2021届辽宁省铁岭市六校高三下学期一模数学试卷 （含答案）

这是一份2021届辽宁省铁岭市六校高三下学期一模数学试卷 （含答案），共24页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合M＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，N＝{x|y＝}，且M、N都是全集R（R为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|3＜x≤6}B．{x|x＜﹣3或x＞6}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3≤x≤6}
2．已知i为虚数单位，复数z＝（a∈R）是纯虚数，则|﹣ai|＝（ ）
A．B．4C．3D．2
3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
4．若a∈R，“a＞3”是“函数f（x）＝（x﹣a）ex在（0，+∞）上有极值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．蹴鞠（如图所示），2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四个点A、B、C、P，且球心O在PC上，AC＝BC＝2，AC⊥BC，tan∠PAB＝tan∠PBA＝，则该鞠（球）的表面积为（ ）
A．5πB．7πC．9πD．14π
6．若关于x的方程﹣mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）
C．（﹣，﹣]D．[﹣，﹣）
7．已知F（x）＝f（x+）﹣1是R上的奇函数，an＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an＝n﹣1B．an＝nC．an＝n+1D．an＝n2
8．如图在底圆半径和高均为2的圆锥中AB、CD是过底圆圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（ ）
A．B．1C．D．
二、多项选择题（共4小题）.
9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分自变量、函数值如表所示，下列结论正确的是（ ）
A．函数解析式为f（x）＝3sin（2x+）+2
B．函数f（x）图象的一条对称轴为x＝﹣
C．（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心
D．函数f（x）的图象左平移个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数
10．下列说法中错误的为（ ）
A．已知＝（1，2），＝（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（﹣，+∞）
B．向量＝（2，﹣3），＝（，﹣）不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足||＞||且与同向，则＞
D．非零向量和，满足||＝||＝|﹣|，则与+的夹角为30°
11．已知a＞b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．lgab＞lgbaB．
C．ab＜baD．2a﹣2b＞2﹣b﹣2﹣a
12．设数列{an}满足0＜a1＜，an+1＝an+ln（2﹣an）对任意的n∈N*恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．＜a2＜1B．{an}是递增数列
C．1＜a2020＜D．＜a2020＜1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝ax2﹣2x+1，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为4，则a＝ ．
14．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有 种（用数字作答）．
15．已知双曲线与椭圆＝1有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则此双曲线方程为 ．
16．赵先生准备通过某银行贷款5000元，后通过分期付款的方式还款．银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，则赵先生每个月所要还款的钱数为 元．（精确到0.01元，参考数据≈17.213）
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝sinBsinC，②bsin＝asinB，③asinB＝bsin（﹣A）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b＝2c，_____，求A和C．
18．如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BD＝6，BC＝3，AE＝3，AM＝4．
（1）求直线CE与平面ABC所成角的正弦值；
（2）求证：CM⊥平面ABDE；
（3）求二面角M﹣EC﹣B的余弦值．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，n∈N*．数列{bn}是公差大于0的等差数列，b2＝a3，且b1，b2，a4成等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若Tn＝，求Tn．
20．某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
（1）求a的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在[550，650），[750，850）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？
（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）
21．已知椭圆方程＝1，直线l：x＝4与x轴相交于点P，过右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点．
（1）若过点F的直线MF与AB垂直，且与直线l交于点M，线段AB中点为D，求证kOD＝kOM．
（2）设Q点的坐标为（，0），直线BQ与直线l交于点E，试问EA是否垂直EP，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝xex+ax2+2ax，e为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，不等式f（x）≥（2a+1）x﹣xln（x+1）恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，N＝{x|y＝}，且M、N都是全集R（R为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|3＜x≤6}B．{x|x＜﹣3或x＞6}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3≤x≤6}
解：由图象可知阴影部分对应的集合为N∩（∁RM ），
∵M＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}＝{x|﹣2＜x＜6}，
∴∁RM＝{x|x≥6或x≤﹣2}
∵N＝{x|y＝}＝{x|9﹣x2≥0}＝{x|﹣3≤x≤3}，
∴N∩（∁RM ）＝{x|﹣3≤x≤﹣2}，
故选：C．
2．已知i为虚数单位，复数z＝（a∈R）是纯虚数，则|﹣ai|＝（ ）
A．B．4C．3D．2
解：z＝＝＝是纯虚数，
则，
解得a＝﹣2，
则|+2i|＝3．
故选：C．
3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；
B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；
C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；
D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．
故选：D．
4．若a∈R，“a＞3”是“函数f（x）＝（x﹣a）ex在（0，+∞）上有极值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：∵f（x）＝（x﹣a）ex，则f′（x）＝（x﹣a+1）ex，
令f′（x）＝0，可得x＝a﹣1，
当x＜a﹣1时，f′（x）＜0，当x＞a﹣1时，f′（x）＞0，
所以，函数y＝f（x）在x＝a﹣1处取得极小值，
若函数y＝f（x）在（0，+∞）上有极值，则a﹣1＞0，∴a＞1，
因此a＞3是函数f（x）＝（x﹣a）ex在（0，+∞）上有极值的充分不必要条件．
故选：A．
5．蹴鞠（如图所示），2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四个点A、B、C、P，且球心O在PC上，AC＝BC＝2，AC⊥BC，tan∠PAB＝tan∠PBA＝，则该鞠（球）的表面积为（ ）
A．5πB．7πC．9πD．14π
解：如图，取AB中点M，
由AC＝BC＝2，AC⊥BC，得AB＝，
由tan∠PAB＝tan∠PBA＝，得PM＝，
连接CM并延长，交球O于H，连接PH，
∵PC为球O的直径，∴PH⊥CH，MH＝CH＝AB＝，
则PH＝，
∴，
可得球的表面积为4πR2＝9π．
故选：C．
6．若关于x的方程﹣mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）
C．（﹣，﹣]D．[﹣，﹣）
解：关于x的方程程﹣mx﹣3＝0 有两个不相等的实数解，
即是y＝，y＝mx+2的图象有两个交点，
因为y＝是以（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
而y＝mx+3是过定点（0，3）的直线，由图可知，
当直线在AB和AC之间时符合要求，
当直线为AB时 m＝＝﹣，
当直线为AC时，有点D到直线AC的距离等于半径可得m＝±（正值舍去）
故实数m的取值范围是[﹣，﹣），
故选：D．
7．已知F（x）＝f（x+）﹣1是R上的奇函数，an＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an＝n﹣1B．an＝nC．an＝n+1D．an＝n2
解：F（x）＝f（x+）﹣1在R上为奇函数
故F（﹣x）＝﹣F（x），
代入得：f（﹣x）+f（+x）＝2，（x∈R）
当x＝0时，f（）＝1．
令t＝﹣x，则+x＝1﹣t，
上式即为：f（t）+f（1﹣t）＝2．
当n为偶数时：
an＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）
＝[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+f（）
＝
＝n+1．
当n为奇数时：
an＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）
＝[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]
＝2×
＝n+1．
综上所述，an＝n+1．
故选：C．
8．如图在底圆半径和高均为2的圆锥中AB、CD是过底圆圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（ ）
A．B．1C．D．
解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H，
因为E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为2，
所以OH＝EH＝，所以OE＝2，
在平面CED内建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线的方程为：y2＝2px，（p＞0），F为抛物线的焦点，
而点C的坐标为（2，2），
代入抛物线方程可得：8＝2p•2，所以p＝2，F（1，0），
即EF＝1，PB＝4，PE＝2，
所以giant抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为，
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分自变量、函数值如表所示，下列结论正确的是（ ）
A．函数解析式为f（x）＝3sin（2x+）+2
B．函数f（x）图象的一条对称轴为x＝﹣
C．（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心
D．函数f（x）的图象左平移个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数
解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B，根据表格的第1、2列可得B＝2，A＝5﹣2＝3，
根据表格的第4、5列可得＝﹣＝，解得T＝π，ω＝＝2，
根据表格的第4列可得2×+φ＝，解得φ＝，
所以f（x）＝3sin（2x+）+2，选项A正确；
因为f（﹣）＝3sin（﹣+）+2＝﹣1，所以x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴，选项B正确；
因为f（﹣）＝3sin（﹣+）+2＝2，所以（﹣，2）是f（x）图象的一个对称中心，
（﹣，0）不是f（x）图象的对称中心，选项C错误；
因为函数f（x）的图象左平移个单位，得y＝f（x+）＝3sin（2x+π）+2＝﹣3sin2x+2的图象，
再向下移2个单位得y＝f（x+）﹣2＝﹣3sin2x的图象，所以该函数是奇函数，选项D正确．
故选：ABD．
10．下列说法中错误的为（ ）
A．已知＝（1，2），＝（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（﹣，+∞）
B．向量＝（2，﹣3），＝（，﹣）不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足||＞||且与同向，则＞
D．非零向量和，满足||＝||＝|﹣|，则与+的夹角为30°
解：对于A，•（+λ）＝3λ+5＞0，且λ≠0，所以A不正确；
对于B，向量＝（2，﹣3），＝（，﹣），满足＝4，两个向量共线，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，所以B正确；
对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，所以C不正确；
对于D，非零向量和，满足||＝||＝|﹣|，所以以向量和的长度为边，构造菱形，满足与+的夹角为30°，所以D正确；
故选：AC．
11．已知a＞b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．lgab＞lgbaB．
C．ab＜baD．2a﹣2b＞2﹣b﹣2﹣a
解：由a＞b＞0，且a+b＝1，
∴0＜b＜a＜1，
∴lgab＞lgaa＝1，lgba＜lgbb＝1，
∴lgab＞lgba，故A正确；
∴+＝（+）（a+b）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当＝，即a＝2﹣，b＝﹣1时取等号，故B不正确；
由于ba＜bb＜ab，故C不正确；
∵y＝2x+2﹣x在（0，+∞）为增函数，
∴2a+2﹣a＞2b+2﹣b，
∴2a﹣2b＞2﹣b﹣2﹣a，故D正确；
故选：AD．
12．设数列{an}满足0＜a1＜，an+1＝an+ln（2﹣an）对任意的n∈N*恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．＜a2＜1B．{an}是递增数列
C．1＜a2020＜D．＜a2020＜1
解：因为an+1＝an+ln（2﹣an）且0＜a1＜，设f（x）＝x+ln（2﹣x），则f'（x）＝，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，1）上为单调递增函数，即在上为增函数，故，所以，故，即（n≥2），
所以，，故选项A正确，选项C错误；
由f（x）在（0，1）上为单调递增函数，（n≥2），所以数列{an}是递增数列，故选项B正确；
因为，所以，因此，故＜a2020＜1，故选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝ax2﹣2x+1，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为4，则a＝ ﹣3 ．
解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝ax2﹣2x+1，
当x＞0时，﹣x＜，f（﹣x）＝ax2+2x+1，
又f（x）＝﹣f（﹣x），
所以x＞0时，f（x）＝﹣ax2﹣2x﹣1，
则f′（x）＝﹣2ax﹣2，′
由题意可得f′（1）＝﹣2a﹣2＝4，
解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有 36 种（用数字作答）．
解：根据题意，分3步进行分析：
①，根据题意，4个社团中恰有2个社团，即只有2个社团有人报名，
则先在4个社团中任选2个，有学生报名，有C42＝6种选法，
②、将3名学生分为2组，有C32＝3种分法，
③，进而将2组全排列，对应2个社团，有A22＝2种情况，
则恰有2个社团没有同学选报的报法数有6×3×2＝36种；
故恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种；
故答案为：36
15．已知双曲线与椭圆＝1有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则此双曲线方程为 ﹣y2＝1 ．
解：双曲线与椭圆＝1有相同的焦点，所以双曲线的焦点坐标（±，0），
所以c＝，a2+b2＝10，
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝，解得a＝3，b＝1，所以双曲线方程为：﹣y2＝1．
故答案为：﹣y2＝1．
16．赵先生准备通过某银行贷款5000元，后通过分期付款的方式还款．银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，则赵先生每个月所要还款的钱数为 430.33 元．（精确到0.01元，参考数据≈17.213）
解：设每一期所还款数为x元，
则每期所还款本金为，，，…，，
所以+++…+＝5000，
则≈430.33，
所以赵先生每个月所要还款约430.33元．
故答案为：430.33．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝sinBsinC，②bsin＝asinB，③asinB＝bsin（﹣A）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b＝2c，_____，求A和C．
解：若选①，sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝sinBsinC，由正弦定理可得（b﹣c）2＝a2﹣bc，
则b2+c2﹣a2＝bc，
由余弦定理可得csA＝＝＝，
又0＜A＜π，
∴A＝，
∵a+b＝2c，
∴sinA+sinB＝2sinC，
∴sin+sin（﹣C）＝2sinC，
∴sinC﹣csC＝，
∴sin（C﹣）＝，
∴C﹣＝，
∴C＝．
若选②，由bsin＝asinB，由正弦定理可得sinBsin（﹣）＝sinAsinB，
∵sinB≠0，
∴cs＝2sincs，
∵cs≠0，
∴sin＝，
∵0＜＜，
∴A＝，
∵a+b＝2c，
∴sinA+sinB＝2sinC，
∴sin+sin（﹣C）＝2sinC，
∴sinC﹣csC＝，
∴sin（C﹣）＝，
∴C﹣＝，
∴C＝．
若选③，由asinB＝bsin（﹣A）＝bcs（A﹣），由正弦定理可得sinAsinB＝sinBcs（A﹣），
∵sinB≠0，
∴sinA＝cs（A﹣），
∴A+A﹣＝，或+A＝A﹣，
∴A＝，
∵a+b＝2c，
∴sinA+sinB＝2sinC，
∴sin+sin（﹣C）＝2sinC，
∴sinC﹣csC＝，
∴sin（C﹣）＝，
∴C﹣＝，
∴C＝．
18．如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BD＝6，BC＝3，AE＝3，AM＝4．
（1）求直线CE与平面ABC所成角的正弦值；
（2）求证：CM⊥平面ABDE；
（3）求二面角M﹣EC﹣B的余弦值．
【解答】（1）解：因为EA⊥平面ABC，所以∠ECA为直线CE与平面ABC所成角，设其大小为θ，
tanθ＝＝＝，sinθ＝＝．
（2）证明：因为AC⊥BC，且AC＝6，BC＝3，所以AB＝＝9，
所以，所以△MAC∽△CAB，所以CM⊥AB，
因为EA⊥平面ABC，所以EA⊥CM，
因为AB∩CM＝M，所以CM⊥平面ABDE．
（3）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
C（0，2，0），E（﹣4，0，3），B（5，0，0），
＝（﹣4，﹣2，3），＝（0，﹣2，0），＝（5，﹣2，0），
设平面MEC和平面BEC的法向量分别为＝（x，y，z），＝（u，v，w），
，令z＝4，＝（3，0，4），
，令w＝6，＝（2，，6），
所以二面角M﹣EC﹣B的余弦值为＝＝．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，n∈N*．数列{bn}是公差大于0的等差数列，b2＝a3，且b1，b2，a4成等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若Tn＝，求Tn．
解：（1）因为Sn＝2an﹣1，①
可得n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，②
①﹣②可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣2an﹣1+1，
即为an＝2an﹣1，
由n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，可得a1＝1≠0，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则an＝2n﹣1；
设数列{bn}是公差d大于0的等差数列，
b2＝a3＝4，
由b1，b2，a4成等比数列，可得b22＝b1a4，
即为42＝8b1，解得b1＝2，d＝2，
则bn＝2+2（n﹣1）＝2n；
（2）Tn＝＝1×2+2×22+…+n•2n，
2Tn＝1×22+2×23+…+n•2n+1，
上面两式相减可得﹣Tn＝2+22+…+2n﹣n•2n+1
＝﹣n•2n+1，
化为Tn＝2+（n﹣1）•2n+1．
20．某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
（1）求a的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在[550，650），[750，850）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？
（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）
解：（1）由题意知100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得a＝0.0035，
样本平均数为＝500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10＝670，
中位数为650，众数为600．
（2）由题意，从[550，650）中抽取7人，从[750，850）中抽取3人，
随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3．
P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3）所以随机变量X的分布列为：
随机变量X的数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高分选手”的25人，其中女生10人；
得出以下2×2列联表：
K2＝＝＝＞5.024，
所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关．
21．已知椭圆方程＝1，直线l：x＝4与x轴相交于点P，过右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点．
（1）若过点F的直线MF与AB垂直，且与直线l交于点M，线段AB中点为D，求证kOD＝kOM．
（2）设Q点的坐标为（，0），直线BQ与直线l交于点E，试问EA是否垂直EP，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．
解：（1）证明：由椭圆方程为+＝1知右焦点F坐标为（1，0），
直线l的方程为x＝4，点P坐标为（4，0），
由直线MF⊥AB知，直线AB的斜率不为0，故设直线AB的方程为x＝my+1，
从而，直线MF的方程为y＝﹣m（x﹣1），
令x＝4，得M点的坐标为（4，﹣3m），
故直线OM的方程为y＝﹣x，
联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即y1+y2＝，y1y2＝，
所以线段BA的中点坐标为D（，），
kOD＝﹣，
综上可知kOD＝kOM．
（2）当直线AB的斜率为0时，点E即为点P，从而EA⊥EP，
当直线AB的斜率不为0时，由（1）知，y1+y2＝，y1y2＝，
所以y1+y2＝my1y2，则my2＝，
直线QB的方程为y＝（x﹣），又x2＝my2+1，
令x＝4，得y＝•＝＝＝＝y1，
所以点E的坐标为（4，y1），即EA⊥EP，
综上可知EA⊥EP．
22．已知函数f（x）＝xex+ax2+2ax，e为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，不等式f（x）≥（2a+1）x﹣xln（x+1）恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）f′（x）＝（x+1）（ex+2a），
①当a≥0时，ex+2a＞0，
x∈（﹣∞，﹣1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（﹣1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
②当﹣＜a＜0时，lnn（﹣2a）＜﹣1，
x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），ex+2a＜0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（ln（﹣2a），﹣1），ex+2a＞0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（﹣1，+∞），ex+2a＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
③当a＝﹣时，f′（x）＝（x+1）（ex﹣e﹣1）≥0，x∈（﹣∞，+∞），f（x）单调递增；
④当a＜﹣时，ln（﹣2a）＞﹣1，
x∈（﹣∞，﹣1），ex+2a＜0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（﹣1，ln（﹣2a）），ex+2a＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（ln（﹣2a），+∞），ex+2a＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
综上：a≥0时，f（x）在（﹣∞，﹣1），单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，
﹣＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））单调递增，在（ln（﹣2a），﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，
a＝﹣时，f（x）在R单调递增，
a＜﹣时，f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，ln（﹣2a））单调递减，在（ln（﹣2a），+∞）单调递增；
（2）当x＞0时，f（x）≥（2a+1）x﹣xln（x+1）
⇔x[ex+ax+ln（x+1）﹣1]≥0
⇔ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0，
令g（x）＝ex+ax+ln（x+1）﹣1，则g′（x）＝ex++a，
令h（x）＝g′（x）＝ex++a，
h′（x）＝ex﹣，h′（x）是单调递增函数，
∴h′（x）＞h′（0）＝0，∴g′（x）在（0，+∞）单调递增，
∴g′（x）＞g′（0）＝a+2，
①当a+2≥0即a≥﹣2时，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，符合题意；
②当a+2＜0即a＜﹣2时，g′（0）＜0，x→+∞时，g′（x）＞0，
故存在x0∈（0，+∞），使得g′（x0）＝0，
∵x∈（0，x0），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x0）＜g（0）＝0，不恒成立，
综上：a的取值范围是[﹣2，+∞）．
X
ωx+φ
0
π
2π
f（x）
2
5
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
女生
合计
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
ωx+φ
0
π
2π
f（x）
2
5
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
女生
合计
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P




属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
15
25
40
女生
10
50
60
合计
25
75
100