专题2 用导数研究函数的最值（原卷版）+（解析版）

专题2 用导数研究函数的最值

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现.

二、解题秘籍

(一) 求函数在区间上的最值

一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．

求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a,b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；

(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．

【例1】（2022届重庆市南开中学高三7月考试）已知函数．

（1）当时,求在区间上的最值；

（2）若在定义域内有两个零点,求的取值范围．

【分析】（1）当时, ,

,,

,.

（2）,则,

∴在单调递增,在单调递减,作出函数和得图像,

∴由图象可得.

(二) 求函数在非闭区间上的最值

求函数在非闭区间上的最值,一般通过函数的研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值.

【例2】已知f(x)＝(1－x)ex－1.

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)设g(x)＝,x＞－1,且x≠0,证明：g(x)＜1.

【分析】(1)f′(x)＝－xex.当x∈(－∞,0)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增；当x∈(0,＋∞)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减．所以f(x)的最大值为f(0)＝0.

(2)当x＞0时,f(x)＜0,g(x)＜0＜1.当－1＜x＜0时,g(x)＜1等价于f(x)＞x.

设h(x)＝f(x)－x,则h′(x)＝－xex－1.当x∈(－1,0)时,0＜－x＜1,0＜ex＜1,则0＜－xex＜1,

从而当x∈(－1,0)时,h′(x)＜0,h(x)在(－1,0)上单调递减．

所以当－1＜x＜0时,h(x)＞h(0)＝0,即g(x)＜1.综上,总有g(x)＜1.

(三) 含参数的函数的最值

含参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论．

【例3】已知a∈R,函数f(x)＝＋ln x－1.

(1)当a＝1时,求曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值．

【分析】(1)f(x)＝＋ln x－1,x∈(0,＋∞),f′(x)＝－＋＝,x∈(0,＋∞)．

确定曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为x－4y＋4ln 2－4＝0.

(2)f′(x)＝－＋＝,x∈(0,e]．令f′(x)＝0,得x＝a.

根据a与(0,e]位置关系分类讨论

①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值．

②若0<a<e,则当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减；当x∈(a,e]时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,

所以当x＝a时,函数f(x)取得最小值ln a.

③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,

所以当x＝e时,函数f(x)取得最小值.

综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值；

当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a；

当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为.

(四) 把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题

有些不等式恒成立或有解问题,常通过分类参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若的值域为,则恒成立,有解.

【例4】（2021届内蒙古呼和浩特市高三二模）已知函数

（1）讨论g(x)的单调性；

（2）若,对任意恒成立,求a的最大值；

【分析】对求导,然后分及讨论得出单调性情况；

当时,在上单调递增；

当时,在上单调递减,在上单调递增；

（2）原不等式可转化为,设,求出的单调性,可知当时,,设,则,

易知函数在上单调递减,在上单调递增,

（e）,,即的最大值为．

(五) 根据恒成立,求整数a的最大值

根据恒成立,求整数a的最大值,通常情况是有最小值,但无法求出,这种情况下一般设出函数的极值点,把最小值转化为关于极值点的式子,根据极值所在范围,确定最小值的大致范围,由此确定整数a的最大值.

【例5】已知.

（1）求的最小值；

（2）若对任意都成立,求整数的最大值.

【分析】（1）根据在上单调递减,在上单调递增,在处取唯一的极小值,也是最小值

（2） （注意）,记,则

考查函数, ,在定义域上单调递增.

显然有,,所以存在唯一的使得.

在上,,单调递减；在上,,单调递增.

所以在取唯一的极小值也是最小值,注意此时 ,

所以 ,所以整数的最大值可以取3

三、典例展示

【例1】（2022届重庆市清华中学高三上学期7月月考）已知函数,其中.

（1）若函数恰好有三个单调区间,求实数的取值范围；

（2）已知函数的图象经过点,且,求的最大值.

【解析】（1）由,得.

∵存在三个单调区间

∴有两个不相等的实数根,即.

∴,即,故.

（2）∵图象经过点,∴,得

∴,,.

的单调性和极值情况列表如下：

故的最大值为12.

【例2】已知函数．

（1）求f（x）的极值；

（2）设为自然对数的底数．

①若函数g（x）恰有两个零点,求实数a的取值范围；

②当时,求函数g（x）的最小值．

【解析】（1）f（x）的定义域为,,

当时,,f（x）单调递减；

当时,,f（x）单调递增．

所以f（x）的极小值为,f（x）无极大值；

（2）函数有两个零点,等价于有两个不同的根,

等价于的图象与的图象有两个不同的交点.

令,则,又,结合（1）单调性和极值情况,作函数图象如下：

由图象得时,f（x）与h（x）的图象相切,此时只有一个交点．

令,则,当h（x）的右半边图象与f（x）相切时,切点为,则切线为,即,与x轴的交点为,f（x）与h（x）的图象相切,此时只有一个交点．

结合图象得,a的取值范围为；

②（i）当时,,

因为恒成立,所以g（x）在上单调递增,所以此时g（x）的最小值为；

（ii）当时,在恒成立,所以g（x）在上单调递减,所以此时g（x）的最小值为；

（iii）当时,若,则,

若,则,由（i）,（ii）知g（x）在上单调递减,在上单调递増,所以此时g（x）的最小值为．

综上有：当时,g（x）的最小值为；当时,g（x）的最小值为；当时,g（x）的最小值为．

【例3】已知函数.

（1）若是曲线的切线,求a的值；

（2）若有两不同的零点,求b的取值范围；

（3）若,且恒成立,求a的取值范围.

【解析】(1)依题意,设切点为,则,

,于是得,则有且,

时,,无解,

所以；

(2)由得,令,

则有时时,在上递增,在上递减,

,又时,恒成立,

于是得有两个不同的零点,等价于直线与函数图象有两个不同的公共点,

即,,所以有两不同的零点,b的取值范围是；

(3),

,

令,,

令,,即在上递增,

而,即,使得,

时,时,,

在上递减,在上递增,从而有,

而,即,令,两边取对数得,则,

即有,显然函数在上单调递增,从而得,

于是得,

,

所以,.

四、跟踪检测

1.（2021届辽宁省大连高三上学期期中）设函数,（）．

（1）若,求函数在点处的切线方程；

（2）若时,函数的最小值为,求实数的取值范围；

（3）试判断的零点个数,并证明你的结论．

2.（2021届安徽省合肥高三6月模拟）已知函数.

（1）当时,求证：；

（2）当时,,求实数的取值范围.

3.（2021届黑龙江省哈尔滨市高三下学期第五次模拟）已知函数,.

（1）求函数在上的最值；

（2）若对,总有成立,求实数的取值范围.

4.（2021届贵州省瓮安中学高三6月关门考试）已知（）

（1）讨论的单调性；

（2）当时,若在上恒成立,证明：的最小值为.

5.（2021届广东省佛山市五校联盟高三5月模拟）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立,求的最大值.

6.（2021届广东江门市高三模拟）设函数.

（1）求的单调区间；

（2）若,为整数,且当时,,求的最大值．