵方程x2+x+m=0有两个不相等的实数根，
∴二次函数y=x2+x+m的图象与x轴有两个交点，故A选项错误；
∵a=＞0，
∴抛物线开口向上，故B选项错误；
对称轴是直线x=﹣=﹣1＜0，故C选项错误．
故选：D．
　
9．（4分）如图，在正三角形网格中，其中的一个梯形（阴影部分）经过旋转变换能得到另一个梯形，则下列四个点中能作为旋转中心的是（　　）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
【解答】解：如图所示：连接两对对应点，分别作出垂直平分线，其交点Q即为旋转中心，
∴能作为旋转中心的是点Q，

故选：B．
　
10．（4分）已知A（3，n）、B（m，n+1）是抛物线y=ax2+4ax+c（a＜0）上两点，则m的值不可能是（　　）
A．2 B．0 C．﹣6 D．﹣9
【解答】解：∵y=ax2+4ax+c（a＜0）的对称轴为x=﹣=﹣2，开口向下，
∴在对称轴的右边函数y随x的增大而减小，
∵3＜﹣2，
∴﹣2＜m＜3，
∵A（3，n）关于对称轴的对称点为（﹣7，n），
在对称轴的右边函数y随x的增大而增大，
∴﹣7＜m＜﹣2，
故m不可能为﹣9，
故选：D．
　
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）点（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标是　（﹣3，1）　．
【解答】解：点（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
　
12．（4分）方程x2=5x的根是　x1=0，x2=5　．
【解答】解：x2﹣5x=0，
∴x（x﹣5）=0，
∴x=0或x﹣5=0，
∴x1=0，x2=5．
故答案为x1=0，x2=5．
　
13．（4分）二次函数y=2017x2﹣2018x有最　小　值（填“大”或“小”）
【解答】解：∵a=2017＞0，
∴抛物线开口向上，有最小值，
故答案为小．
　
14．（4分）抛物线y=x2﹣3x﹣20与x轴的其中一个交点是（m，0），则2m2﹣6m的值为　40　．
【解答】解：把（m，0）代入抛物线的解析式y=x2﹣3x﹣20，
得到：m2﹣3m﹣20=0，
∴m2﹣3m=20，
∴2m2﹣6m=40，
故答案为40．
　
15．（4分）校运会上，一名男生推铅球，出手点A距地面m，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是4m时，达到最大高度3m，那么该名男生推铅球的成绩是　10　m．

【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣4）2+3，
把（0，）代入y=a（x﹣4）2+3，
解得，a=﹣，
则二次函数的解析式为：y=﹣（x﹣4）2+3=﹣x2+x+；
令y=0得到：﹣x2+x+=0，
解得，x1=﹣2（舍去），x2=10，
则铅球推出的距离为10m．
故答案为10．
　
16．（4分）如图，将含有45°角的直角三角板ABC（∠C=90°）绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，连接BB′，已知AC=2，则阴影部分面积为　π　．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，AC=2，
∴AB=AC=2．
∴S阴影=S△ABC+S扇形ABB′﹣S△AB′C′=S扇形ABB′==π．
故答案为：π．
　
三、解答题（共9小题，满分86分）
17．（7分）解方程x2﹣3x+1=0．
【解答】解：x2﹣3x+1=0，
∵△=9﹣4=5＞0，
∴x1=，x2=．
　
18．（8分）已知关于x的方程x2+（m﹣2）x+9=0有两个相等的实数根，求m的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+（m﹣2）x+9=0有两个相等的实数根，
∴△=（m﹣2）2﹣4×1×9=m2﹣4m﹣32=0，即（m+4）（m﹣8）=0，
解得：m1=﹣4，m2=8．
故m的值为﹣4或8．
　
19．（8分）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？请用方程知识求矩形田地的长与宽．
【解答】解：设矩形田地长为x步，宽为（x﹣12）步，
根据题意列方程得：x（x﹣12）=864，
x2﹣12x﹣864=0
解得x1=36，x2=﹣24（舍）．
∴x﹣12=24
答：该矩形田地的长36步，宽24步．
　
20．（8分）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过（4，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数解析式．
【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（4，1）和（1，﹣2）两点，
∴
解得
∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x+1．
　
21．（9分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．
（1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
x
…
　﹣1　
　0　
　1　
　2　
　3　
…
y
…
　0　
　﹣3　
　﹣4　
　﹣3　
　0　 [来源:学科网]
…

（2）结合图象回答：
①当x＞1时，y随x的增大而　增大　；（填“增大”或“减小”）
②不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是　﹣1＜x＜3　．
【解答】解：（1）完成表格如下：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
函数图象如下：


（2）①由函数图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大；[来源:学+科+网Z+X+X+K]
②不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是﹣1＜x＜3；
故答案为：①增大；②﹣1＜x＜3．
　
22．（10分）如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，此时点B′恰好落在边AD上．
（1）画出旋转后的图形；
（2）连接B′B，若∠AB′B=75°，求旋转角及AB长．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）连接B′B，作B′E⊥BC于E，
∵∠AB′B=75°，
∴∠ABB′=15°，
∴∠CBB′=75°，
∵CB=CB′=4，
∴∠CBB′=∠CB′B=75°，
∴∠BCB′=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴B′E=CB′=2，
∴AB=2．
故旋转角是30°，AB长2．

　
23．（10分）某超市销售一种成本为40元/千克的商品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，现打算涨价销售，据市场调查，涨价x元时，月销售量为m千克，m是x的一次函数，部分数据如下表：
涨价x（元）
1
2
3
4
…
月销售量m（千克）
490
480
470
460
…
（1）观察表中数据，直接写出m与x的函数关系式：　m=﹣10x+500　；当涨价5元时，计算可得月销售利润时　6750　元；
（2）当售价定多少元时会获得月销售最大利润？求出最大利润．
【解答】解：（1）设m与x的函数关系式为：m=kx+b，把x=1，m=490，x=2，m=480代入，
可得：，
解得：，
所以m与x的函数关系式为：m=﹣10x+500；
由题意得：
y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
=﹣10x2+1400x﹣40000；
当涨价5元时，即x=55，把x=55代入销售利润：y=﹣10×552+1400×55﹣40000=6750（元）；
故答案为：m=﹣10x+500，6750；
（2）当x=﹣=70时，y最大==9000（元）．
即当售价定为70元时会获最大利润，最大利润为9000元．
　
24．（12分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP=CQ=2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．

（1）求证：AP=BQ；
（2）当PQ⊥BQ时，求AP的长；
（3）设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，直接写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵CA=CB，CP=CQ，∠ACB=∠PCQ=90°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ，
∴PA=BQ．

（2）解：如图2中，作CH⊥PQ于H．

∵PQ⊥BQ，
∴∠PQB=90°，∵∠CQP=∠CPQ=45°，
∴∠CQB=135°，
∵△ACP≌△CBQ，
∴∠APC=∠CQB=135°，
∴∠APC+∠CPQ=180°，
∴A、P、Q共线，
∵PC=2，
∴CH=PH=，
在Rt△ACH中，AH===，
∴PA=AH﹣PH=﹣．

（3）解：结论：EP+EQ=EC．
理由：如图3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O．

∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAO=∠OBE，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠OEB=∠ACO=90°，
∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，
∴∠MCN=∠PCQ=90°，
∴∠PCN=∠QCM，
∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，
∴△CNP≌△CMQ，
∴CN=CM，QM=PN，
∴CE=CE，
∴△CEM≌△CEN，
∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°
∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN，EC=EN，
∴EP+EQ=EC．
　
25．（14分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）
（1）填空：c=　2b﹣4　；（用含b的式子表示）
（2）b＜4．
①求证：抛物线与x轴有两个交点；
②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），求b的取值范围；
（3）平移抛物线，使其顶点P落在直线y=3x﹣2上，设抛物线与直线的另一个交点为Q，C在该直线下方的抛物线上，求△CPQ面积的最大值．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入得：4﹣2b+c=0，
∴c=2b﹣4．
故答案为：2b﹣4．
（2）①由（1）可知抛物线的解析式为y=x2+bx+2b﹣4．[来源:Z。xx。k.Com]
∴△=b2﹣4（2b﹣4）=b2﹣8b+16=（b﹣4）2．
又∵b＜4，
∴△＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
②当点B在点A的右侧时．
∵线段AB上恰有5个整点，
∴0≤﹣＜，即0≤﹣b＜
∴﹣1＜b≤0
当点B在点A的左侧时．
∵线段AB上恰有5个整点，
∴﹣4.5＜﹣≤﹣4，即﹣4.5＜﹣b≤﹣4．
∴8≤b＜9．
解得：﹣1＜b≤0或8≤b＜9．
又∵b＜4
∴b的取值范围是：﹣1＜b≤0．
（3）如图所示：

以平移后抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系，则在新坐标系内抛物线的解析式为y=x2，直线的解析式为y=3x．
过点C作CD∥y轴，交直线与点D．
将y=3x代入y=x2得3x=x2，解得：x=0或x=3．
设点C的坐标为（x，x2），则点D的坐标为（x，3x）．则DC=3x﹣x2．
∴△PQC的面积=DC•|xQ﹣xP|=×3×（3x﹣x2）=﹣x2+=﹣（x﹣）2+．
∴△CPQ面积的最大值为．