四川省眉山市仁寿县2022届高三上学期11月零诊考试数学（理）含答案

高中2019级零诊考试

数学(理工类)

2021.11

(考试时间：120分钟 试卷满分150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，记集合P＝A∪B，Q＝A∩B，则

A.2∈P     B.5∉P     C.6∈Q     D.4∉Q

2.命题“对∀x∈R，都有sinx≥－1”的否定为

A.对∀x∈R，都有sinx<－1      B.对∀x∈R，都有sinx≥1

C.∃x0∈R，使得sinx0<－1       D.∃x0∈R，使得sinx0≥－1

3.若z＝1＋i，则＝

A.     B.     C.     D.

4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A.y＝－x3     B.y＝x|x|     C.y＝ln     D.y＝ex－1

5.用系统抽样法(按等距离的规则)从240部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这240部智能手机随机地从001～240进行编号，按编号顺序平均分成20组：001～012号，013～024号，025～036号，…，229～240号，若第8组与第15组抽出的号码之和为262，则第1组中用抽签的方法确定的号码是

A.007     B.006     C.005     D.004

6.已知a>0，b>0，a＋b＝2，则(a＋)(b＋)的最小值为

A.8     B.4－4     C.9     D.4＋4

7.某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的最长棱为

A.2     B.     C.2     D.3

8.已知a>0，k∈R，设函数f(x)＝，若对任意的实数s∈(－2，2)，都有f(x)在区间(－∞，＋∞)上至少存在两个零点，则

A.a≥4且k≥1       B.a≥4且0<k≤1      C.0<a<4且k≥1      D.0<a<4且0<k≤1

9.先后抛掷一颗骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，事件A为：x＋y为偶数，事件B为：xy为奇数，则概率P(B/A)＝

A.     B.     C.     D.

10.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(a＋b)sinA＝2bsin(A＋)，C＝，则B＝

A.     B.     C.     D.

11.函数，实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)且a<b<c，则2a＋c＋2b＋c的取值范围是

A.(27，28)     B.(28，29)     C.(29，210)     D.(27，29)

12.若∀x(0，＋¥)，不等式(1＋x)pWxp恒成立，则lnp＝

A.－1     B.0     C.     D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y＝在点(－3，7)处的切线方程为           。

14.已知向量＝(2，1)，＝(3，2)，＝＋λ，若⊥，则实数λ＝           。

15.在DABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，acosB－bcosA＋b＝c，则BC边上的中线AD长度的最大值为           。

16.已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期大于，且f(x)≤|f()|对任意的实数x都成立，若f(x)在[－a，a]上单调递增，则实数a的取值范围是           。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题至21题为必考题；第22、23题为选考题，考生根据要求作答

(一)必考题：共60分

17.(12分)

已知向量＝(2sinx，1)，＝(2cos(x＋)，1)函数f(x)＝·，x∈R。

(1)若||＝，x∈(－π，0)，求x；

(2)求f(x)在[0，)上的值域；

18.(12分)

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋1＝，a1＝。

(1)证明：数列{}为等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)证明：Sn<2n＋1。

19.(12分)

某市为比较甲乙两社区服务质量，从两社区居民中各随机抽取了20人进行问卷调查，统计对社区服务综合得分如下茎叶图。已知成绩不低于70分为“满意”，低于70分为“不满意”。

(1)分析甲乙两社区的样本成绩，选择两个统计角度，对两社区服务进行对比；

(2)若从对甲乙两社区服务“不满意”的调查者中各随机抽取2人进行调研，记抽取得分低于60分的人数之和为随机变量X，求X的分布列与期望。

20.(12分)

如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC是边长2的等边三角形，BA＝BC＝，点F在线段BC上，且FC＝3BF，D为AC的中点，E为PD的中点。

(1)求证：EF//平面PAB；

(2)若二面角P－AC－B的平面角的大小为，求直线DF与平面PAC所成角的正弦值。

21.(12分)

已知函数f(x)＝axlnx－x＋1。

(1)若a＝，求f(x)的极值；

(2)若不等式f(x)≥0恒成立，求a的值；

(3)证明：()9<(e为自然对数)。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xoy中，圆C1：x2＋y2＝1经过伸缩变换得到曲线C2，直线l的参数方程为(为参数)。

(1)求曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若C2上的点到直线l的距离的最大值为，求a的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|2x－1|－|x＋1|。

(1)解不等式f(x)－4≤0；

(2)若函数g(x)＝|x－2021＋a|＋|x－2022|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＋3＝g(x2)成立，求实数a的取值范围。