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数学人教版第五章 相交线与平行线综合与测试课时练习
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这是一份数学人教版第五章 相交线与平行线综合与测试课时练习，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版七年级下册第五章
平行线与相交线
一、单选题
1.（2020七下·硚口期中）如图，点 E 在 BC 的延长线上，下列条件中不能判定 AB∥CD 的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠B=∠DCE D. ∠D+∠DAB=180°
2.（2020七下·云梦期末）如图， ΔABC 中任意一点 P(x0,y0) 经平移后对应点为 P1(x0+5,y0+3) ，将 ΔABC 作同样的平移得到 ΔA1B1C1 .则 A1,B1,C1 的坐标分别是（ ）
A. (3，6)，(1，3)，(7，3) B. (3，3)，(1，2)，(7，3)
C. (3，6)，(1，2)，(7，0) D. (3，6)，(1，2)，(7，3)
3.（2021七下·河西期末）如图所示，三角形ABC中，∠BAC=90°，过点A画AD⊥BC。则下列说法不正确的是（ ）
A. 线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的
B. 线段AB是点B到直线AD的垂线段
C. 点A到直线BC的距离是线段AD的长
D. 点C到直线AB的距离是线段AC的长
4.（2020七下·涿州月考）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到 △DEF 的位置，AB=8，DO=2，平移距离为4，则阴影部分面积为（ ）
A. 28 B. 40 C. 42 D. 48
5.（2020·百色模拟）如图，已知DE∥BC，若∠1＝65°，则∠B的度数为（ ）
A. 135° B. 115° C. 105° D. 65°
6.（2020七下·海淀月考）在平面直角坐标系中，已知三角形 ABC 三个顶点坐标分别为 A ( -2，1)、B ( 2，3)、C (-3，-1)，把三角形 ABC 平移到一个确定位置得三角形A ' B ' C '，则对应点A '、B '、C '的坐标可能为（ ）
A. A'(0，3)， B'(0，1) ，C ' (-1，-1) B. A'(-3，-2) ，B'(3，2) ，C'(-4，0)
C. A'(1，-2)，B '(3，2)，C'(-1，-3) D. A'(-1，3) ，B'(3，5) ，C'(-2，1)
7.（2021七下·宣化期中）如图：已知 AB∥CD ， ∠B=120 度， ∠D=150 度，则 ∠О 等于（ ）度．
A. 50 B. 60 C. 80 D. 90
8.（2019七下·嵊州期末）已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，若∠ABC=84°，∠CDE=20°，则∠ADC的度数为( )
A. 104° B. 76° C. 104°或64° D. 104°或76°
9.（2020七下·武昌期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（ ）
A. 90° B. 95° C. 100° D. 150°
10.（2020八下·临朐期末）如图，点 A1(1,1) ，点 A1(1,1) 向上平移1个单位，再向右平移2个单位．得到 A2 ；点 A2 向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点 A3 ；点 A3 向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点 A4 ……按照这个规律得到 A2020 ，则点 A2020 的横坐标为（ ）
A. 22019 B. 22020−1 C. 22020 D. 22020+1
二、填空题
11.（2020七下·甘州月考）如图，如果∠1=∠3，可以推出一组平行线为________.
12.（2019七下·淮安月考）如图，若 AB//CD ，则 α 、 β 、 γ 之间的关系为________.
13.（2020七下·防城港期中）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，则∠2＝ °.
14.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．
15.（2020七下·新昌期末）已知∠A与∠B（ 0°<∠A<180° ， 0°<∠B<180° ）的两边-边平行，另一边互相垂直，且 2∠A−∠B=18° ，则∠A的度数为________°.
16.（2021七上·慈溪期末）一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 α （ 0°<α<180° ）.在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， α 的度数为 .
17.（2019七下·瑶海期末）已知，直线AB∥CD，M、N分别是AB和CD上的动点，点P为直线AB、CD之间任一点，且PM⊥PN．则∠AMP与∠CNP之间的数量关系为________．
18.（2021七下·江岸期末）如图第一象限内有两点 P(m−4,n) ， Q(m,n−3) ，将线段 PQ 平移，使点 P 、 Q 分别落在两条坐标轴上，则点 P 平移后的对应点的坐标是 .
三、解答题
19.（2020七下·四川期中）如图，已知：EF∥CD，∠1+∠2=180°，试判断∠BGD与∠BCA的大小，并给予证明．
20.（2019七下·鄱阳期中）如图， EF//CD，∠1=∠2，∠ACB=45∘ ，求 ∠DGC 的度数．
21.（2020八上·寿阳期末）如图，三角形ABC中，AC＝BC ， D是BC上的一点，连接AD ， DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F ． 求证：CF // AB ．
22.（2020七下·和平期末）如图， a//b ， c,d 是截线， ∠1=80° ， ∠5=70° ，求： ∠2,∠3,∠4 的度数．
23.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P为BC上一点(点P与B，C不重合)，设∠CDP＝∠α，∠CPD＝∠β，你能不能说明，不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，本选项错误；
B、∵∠3=∠4，∴AD∥BC，本选项正确；
C、∵∠B=∠DCE，∴AB∥CD，本选项错误；
D、∵∠D+∠DAB=180°，∴AB∥CD，本选项错误.
故答案为：B.
【分析】平行线的判定方法：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行，由∠3=∠4可得AD∥BC，故可判断.
2.【答案】 D
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题可知，点P移动到P1(x0+5，y0+3)的位置时，向右移动5个单位和向上移动3个单位即可得到，所以A，B，C三点都按此方法平移即可，
∴A(-2，3) 平移后得到A1(3，6） ；
B(-4，-1) 平移后得到B1(1，2） ；
C(2，0)平移后得到C1(7，3) ；
故答案为：D.
【分析】根据P1(x0+5，y0+3) 可得点的移动方向及距离，向右移动5个单位和向上移动3个单位，分别计算即可；
3.【答案】 B
【考点】垂线
【解析】【解答】解：A：线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的，故正确，不符合题意；
B：线段AB是点B到直线AC的垂线段，故错误，符合题意；
C：点A到直线BC的距离是线段AD的长，故正确，不符合题意；
D：点C到直线AB的距离是线段AC的长，故正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短可判断A的正误；根据点到直线的距离的概念可判断B、C、D的正误.
4.【答案】 A
【考点】平移的性质
【解析】【解答】∵△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，平移距离为4，
∴S△ABC=S△DEF ， BE=4，DE=AB=8，
∴OE=DE-DO=6，
∵S阴影部分+S△OEC=S梯形ABEO+S△OEC ，
∴S阴影部分=S梯形ABEO= 12 ×（6+8）×4=28．
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质得S△ABC=S△DEF ， BE=4，DE=AB=8，则可计算出OE=DE-DO=6，再利用S阴影部分+S△OEC=S梯形ABEO+S△OEC得到S阴影部分=S梯形ABEO ， 然后根据梯形的面积公式求解．
5.【答案】 B
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1＝65°，
∴∠2＝∠1＝65°，
∵DE∥BC，
∴∠2+∠B＝180°，
∴∠B＝115°，
故答案为：B.
【分析】利用对顶角相等求出∠2的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补，就可求出∠B的度数。
6.【答案】 D
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：A、由A ( -2，1)向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到A ' (0，3)，而由B ( 2，3)向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到B ' (0，1)，故此选项不符合题意；
B、由A ( -2，1)向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到A ' (-3，-2)，而由B ( 2，3)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到B ' (3，2)，故此选项不符合题意；
C、由A ( -2，1)向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到A ' (1， -2)，而由B ( 2，3)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到B ' (3， 2)，故此选项不符合题意；
D、将三角形ABC先向右平移1个单位，再向上平移2个单位能得到三角形三角形A ' B ' C '，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据点的坐标找出横纵坐标的变化规律即可．
7.【答案】 D
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】
过点O作OH//AB
∵AB//CD
∴OH//AB//CD
∴∠ABO+∠BOH=180°
∠CDO+∠HOD=180°
∵∠B=120°，∠D=150°
∴∠BOH=60°，∠HOD=30°
∴∠BOD=60+30=90°
故答案为：D
【分析】本题属于平行线夹拐点的题目。只需要过拐点作辅助线，找角的关系即可。
8.【答案】 C
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）1)如图，当D在AB内部时，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=84°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=84°+20°=104°；
2)如图，当D在AB外部时，
∠ADC=∠ADE-∠CDE=84°-20°=64°。
故答案为：C.
【分析】D在AB上移动时，有两种情况，当D在AB内部时，∠ADC=∠ADE+∠CDE，求得的角度是104°；
当D在AB外部时，∠ADC=∠ADE-∠CDE，求得的角度是64°。
9.【答案】 C
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】如图，过G作 GM//AB
∴ ∠2=∠5
∵ AB//CD
∴ MG//CD
∴ ∠6=∠4
∴ ∠FGH=∠5+∠6=∠2+∠4
∵FB、HG分别为 ∠EFG 、 ∠EHD 的角平分线
∴ ∠1=∠2=12∠EFG ， ∠3=∠4=12∠EHD
∵∠E+2∠FGH=150°
∴∠E+2(∠2+∠4)=∠E+2∠2+2∠4=∠E+2∠2+∠EHD=150°
∵ AB//CD
∴ ∠EHD=∠ENB
∵∠1=∠ENB+∠E
∴∠EHD=∠1−∠E=∠2−∠E
∴∠E+2∠2+(∠2−∠E)=150°
解得 ∠2=50°
∴∠EFG=2∠2=100°
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过G作 GM//AB ，先根据平行线的性质、角的和差得出 ∠FGH=∠2+∠4 ，再根据角平分线的定义得出 ∠E+2∠2+∠EHD=150° ，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出 ∠EHD=∠2−∠E ，联立求解可得 ∠2=50° ，最后根据角平分线的定义可得 ∠EFG=2∠2=100° .
10.【答案】 B
【考点】平移的性质，探索数与式的规律
【解析】【解答】解：点A1的横坐标为1=21-1，
点A2的横坐为标3=22-1，
点A3的横坐标为7=23-1，
点A4的横坐标为15=24-1，
…
按这个规律平移得到点An的横坐标为为2n-1，
∴点 A2020 的横坐标为 22020−1 ，
故答案为：B．
【分析】先求出点A1 ， A2 ， A3 ， A4的横坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
二、填空题
11.【答案】 AB//CD
【考点】平行线的判定
【解析】【解答】根据图形可得，∠1与∠3是AB，CD被 AD所截得的内错角，
∵∠1=∠3，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：AB//CD.
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”即可得到答案.
12.【答案】 α+β−γ=180∘
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】过点E作EF∥AB，如图所示.
∵AB∥CD,EF∥AB，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.
又∵∠AEF+∠CEF=∠β，
∴∠α+∠β−∠γ=180°.
故答案为∠α+∠β−∠γ=180°.
【分析】根据“平行与同一直线的两直线平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”可得出“∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF”，通过角的计算即可得出结论.
13.【答案】 70
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠C＝∠1＝70°，
∵AF∥BC，
∴∠2＝∠C＝70°.
故答案为：70.
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠C=∠2，据此解答即可.
14.【答案】 15°
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1=∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3=∠4=30°，
而∠2+∠3=45°，
∴∠2=15°，
∴∠1=15°．
故答案为：15°．
【分析】过点A作AB平行于直线a，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数且∠1=∠2，根据∠2和∠3两个角的和为45°，求出∠2的度数，得到∠1。
15.【答案】 36或96
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：①如下图:
∵AC//BD，∠E=90°
∴∠A+∠B=90°
∵ 2∠A−∠B=18°
∴3∠A=108°
∴∠A=36°
②如下图
∵AC//BD，∠E=90°
∴∠A+∠B=360°-90°=270°
∵ 2∠A−∠B=18°
∴3∠A=288°
∴∠A=96°
故答案为:36或96
【分析】本题主要考查了分类讨论的思想，根据题意分为两种两种情况：①垂直的两边的交点在平行的两边之间的内部，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案；②垂直的两边的交点在平行的两边之间的外部，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案.
16.【答案】 30°或45°或120°或135°或165°
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：①当CD∥OB时，∠α=∠D=30°
②当OC∥AB时，∠OEB=∠COD=90°，此时∠α=90°-∠B=90°-45°=45°
③当DC∥OA时，∠DOA=∠D=30°，此时∠α=∠AOB+∠AOD=90°+30°=120°
④当OD∥AB时，∠AOD=∠A=45°，此时∠α=∠A+∠AOD=90°+45°=135°
⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，则∠CEO=∠B=45°
∴∠DEO=180°-∠CEO=135°
∴∠DOE=180°-∠DEO-∠D=15°
此时∠α=180°-∠DOE=180°-15°=165°
综上，在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， α 的度数为30°或45°或120°或135°或165°.
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°.
【分析】利用旋转过程中，两边平行分类讨论：①当CD∥OB时，利用“两直线平行，内错角相等”求解；②当OC∥AB时，先利用“两直线平行，内错角相等”，求∠OEB=90°，再利用“三角形内角和180°”，求解；③当DC∥OA时，先利用“两直线平行，内错角相等”求∠DOA=30°，再求∠α=120°；④当OD∥AB时，先用“两直线平行，内错角相等”求∠AOD=45°，再求∠α=135°；⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，利用“两直线平行，内错角相等”求则∠CEO=45°，再利用平角求∠DEO=135°，再利用“三角形内角和180°”求∠DOE=15°，最后求∠α=165°.
17.【答案】 ∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
如图1，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥AB，
∴∠AMP=∠1，∠CNP=∠2，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN=∠1+∠2=90°，
∴∠AMP+∠CNP=90°；
如图2，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥AB，
∴∠AMP=180°-∠1，∠CNP=180°-∠2，
∴∠AMP+∠CNP=180°×2-∠1-∠2，
∵∠MPN=∠1+∠2=90°，
∴∠AMP+∠CNP=360°-90°=270°；
综上所述，∠AMP与∠CNP之间的数量关系为：∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°．
故答案为：∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°．
【分析】分两种情况进行讨论：①过点P作PQ∥AB，根据平行公理可得PQ∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AMP=∠1，∠CNP=∠2，然后根据∠P=∠1+∠2等量代换即可得解；②过点P作PQ∥AB，根据平行公理可得PQ∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠AMP=180°-∠1，∠CNP=180°-∠2，然后根据∠P=∠1+∠2等量代换即可得解．
18.【答案】 (0,3) 或 (−4,0)
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′.
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0-（n-3）=-n+3，
∴n-n+2=3=3，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0-m=-m，
∴m-4-m=-4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（-4，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（-4，0）.
故答案为：（0，3）或（-4，0）.
【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′，分两种情况：①P′在y轴上，Q′在x轴上，②P′在x轴上，Q′在y轴上，根据坐标轴上点的坐标特征分别求解即可.
三、解答题
19.【答案】 解：∠BGD=∠BCA，
证明如下：∵EF∥CD，
∴∠1+∠ECD=180°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=∠ECD，
∴AC∥DG，
∴∠BGD=∠BCA．
【考点】平行线的性质
【解析】【分析】由EF∥CD可得到∠1+∠ECD=180°，结合条件可证明AC∥DG，再根据平行线的性质可得到∠BGD=∠BCA．
20.【答案】 解： ∵EF//CD ，
∴∠2=∠3 ，
∵∠1=∠2 ，
∴∠1=∠3 ，
∴DG//BC ，
∴∠DGC=180∘−∠ACB=135∘
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到∠2=∠3，再根据等量代换，可得∠1=∠3，进而得到DG与BC平行，最后根据同旁内角互补求解．
21.【答案】 证明：∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
∴∠ACE=∠B+∠CAB=2∠B．
∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE=2∠FCE，
∴2∠B=2∠FCE，
∴∠B=∠FCE，
∴CF//AB．
【考点】平行线的判定
【解析】【分析】利用等边对等角得到∠B=∠CAB，由三角形的外角的性质可得∠ACE=∠B+∠CAB=2∠B．再根据角平分线的定义可得 ∠ACE=2∠FCE， 利用等量代换可得 ∠B=∠FCE， 即可得到结论。
22.【答案】 解：由题意知： a//b ．
∴∠1=∠2，,∠3+∠5=∠5+∠4= 180° ．
∵ ∠1=80° ， ∠5=70° ．
∴ ∠2=80°，∠3=110°，∠4=110° ．
【考点】平行线的性质
【解析】【分析】根据题意知： a//b ，找出角的关系，计算求解即可．
23.【答案】 解：过点P作PE∥CD交AD于E，则∠DPE＝∠α.
∵AB∥CD，∴PE∥AB.
∴∠CPE＝∠B，即∠DPE＋∠β＝∠α＋∠β＝∠B.故不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B
【考点】平行公理及推论，平行线的性质
【解析】【分析】 过点P作PE∥CD交AD于E，根据平行线性质得∠DPE＝∠α，由平行的传递性得PE∥AB，根据平行线性质得∠CPE＝∠B，从而即可得证.
人教版七年级下册第五章
平行线与相交线
一、单选题
1.（2020七下·硚口期中）如图，点 E 在 BC 的延长线上，下列条件中不能判定 AB∥CD 的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠B=∠DCE D. ∠D+∠DAB=180°
2.（2020七下·云梦期末）如图， ΔABC 中任意一点 P(x0,y0) 经平移后对应点为 P1(x0+5,y0+3) ，将 ΔABC 作同样的平移得到 ΔA1B1C1 .则 A1,B1,C1 的坐标分别是（ ）
A. (3，6)，(1，3)，(7，3) B. (3，3)，(1，2)，(7，3)
C. (3，6)，(1，2)，(7，0) D. (3，6)，(1，2)，(7，3)
3.（2021七下·河西期末）如图所示，三角形ABC中，∠BAC=90°，过点A画AD⊥BC。则下列说法不正确的是（ ）
A. 线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的
B. 线段AB是点B到直线AD的垂线段
C. 点A到直线BC的距离是线段AD的长
D. 点C到直线AB的距离是线段AC的长
4.（2020七下·涿州月考）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到 △DEF 的位置，AB=8，DO=2，平移距离为4，则阴影部分面积为（ ）
A. 28 B. 40 C. 42 D. 48
5.（2020·百色模拟）如图，已知DE∥BC，若∠1＝65°，则∠B的度数为（ ）
A. 135° B. 115° C. 105° D. 65°
6.（2020七下·海淀月考）在平面直角坐标系中，已知三角形 ABC 三个顶点坐标分别为 A ( -2，1)、B ( 2，3)、C (-3，-1)，把三角形 ABC 平移到一个确定位置得三角形A ' B ' C '，则对应点A '、B '、C '的坐标可能为（ ）
A. A'(0，3)， B'(0，1) ，C ' (-1，-1) B. A'(-3，-2) ，B'(3，2) ，C'(-4，0)
C. A'(1，-2)，B '(3，2)，C'(-1，-3) D. A'(-1，3) ，B'(3，5) ，C'(-2，1)
7.（2021七下·宣化期中）如图：已知 AB∥CD ， ∠B=120 度， ∠D=150 度，则 ∠О 等于（ ）度．
A. 50 B. 60 C. 80 D. 90
8.（2019七下·嵊州期末）已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，若∠ABC=84°，∠CDE=20°，则∠ADC的度数为( )
A. 104° B. 76° C. 104°或64° D. 104°或76°
9.（2020七下·武昌期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（ ）
A. 90° B. 95° C. 100° D. 150°
10.（2020八下·临朐期末）如图，点 A1(1,1) ，点 A1(1,1) 向上平移1个单位，再向右平移2个单位．得到 A2 ；点 A2 向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点 A3 ；点 A3 向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点 A4 ……按照这个规律得到 A2020 ，则点 A2020 的横坐标为（ ）
A. 22019 B. 22020−1 C. 22020 D. 22020+1
二、填空题
11.（2020七下·甘州月考）如图，如果∠1=∠3，可以推出一组平行线为________.
12.（2019七下·淮安月考）如图，若 AB//CD ，则 α 、 β 、 γ 之间的关系为________.
13.（2020七下·防城港期中）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，则∠2＝ °.
14.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．
15.（2020七下·新昌期末）已知∠A与∠B（ 0°<∠A<180° ， 0°<∠B<180° ）的两边-边平行，另一边互相垂直，且 2∠A−∠B=18° ，则∠A的度数为________°.
16.（2021七上·慈溪期末）一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 α （ 0°<α<180° ）.在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， α 的度数为 .
17.（2019七下·瑶海期末）已知，直线AB∥CD，M、N分别是AB和CD上的动点，点P为直线AB、CD之间任一点，且PM⊥PN．则∠AMP与∠CNP之间的数量关系为________．
18.（2021七下·江岸期末）如图第一象限内有两点 P(m−4,n) ， Q(m,n−3) ，将线段 PQ 平移，使点 P 、 Q 分别落在两条坐标轴上，则点 P 平移后的对应点的坐标是 .
三、解答题
19.（2020七下·四川期中）如图，已知：EF∥CD，∠1+∠2=180°，试判断∠BGD与∠BCA的大小，并给予证明．
20.（2019七下·鄱阳期中）如图， EF//CD，∠1=∠2，∠ACB=45∘ ，求 ∠DGC 的度数．
21.（2020八上·寿阳期末）如图，三角形ABC中，AC＝BC ， D是BC上的一点，连接AD ， DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F ． 求证：CF // AB ．
22.（2020七下·和平期末）如图， a//b ， c,d 是截线， ∠1=80° ， ∠5=70° ，求： ∠2,∠3,∠4 的度数．
23.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P为BC上一点(点P与B，C不重合)，设∠CDP＝∠α，∠CPD＝∠β，你能不能说明，不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，本选项错误；
B、∵∠3=∠4，∴AD∥BC，本选项正确；
C、∵∠B=∠DCE，∴AB∥CD，本选项错误；
D、∵∠D+∠DAB=180°，∴AB∥CD，本选项错误.
故答案为：B.
【分析】平行线的判定方法：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行，由∠3=∠4可得AD∥BC，故可判断.
2.【答案】 D
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题可知，点P移动到P1(x0+5，y0+3)的位置时，向右移动5个单位和向上移动3个单位即可得到，所以A，B，C三点都按此方法平移即可，
∴A(-2，3) 平移后得到A1(3，6） ；
B(-4，-1) 平移后得到B1(1，2） ；
C(2，0)平移后得到C1(7，3) ；
故答案为：D.
【分析】根据P1(x0+5，y0+3) 可得点的移动方向及距离，向右移动5个单位和向上移动3个单位，分别计算即可；
3.【答案】 B
【考点】垂线
【解析】【解答】解：A：线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的，故正确，不符合题意；
B：线段AB是点B到直线AC的垂线段，故错误，符合题意；
C：点A到直线BC的距离是线段AD的长，故正确，不符合题意；
D：点C到直线AB的距离是线段AC的长，故正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短可判断A的正误；根据点到直线的距离的概念可判断B、C、D的正误.
4.【答案】 A
【考点】平移的性质
【解析】【解答】∵△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，平移距离为4，
∴S△ABC=S△DEF ， BE=4，DE=AB=8，
∴OE=DE-DO=6，
∵S阴影部分+S△OEC=S梯形ABEO+S△OEC ，
∴S阴影部分=S梯形ABEO= 12 ×（6+8）×4=28．
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质得S△ABC=S△DEF ， BE=4，DE=AB=8，则可计算出OE=DE-DO=6，再利用S阴影部分+S△OEC=S梯形ABEO+S△OEC得到S阴影部分=S梯形ABEO ， 然后根据梯形的面积公式求解．
5.【答案】 B
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1＝65°，
∴∠2＝∠1＝65°，
∵DE∥BC，
∴∠2+∠B＝180°，
∴∠B＝115°，
故答案为：B.
【分析】利用对顶角相等求出∠2的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补，就可求出∠B的度数。
6.【答案】 D
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：A、由A ( -2，1)向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到A ' (0，3)，而由B ( 2，3)向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到B ' (0，1)，故此选项不符合题意；
B、由A ( -2，1)向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到A ' (-3，-2)，而由B ( 2，3)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到B ' (3，2)，故此选项不符合题意；
C、由A ( -2，1)向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到A ' (1， -2)，而由B ( 2，3)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到B ' (3， 2)，故此选项不符合题意；
D、将三角形ABC先向右平移1个单位，再向上平移2个单位能得到三角形三角形A ' B ' C '，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据点的坐标找出横纵坐标的变化规律即可．
7.【答案】 D
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】
过点O作OH//AB
∵AB//CD
∴OH//AB//CD
∴∠ABO+∠BOH=180°
∠CDO+∠HOD=180°
∵∠B=120°，∠D=150°
∴∠BOH=60°，∠HOD=30°
∴∠BOD=60+30=90°
故答案为：D
【分析】本题属于平行线夹拐点的题目。只需要过拐点作辅助线，找角的关系即可。
8.【答案】 C
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）1)如图，当D在AB内部时，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=84°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=84°+20°=104°；
2)如图，当D在AB外部时，
∠ADC=∠ADE-∠CDE=84°-20°=64°。
故答案为：C.
【分析】D在AB上移动时，有两种情况，当D在AB内部时，∠ADC=∠ADE+∠CDE，求得的角度是104°；
当D在AB外部时，∠ADC=∠ADE-∠CDE，求得的角度是64°。
9.【答案】 C
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】如图，过G作 GM//AB
∴ ∠2=∠5
∵ AB//CD
∴ MG//CD
∴ ∠6=∠4
∴ ∠FGH=∠5+∠6=∠2+∠4
∵FB、HG分别为 ∠EFG 、 ∠EHD 的角平分线
∴ ∠1=∠2=12∠EFG ， ∠3=∠4=12∠EHD
∵∠E+2∠FGH=150°
∴∠E+2(∠2+∠4)=∠E+2∠2+2∠4=∠E+2∠2+∠EHD=150°
∵ AB//CD
∴ ∠EHD=∠ENB
∵∠1=∠ENB+∠E
∴∠EHD=∠1−∠E=∠2−∠E
∴∠E+2∠2+(∠2−∠E)=150°
解得 ∠2=50°
∴∠EFG=2∠2=100°
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过G作 GM//AB ，先根据平行线的性质、角的和差得出 ∠FGH=∠2+∠4 ，再根据角平分线的定义得出 ∠E+2∠2+∠EHD=150° ，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出 ∠EHD=∠2−∠E ，联立求解可得 ∠2=50° ，最后根据角平分线的定义可得 ∠EFG=2∠2=100° .
10.【答案】 B
【考点】平移的性质，探索数与式的规律
【解析】【解答】解：点A1的横坐标为1=21-1，
点A2的横坐为标3=22-1，
点A3的横坐标为7=23-1，
点A4的横坐标为15=24-1，
…
按这个规律平移得到点An的横坐标为为2n-1，
∴点 A2020 的横坐标为 22020−1 ，
故答案为：B．
【分析】先求出点A1 ， A2 ， A3 ， A4的横坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
二、填空题
11.【答案】 AB//CD
【考点】平行线的判定
【解析】【解答】根据图形可得，∠1与∠3是AB，CD被 AD所截得的内错角，
∵∠1=∠3，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：AB//CD.
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”即可得到答案.
12.【答案】 α+β−γ=180∘
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】过点E作EF∥AB，如图所示.
∵AB∥CD,EF∥AB，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.
又∵∠AEF+∠CEF=∠β，
∴∠α+∠β−∠γ=180°.
故答案为∠α+∠β−∠γ=180°.
【分析】根据“平行与同一直线的两直线平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”可得出“∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF”，通过角的计算即可得出结论.
13.【答案】 70
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠C＝∠1＝70°，
∵AF∥BC，
∴∠2＝∠C＝70°.
故答案为：70.
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠C=∠2，据此解答即可.
14.【答案】 15°
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1=∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3=∠4=30°，
而∠2+∠3=45°，
∴∠2=15°，
∴∠1=15°．
故答案为：15°．
【分析】过点A作AB平行于直线a，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数且∠1=∠2，根据∠2和∠3两个角的和为45°，求出∠2的度数，得到∠1。
15.【答案】 36或96
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：①如下图:
∵AC//BD，∠E=90°
∴∠A+∠B=90°
∵ 2∠A−∠B=18°
∴3∠A=108°
∴∠A=36°
②如下图
∵AC//BD，∠E=90°
∴∠A+∠B=360°-90°=270°
∵ 2∠A−∠B=18°
∴3∠A=288°
∴∠A=96°
故答案为:36或96
【分析】本题主要考查了分类讨论的思想，根据题意分为两种两种情况：①垂直的两边的交点在平行的两边之间的内部，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案；②垂直的两边的交点在平行的两边之间的外部，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案.
16.【答案】 30°或45°或120°或135°或165°
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：①当CD∥OB时，∠α=∠D=30°
②当OC∥AB时，∠OEB=∠COD=90°，此时∠α=90°-∠B=90°-45°=45°
③当DC∥OA时，∠DOA=∠D=30°，此时∠α=∠AOB+∠AOD=90°+30°=120°
④当OD∥AB时，∠AOD=∠A=45°，此时∠α=∠A+∠AOD=90°+45°=135°
⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，则∠CEO=∠B=45°
∴∠DEO=180°-∠CEO=135°
∴∠DOE=180°-∠DEO-∠D=15°
此时∠α=180°-∠DOE=180°-15°=165°
综上，在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， α 的度数为30°或45°或120°或135°或165°.
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°.
【分析】利用旋转过程中，两边平行分类讨论：①当CD∥OB时，利用“两直线平行，内错角相等”求解；②当OC∥AB时，先利用“两直线平行，内错角相等”，求∠OEB=90°，再利用“三角形内角和180°”，求解；③当DC∥OA时，先利用“两直线平行，内错角相等”求∠DOA=30°，再求∠α=120°；④当OD∥AB时，先用“两直线平行，内错角相等”求∠AOD=45°，再求∠α=135°；⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，利用“两直线平行，内错角相等”求则∠CEO=45°，再利用平角求∠DEO=135°，再利用“三角形内角和180°”求∠DOE=15°，最后求∠α=165°.
17.【答案】 ∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
如图1，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥AB，
∴∠AMP=∠1，∠CNP=∠2，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN=∠1+∠2=90°，
∴∠AMP+∠CNP=90°；
如图2，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥AB，
∴∠AMP=180°-∠1，∠CNP=180°-∠2，
∴∠AMP+∠CNP=180°×2-∠1-∠2，
∵∠MPN=∠1+∠2=90°，
∴∠AMP+∠CNP=360°-90°=270°；
综上所述，∠AMP与∠CNP之间的数量关系为：∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°．
故答案为：∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°．
【分析】分两种情况进行讨论：①过点P作PQ∥AB，根据平行公理可得PQ∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AMP=∠1，∠CNP=∠2，然后根据∠P=∠1+∠2等量代换即可得解；②过点P作PQ∥AB，根据平行公理可得PQ∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠AMP=180°-∠1，∠CNP=180°-∠2，然后根据∠P=∠1+∠2等量代换即可得解．
18.【答案】 (0,3) 或 (−4,0)
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′.
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0-（n-3）=-n+3，
∴n-n+2=3=3，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0-m=-m，
∴m-4-m=-4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（-4，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（-4，0）.
故答案为：（0，3）或（-4，0）.
【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′，分两种情况：①P′在y轴上，Q′在x轴上，②P′在x轴上，Q′在y轴上，根据坐标轴上点的坐标特征分别求解即可.
三、解答题
19.【答案】 解：∠BGD=∠BCA，
证明如下：∵EF∥CD，
∴∠1+∠ECD=180°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=∠ECD，
∴AC∥DG，
∴∠BGD=∠BCA．
【考点】平行线的性质
【解析】【分析】由EF∥CD可得到∠1+∠ECD=180°，结合条件可证明AC∥DG，再根据平行线的性质可得到∠BGD=∠BCA．
20.【答案】 解： ∵EF//CD ，
∴∠2=∠3 ，
∵∠1=∠2 ，
∴∠1=∠3 ，
∴DG//BC ，
∴∠DGC=180∘−∠ACB=135∘
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到∠2=∠3，再根据等量代换，可得∠1=∠3，进而得到DG与BC平行，最后根据同旁内角互补求解．
21.【答案】 证明：∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
∴∠ACE=∠B+∠CAB=2∠B．
∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE=2∠FCE，
∴2∠B=2∠FCE，
∴∠B=∠FCE，
∴CF//AB．
【考点】平行线的判定
【解析】【分析】利用等边对等角得到∠B=∠CAB，由三角形的外角的性质可得∠ACE=∠B+∠CAB=2∠B．再根据角平分线的定义可得 ∠ACE=2∠FCE， 利用等量代换可得 ∠B=∠FCE， 即可得到结论。
22.【答案】 解：由题意知： a//b ．
∴∠1=∠2，,∠3+∠5=∠5+∠4= 180° ．
∵ ∠1=80° ， ∠5=70° ．
∴ ∠2=80°，∠3=110°，∠4=110° ．
【考点】平行线的性质
【解析】【分析】根据题意知： a//b ，找出角的关系，计算求解即可．
23.【答案】 解：过点P作PE∥CD交AD于E，则∠DPE＝∠α.
∵AB∥CD，∴PE∥AB.
∴∠CPE＝∠B，即∠DPE＋∠β＝∠α＋∠β＝∠B.故不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B
【考点】平行公理及推论，平行线的性质
【解析】【分析】 过点P作PE∥CD交AD于E，根据平行线性质得∠DPE＝∠α，由平行的传递性得PE∥AB，根据平行线性质得∠CPE＝∠B，从而即可得证.
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