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高中人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质本章综合与测试测试题
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这是一份高中人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质本章综合与测试测试题，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中人教A版（2019）必修第一册第三章
函数概念与性质
一、单选题
1.（2020高一上·浙江期中）下列函数在R上是增函数的是（ ）
A. y=-x+1 B. y=x2 C. y=3x D. y=−1x
2.下列函数中，图象关于y轴对称的函数是（ ）
A. y=x﹣1 B. y=x3 C. y=x12 D. y=x2
3.（2015高一上·霍邱期末）函数f（x）= 21+x2 （x∈R）的值域是（ ）
A. （0，2） B. （0，2] C. [0，2） D. [0，2]
4.（2019高一上·温州期中）函数 f(x)=x+12x−1 的定义域为( )
A. [−1,0)∪(0,+∞) B. (−1,+∞) C. [−1,+∞) D. (0,+∞)
5.（2019高二上·惠州期末）已知 ∀x∈R ， ∃m∈R ，使 4x−2x+1+m=0 成立，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.（2020高一上·滕州月考）已知函数 f(x)={x2+4x，x<0−x2，x≥0 ，若 f(f(m))≥5 ，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. [5,+∞) B. [0,5] C. (−∞,−5] D. [−5,0]
7.（2020高一上·夏邑月考）下列函数中，在区间 [1，+∞) 上为增函数的是（ ）
A. y=−(x−1)2 B. y=|x−1| C. y=1x+1 D. y=−(x+1)2
8.已知函数fx=x,x>0−x2+4x,x≤0 ， 若fx≥ax−1恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−6] B. −6,0 C. (−∞,−1] D. −1,0
9.（2019高三上·梅州月考）若函数 f(x)={(12)x+4,x≤0，−x3−x+5,x>0 ，当 x∈[m,m+1] 时，不等式 f(2m−x)
二、填空题
10.（2019高一上·温州期中）已知幂函数 y=xn 的图象经过点（3,27），则此幂函数的解析式是________．
11.（2019高一上·宜丰月考）若函数 f(x) 同时满足：⑴对于定义域上的任意x，恒有 f(x)+f(−x)=0 ； ⑵对于定义域上的任意 x1,x2 ，当 x1≠x2 时，恒有 f(x1)−f(x2)x1−x2<0 ，则称函数 f(x) 为“理想函数”.给出下列四个函数中： ① f(x)=1x ，② f(x)=−2x+1 ， ③ f(x)=x3 ，④ f(x)={−x2,x≥0x2,x<0 ，能被称为“理想函数”的有________（填相应的序号）.
12.（2020高二下·宁波期中）已知函数 f(x)=ax+1+|2x2+ax−1|(a∈R) 的最小值为0，则实数 a= ________.
13.已知 f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=2x+x，则f（1）+g（1）=
14.（2019高一上·镇海期中）函数 y=7+6x−x2 的定义域是________，值域是________．
15.（2019高一上·苍南月考）设奇函数 f(x) 在 [−1,1] 上是单调减函数，且 f(1)=−1 ，若函数 f(x)≤t2−2t−2 对所有的 x∈[−1,1] 都成立，则 t 的取值范围是 ．
16.（2020高一上·福州期中）方程 x2+2x−1=0 的解可视为函数 y=x+2 的图像与函数 y=1x 的图像交点的横坐标，若方程 x4+ax−4=0 的各个实根 x1 ， x2 ， ⋯ ， xk(k⩽4) 所对应的点 (xi,4xi) (i=1,2,⋯,k) 均在直线 y=x 的同侧，则实数 a 的取值范围是________.
三、解答题
17.（2020高二上·本溪月考）已知定义在 R 上的函数 f(x)=b−2x2x+1+a(a∈R,b∈R) 是奇函数.
（1）若关于 x 的方程 f(x)+m=0 有正根，求实数 m 的取值范围；
（2）当 x∈(1,2) 时，不等式 2x+kf(x)−3>0 恒成立，求实数 k 的取值范围.
18.（2019高一上·上高月考）作出函数f(x)＝ {−x−3,x≤1(x−2)2+3,x>1 的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
19.已知函数f（x）=1﹣a2x+1在R上是奇函数．
（1）求a；
（2）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；
20.（2019高一上·镇原期中）已知函数 f(x)=x2+mx+3(m∈R) .
（1）若 f(x)=0 的一根大于 2 ，另一根小于 2 ，求实数 m 的取值范围；
（2）若 g(m)=f(x)−x2 在 x∈[1，2] 内恒大于 0 ，求实数 m 的取值范围.
21.（2021高一下·金华期末）函数 f(x)=|2x+a−9| ， g(x)=−x2+(5−a)x+2a ，其中 a∈R ．
（1）若函数 g(x) 为偶函数，求函数 f(g(x)−7) 的值域；
（2）若不存在 x∈R ，使得 f(x)>6 和 g(x)>6 同时成立，求 a 的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】根据定义域的要求：选项D定义域 （−∞，0）∪（0，+∞） ，故排除D；
A选项：在R上为单调递减：故排除A；
B选项：在 （−∞，0） 上单调递减，在 （0，+∞） 上单调递增，故排除B；
C选项：因为 3>1 ，所以 y=3x 在R上单调递增，
故答案为：C.
【分析】根据题意由函数单调性的定义逐一判断即可得到答案。
2.【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得，本题即找出哪个函数是偶函数，在所给的4个选项中，只有D中的函数y=x2是偶函数，其余的都不是偶函数， 故选D．
【分析】本题即找出哪个函数是偶函数，在所给的4个选项中，只有D中的函数y=x2是偶函数，其余的都不是偶函数，从而得出结论．
3.【答案】B
【解析】【解答】解：∵x∈R，
∴x2≥0，
∴1+x2≥1，
∴0＜ 21+x2 ≤2；
∴f（x）= 21+x2 ∈（0，2]；
故选：B．
【分析】由x2≥0，得1+x2≥1，从而得0＜ 21+x2 ≤2；即得函数的值域．
4.【答案】 A
【解析】【解答】由题可知，应满足 {x+1≥02x−1≠0⇒{x≥−1x≠0⇒x∈[−1,0)∪(0,+∞)
故答案为：A
【分析】分别求解分子和分母对应表达式所满足的限定条件，再求交集即可
5.【答案】 A
【解析】【解答】∵ ∀x∈R ， ∃m∈R ，使 4x−2x+1+m=0 成立，
∴方程 m=2x+1−4x有解 ，
∴函数 y=m 和函数 y=−4x+2x+1 的图象有公共点．
令 t=2x(t>0) ，
则 y=−t2+2t=−(t−1)2+1≤1 ，
∴函数 y=−4x+2x+1 的值域为 (−∞,1] ，
∴实数 m 的取值范围是 (−∞,1] ．
故答案为：A．
【分析】利用全称命题和特称命题的关系，结合换元法转化二次函数，再利用方程的根与函数图象交点的横坐标的等价关系，结合两函数图象有公共点，用求二次函数值域的方法求出m的取值范围。
6.【答案】 A
【解析】【解答】因为 f(x)={x2+4x，x<0−x2，x≥0 ， −x2≤0 ，为使 f(f(m))≥5 ，只能 f(m)<0 ，
即有 {[f(m)]2+4f(m)≥5f(m)<0 ，解得 f(m)≤−5 ，
当 m<0 时， m2+4m≤−5 ，无解；
当 m≥0 时， −m2≤−5 ，解得 m≥5 或 m≤−5 ，所以 m≥5 .
综上， m≥5 .
故答案为：A.
【分析】根据题中条件，得到 {[f(m)]2+4f(m)≥5f(m)<0 ，解得 f(m)≤−5 ，分别讨论 m<0 ， m≥0 两种情况，即可得出结果.
7.【答案】 B
【解析】【解答】A： y=−(x−1)2 ，开口向下，对称轴为 x=1 ，所以函数在区间 [1，+∞) 上为减函数，故答案为：项A不符合题意；
B： y=|x−1|={x−1，x⩾1−x+1，x<1 ，所以函数在区间 [1，+∞) 上为增函数，故答案为：项B符合题意；
C： y=1x+1 可以看作由函数 y=1x 向左平移一个单位得到，所以函数在区间 [1，+∞) 上为减函数，故答案为：项C不符合题意；
D： y=−(x+1)2 ，开口向下，对称轴为 x=−1 ，所以函数在区间 [1，+∞) 上为减函数，故答案为：项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合增函数的定义，从而找出在区间 [1，+∞) 上为增函数的函数。
8.【答案】 B
【解析】【解答】首先画出的图像，的图像为过的一组直线，若恒成立，只需始终在的下方，即直线夹在与相切的直线，和之间，所以转化为求切线斜率，=
联立，得：①，令， 即， 解得或
将代入①得成立，将代入①得， 不满足， 所以舍去，或通过选项也可知道.
9.【答案】 B
【解析】【解答】依题意得：函数 f(x)={(12)x+4,x≤0，−x3−x+5,x>0 在 x∈R 上单调递减，
因为 f(2m−x)x+m ，即 2x
【分析】根据分段函数单调递减，在每一段减并且临界点出递减，解不等式，即可求出实数m的取值范围.
二、填空题
10.【答案】 y=x3
【解析】【解答】将点（3,27）代入 y=xn 得： 3n=27⇒n=3 ，则 y=x3
故答案为： y=x3
【分析】将点（3,27）代入 y=xn 即可求出
11.【答案】 ④
【解析】【解答】由题意，性质⑴反映了函数 f(x) 为定义域上的奇函数.
性质⑵反映了函数 f(x) 为定义域上的单调递减函数.
①中，函数 f(x)=1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，所以①不正确.
②中，函数 f(x)=−2x+1 为定义域上的非奇非偶函数，所以②不正确.
③中，函数 f(x)=x3 的定义域为 R ， f(x)=x3 为单调增函数，所以③不正确.
④中，函数 f(x)={−x2,x≥0x2,x<0 的图象如图所示，显然此函数为奇函数且在定义域R上为减函数，所以为理想函数，所以④正确.
故答案为：④．
【分析】根据条件 f(x) 为定义域上的奇函数且是减函数，对给出的四个函数进行逐一判断即可.
12.【答案】 ±1
【解析】【解答】解：设 {g(x)+ℎ(x)=ax+1g(x)−ℎ(x)=2x2+ax−1 ，则 {g(x)=x2+axℎ(x)=1−x2 ，
则 f(x)=g(x)+ℎ(x)+|g(x)−ℎ(x)| ={2g(x),g(x)≥ℎ(x)2ℎ(x),g(x)<ℎ(x) ，
由于函数 f(x) 的最小值为0，作出函数 g(x) ， ℎ(x) 的大致图象，
结合图象， 1−x2=0 ，得 x=±1 ，
所以 a=±1 ，
故答案为： ±1 ．
【分析】设 {g(x)+ℎ(x)=ax+1g(x)−ℎ(x)=2x2+ax−1 ，计算可得 f(x)={2g(x),g(x)≥ℎ(x)2ℎ(x),g(x)<ℎ(x) ，再结合图象即可求出答案．
13.【答案】 -12
【解析】【解答】∵f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=2x+x，
∴f（﹣1）﹣g（﹣1）=2﹣1﹣1=12-1=-12 ，
即f（1）+g（1）=-12 ，
故答案为：-12 ．
【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程组关系进行求解即可．
14.【答案】 [−1,7]；[0,4]
【解析】【解答】因为 7+6x−x2≥0 ，所以 x2−6x−7≤0 ，
所以 −1≤x≤7 ，所以定义域为： [−1,7] ，
又因为 7+6x−x2=−(x−3)2+16 ， x∈[−1,7] ，
所以 7+6x−x2=−(x−3)2+16∈[0,16] ，
所以 y=7+6x−x2∈[0,4] ，即值域为 [0,4] .
故答案为： [−1,7] ； [0,4] .
【分析】根据根号下被开方数大于等于零求解出定义域，再利用二次函数并注意 7+6x−x2≥0 求解出 7+6x−x2 的范围，即可求解出值域.
15.【答案】 t≥3或t≤-1
【解析】【解答】根据题意，函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数，则在区间[﹣1，1]上，f（x）max＝f（-1），
又由f（x）为奇函数，则f（-1）＝﹣f（1）＝1，
若f（x）≤t2﹣2t-2对所有的x∈[﹣1，1]都成立，
必有1≤t2﹣2t-2恒成立，即t2﹣2t-3≥0恒成立，
解可得：t≥3或t≤-1，
则t的取值范围为：t≥3或t≤-1，
故答案为：t≥3或t≤-1．
【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得在区间[﹣1，1]上，f（x）max＝f（-1），据此分析：若f（x）≤t2﹣2t-2对所有的x∈[﹣1，1]都成立，必有1≤t2﹣2t-2恒成立，即t2﹣2t-3≥0恒成立，解t2﹣2t-3≥0即可得答案．
16.【答案】 (−∞,−6)∪(6,+∞)
【解析】【解答】因为方程 x4+ax−4=0 等价于 x3+a=4x ,
原方程的实根是 y=x3+a 与曲线 y=4x 的交点的横坐标,
曲线 y=x3+a 是由曲线 y=x3 纵向平移 |a| 个单位而得到,
若交点 (xi,4xi) (i=1,2,⋯,k) 均在直线 y=x 的同侧,因 y=x 与 y=4x 的交点为 (−2,−2),(2,2) ,
所以结合图象可得: {a>0x3+a>−2x≥−2 或 {a<0x3+a<2x≤2 恒成立,
所以 a>−x3−2 在 [−2,+∞) 上恒成立,或 a<−x3+2 在 (−∞,2] 上恒成立,
所以 a>(−x3−2)max= −(−2)3−2=6 ,或 a<(−x3+2)min=−23+2=−6 ,
即实数 a 的取值范围是 (−∞,−6)∪(6,+∞) ，
故答案为: (−∞,−6)∪(6,+∞) 。
【分析】因为方程 x4+ax−4=0 等价于 x3+a=4x ,再利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，推出原方程的实根是 y=x3+a 与曲线 y=4x 的交点的横坐标,再利用图象昂的平移变换，得出曲线 y=x3+a 是由曲线 y=x3 纵向平移 |a| 个单位而得到,若交点 (xi,4xi) (i=1,2,⋯,k) 均在直线 y=x 的同侧,因 y=x 与 y=4x 的交点为 (−2,−2),(2,2) ,所以结合图象可得: {a>0x3+a>−2x≥−2 或 {a<0x3+a<2x≤2 恒成立,再利用不等式恒成立问题的求解方法，所以 a>(−x3−2)max 或 a<(−x3+2)min ,再利用函数求最值的方法，从而求出实数a的取值范围。
三、解答题
17.【答案】 （1）由题意：因为函数 f(x)=b−2x2x+1+a(a∈R,b∈R) 是奇函数，所以 f(0)=0 ，解得 b=1 ，
又 f(1)=−f(−1) ，得 1−24+a=−1−2−120+a ，解得 a=2 ，
当 a=2 ， b=1 时， f(x)=1−2x2x+1+2 ，定义域为 R ， f(−x)=1−2−x2−x+1+2=−1+2x2+2x+1=−f(x) ，所以 f(x) 为奇函数，∴ a=2 ， b=1 .
m=−f(x)=2x−12x+1+2=2x+1−22(2x+1) ，即 m=12−12x+1 ，∵ x>0 ， 2x+1>2 ， 0<12x+1<12 ，
∴ 0<12−12x+1<12 ，∵ m=−f(x) 有正根，∴ m∈(0,12) .
（2）由 2x+kf(x)−3>0 ，得 k⋅1−2x2x+1+2>3−2x ，∵ x∈(1,2) ，所以 −2x+12x+1+2<0 ，
∴ k<(3−2x)(2x+1+2)1−2x .令 −2x+1=t ，则 t∈(−3,−1) ，此时不等式可化为 k<2(4t−t) ，
记 ℎ(t)=2(4t−t) ，当 t∈(−3,−1) 时， y=4t 和 y=−t 均为减函数，
∴ ℎ(t) 为减函数，故 ℎ(t)∈(−6,103) ，∵ k<ℎ(t) 恒成立，∴ k≤−6 .
【解析】【分析】(1)由奇函数的性质f(-x)=-f(x)以及f(0)=0，代入整理计算出a与b的值，由此得出的解析式，整理得出m=12−12x+1 ， 由指数函数的性质以及整体思想即可得出0<12−12x+1<12 ， 结合已知条件即可得出m的取值范围。
(2)根据题意由已知条件整理化简得到k⋅1−2x2x+1+2>3−2x ， 由指数函数的性质由整体思想令−2x+1=t ， 整理得到k<2(4t−t)构造函数ℎ(t)=2(4t−t) ， 由函数的单调性即可得出ℎ(t)∈(−6,103) ， 结合已知条件即可得出k的取值范围。
18.【答案】 解：f(x)＝ {−x−3,x≤1(x−2)2+3,x>1 的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)＝ {−x−3,x≤1(x−2)2+3,x>1 的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)
【解析】【分析】根据题意直接作出函数图像即可，需注意每一个分段函数的定义域．
19.【答案】 解：（1）由题意知f（0）=0．即1-a20+1 ，
所以a=2．此时f（x）=1-22x+1=2x−12x+1 ，
而f（﹣x）=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=-f(x)，
所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．
（2）由（1）知f(x)=2x−12x+1 ，
因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，
故s•f（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，
因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．
故s的取值范围是[3，+∞）．
【解析】【分析】（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数；
（2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解；
20.【答案】 （1）解： f(x)=x2+mx+3(m∈R) 开口向上， f(x)=0 的一根大于 2 ，另一根小于 2
只需满足： f(2)<0 即可，即 4+2m+3<0∴m<−72
（2）解： g(m)=f(x)−x2=mx+3 ，看作 x 为变量的函数，恒大于 0 ，即最小值大于0.最值在端点处取得，则 {m+3>02m+3>0 解得 m>−32
【解析】【分析】（1）确定二次函数开口向上，只需满足 f(2)<0 即可，计算得到答案.（2）化简得到 g(m)=mx+3 ，函数最值在端点处，代入计算得到答案.
21.【答案】 （1）因为二次函数 g(x)=−x2+(5−a)x+2a 为偶函数，则 5−a2=0 ，解得 a=5 ，
所以， g(x)=−x2+10 ，则 g(x)−7=−x2+3≤3 ， f(x)=|2x−4|={2x−4,x≥24−2x,x<2 .
①当 2≤g(x)−7≤3 时， f(x)=2g(x)−7−4∈[0,4] ；
②当 g(x)−7<2 时， f(x)=4−2g(x)−7∈(0,4) .
综上所述，函数 f(g(x)−7) 的值域为 [0,4] ；
（2）根据题意可知，不等式 f(x)≤6 和 g(x)≤6 的解集的并集为 R ，
先解不等式 g(x)=−x2+(5−a)x+2a≤6 ，即 x2+(a−5)x+6−2a≥0 ，
即 (x−2)(x+a−3)≥0 （*）.
①当 a=1 时，（*）式即为 (x−2)2≥0 ，显然成立；
②当 a<1 时， 3−a>2 ，（*）式的解集为 (−∞,2]∪[3−a,+∞) ，
只需当 2
③当 a>1 时， 3−a<2 ，（*）式的解集为 (−∞,3−a]∪[2,+∞) ，
只需当 3−a
综上所述，实数 a 的取值范围是 [−1,11] .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，从而求出a的值，进而求出函数f(x)的解析式和函数g(x)的解析式，进而求出分段函数 f(g(x)−7) 的解析式，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，进而求出分段函数 f(g(x)−7) 的值域。
（2） 根据题意可知，不等式 f(x)≤6 和 g(x)≤6 的解集的并集为 R ，再利用分类讨论的方法结合一元二次不等式求解集的方法结合根与系数的关系，从而结合绝对值不等式的求解方法，进而求出实数a的取值范围。
高中人教A版（2019）必修第一册第三章
函数概念与性质
一、单选题
1.（2020高一上·浙江期中）下列函数在R上是增函数的是（ ）
A. y=-x+1 B. y=x2 C. y=3x D. y=−1x
2.下列函数中，图象关于y轴对称的函数是（ ）
A. y=x﹣1 B. y=x3 C. y=x12 D. y=x2
3.（2015高一上·霍邱期末）函数f（x）= 21+x2 （x∈R）的值域是（ ）
A. （0，2） B. （0，2] C. [0，2） D. [0，2]
4.（2019高一上·温州期中）函数 f(x)=x+12x−1 的定义域为( )
A. [−1,0)∪(0,+∞) B. (−1,+∞) C. [−1,+∞) D. (0,+∞)
5.（2019高二上·惠州期末）已知 ∀x∈R ， ∃m∈R ，使 4x−2x+1+m=0 成立，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.（2020高一上·滕州月考）已知函数 f(x)={x2+4x，x<0−x2，x≥0 ，若 f(f(m))≥5 ，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. [5,+∞) B. [0,5] C. (−∞,−5] D. [−5,0]
7.（2020高一上·夏邑月考）下列函数中，在区间 [1，+∞) 上为增函数的是（ ）
A. y=−(x−1)2 B. y=|x−1| C. y=1x+1 D. y=−(x+1)2
8.已知函数fx=x,x>0−x2+4x,x≤0 ， 若fx≥ax−1恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−6] B. −6,0 C. (−∞,−1] D. −1,0
9.（2019高三上·梅州月考）若函数 f(x)={(12)x+4,x≤0，−x3−x+5,x>0 ，当 x∈[m,m+1] 时，不等式 f(2m−x)
二、填空题
10.（2019高一上·温州期中）已知幂函数 y=xn 的图象经过点（3,27），则此幂函数的解析式是________．
11.（2019高一上·宜丰月考）若函数 f(x) 同时满足：⑴对于定义域上的任意x，恒有 f(x)+f(−x)=0 ； ⑵对于定义域上的任意 x1,x2 ，当 x1≠x2 时，恒有 f(x1)−f(x2)x1−x2<0 ，则称函数 f(x) 为“理想函数”.给出下列四个函数中： ① f(x)=1x ，② f(x)=−2x+1 ， ③ f(x)=x3 ，④ f(x)={−x2,x≥0x2,x<0 ，能被称为“理想函数”的有________（填相应的序号）.
12.（2020高二下·宁波期中）已知函数 f(x)=ax+1+|2x2+ax−1|(a∈R) 的最小值为0，则实数 a= ________.
13.已知 f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=2x+x，则f（1）+g（1）=
14.（2019高一上·镇海期中）函数 y=7+6x−x2 的定义域是________，值域是________．
15.（2019高一上·苍南月考）设奇函数 f(x) 在 [−1,1] 上是单调减函数，且 f(1)=−1 ，若函数 f(x)≤t2−2t−2 对所有的 x∈[−1,1] 都成立，则 t 的取值范围是 ．
16.（2020高一上·福州期中）方程 x2+2x−1=0 的解可视为函数 y=x+2 的图像与函数 y=1x 的图像交点的横坐标，若方程 x4+ax−4=0 的各个实根 x1 ， x2 ， ⋯ ， xk(k⩽4) 所对应的点 (xi,4xi) (i=1,2,⋯,k) 均在直线 y=x 的同侧，则实数 a 的取值范围是________.
三、解答题
17.（2020高二上·本溪月考）已知定义在 R 上的函数 f(x)=b−2x2x+1+a(a∈R,b∈R) 是奇函数.
（1）若关于 x 的方程 f(x)+m=0 有正根，求实数 m 的取值范围；
（2）当 x∈(1,2) 时，不等式 2x+kf(x)−3>0 恒成立，求实数 k 的取值范围.
18.（2019高一上·上高月考）作出函数f(x)＝ {−x−3,x≤1(x−2)2+3,x>1 的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
19.已知函数f（x）=1﹣a2x+1在R上是奇函数．
（1）求a；
（2）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；
20.（2019高一上·镇原期中）已知函数 f(x)=x2+mx+3(m∈R) .
（1）若 f(x)=0 的一根大于 2 ，另一根小于 2 ，求实数 m 的取值范围；
（2）若 g(m)=f(x)−x2 在 x∈[1，2] 内恒大于 0 ，求实数 m 的取值范围.
21.（2021高一下·金华期末）函数 f(x)=|2x+a−9| ， g(x)=−x2+(5−a)x+2a ，其中 a∈R ．
（1）若函数 g(x) 为偶函数，求函数 f(g(x)−7) 的值域；
（2）若不存在 x∈R ，使得 f(x)>6 和 g(x)>6 同时成立，求 a 的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】根据定义域的要求：选项D定义域 （−∞，0）∪（0，+∞） ，故排除D；
A选项：在R上为单调递减：故排除A；
B选项：在 （−∞，0） 上单调递减，在 （0，+∞） 上单调递增，故排除B；
C选项：因为 3>1 ，所以 y=3x 在R上单调递增，
故答案为：C.
【分析】根据题意由函数单调性的定义逐一判断即可得到答案。
2.【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得，本题即找出哪个函数是偶函数，在所给的4个选项中，只有D中的函数y=x2是偶函数，其余的都不是偶函数， 故选D．
【分析】本题即找出哪个函数是偶函数，在所给的4个选项中，只有D中的函数y=x2是偶函数，其余的都不是偶函数，从而得出结论．
3.【答案】B
【解析】【解答】解：∵x∈R，
∴x2≥0，
∴1+x2≥1，
∴0＜ 21+x2 ≤2；
∴f（x）= 21+x2 ∈（0，2]；
故选：B．
【分析】由x2≥0，得1+x2≥1，从而得0＜ 21+x2 ≤2；即得函数的值域．
4.【答案】 A
【解析】【解答】由题可知，应满足 {x+1≥02x−1≠0⇒{x≥−1x≠0⇒x∈[−1,0)∪(0,+∞)
故答案为：A
【分析】分别求解分子和分母对应表达式所满足的限定条件，再求交集即可
5.【答案】 A
【解析】【解答】∵ ∀x∈R ， ∃m∈R ，使 4x−2x+1+m=0 成立，
∴方程 m=2x+1−4x有解 ，
∴函数 y=m 和函数 y=−4x+2x+1 的图象有公共点．
令 t=2x(t>0) ，
则 y=−t2+2t=−(t−1)2+1≤1 ，
∴函数 y=−4x+2x+1 的值域为 (−∞,1] ，
∴实数 m 的取值范围是 (−∞,1] ．
故答案为：A．
【分析】利用全称命题和特称命题的关系，结合换元法转化二次函数，再利用方程的根与函数图象交点的横坐标的等价关系，结合两函数图象有公共点，用求二次函数值域的方法求出m的取值范围。
6.【答案】 A
【解析】【解答】因为 f(x)={x2+4x，x<0−x2，x≥0 ， −x2≤0 ，为使 f(f(m))≥5 ，只能 f(m)<0 ，
即有 {[f(m)]2+4f(m)≥5f(m)<0 ，解得 f(m)≤−5 ，
当 m<0 时， m2+4m≤−5 ，无解；
当 m≥0 时， −m2≤−5 ，解得 m≥5 或 m≤−5 ，所以 m≥5 .
综上， m≥5 .
故答案为：A.
【分析】根据题中条件，得到 {[f(m)]2+4f(m)≥5f(m)<0 ，解得 f(m)≤−5 ，分别讨论 m<0 ， m≥0 两种情况，即可得出结果.
7.【答案】 B
【解析】【解答】A： y=−(x−1)2 ，开口向下，对称轴为 x=1 ，所以函数在区间 [1，+∞) 上为减函数，故答案为：项A不符合题意；
B： y=|x−1|={x−1，x⩾1−x+1，x<1 ，所以函数在区间 [1，+∞) 上为增函数，故答案为：项B符合题意；
C： y=1x+1 可以看作由函数 y=1x 向左平移一个单位得到，所以函数在区间 [1，+∞) 上为减函数，故答案为：项C不符合题意；
D： y=−(x+1)2 ，开口向下，对称轴为 x=−1 ，所以函数在区间 [1，+∞) 上为减函数，故答案为：项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合增函数的定义，从而找出在区间 [1，+∞) 上为增函数的函数。
8.【答案】 B
【解析】【解答】首先画出的图像，的图像为过的一组直线，若恒成立，只需始终在的下方，即直线夹在与相切的直线，和之间，所以转化为求切线斜率，=
联立，得：①，令， 即， 解得或
将代入①得成立，将代入①得， 不满足， 所以舍去，或通过选项也可知道.
9.【答案】 B
【解析】【解答】依题意得：函数 f(x)={(12)x+4,x≤0，−x3−x+5,x>0 在 x∈R 上单调递减，
因为 f(2m−x)
【分析】根据分段函数单调递减，在每一段减并且临界点出递减，解不等式，即可求出实数m的取值范围.
二、填空题
10.【答案】 y=x3
【解析】【解答】将点（3,27）代入 y=xn 得： 3n=27⇒n=3 ，则 y=x3
故答案为： y=x3
【分析】将点（3,27）代入 y=xn 即可求出
11.【答案】 ④
【解析】【解答】由题意，性质⑴反映了函数 f(x) 为定义域上的奇函数.
性质⑵反映了函数 f(x) 为定义域上的单调递减函数.
①中，函数 f(x)=1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，所以①不正确.
②中，函数 f(x)=−2x+1 为定义域上的非奇非偶函数，所以②不正确.
③中，函数 f(x)=x3 的定义域为 R ， f(x)=x3 为单调增函数，所以③不正确.
④中，函数 f(x)={−x2,x≥0x2,x<0 的图象如图所示，显然此函数为奇函数且在定义域R上为减函数，所以为理想函数，所以④正确.
故答案为：④．
【分析】根据条件 f(x) 为定义域上的奇函数且是减函数，对给出的四个函数进行逐一判断即可.
12.【答案】 ±1
【解析】【解答】解：设 {g(x)+ℎ(x)=ax+1g(x)−ℎ(x)=2x2+ax−1 ，则 {g(x)=x2+axℎ(x)=1−x2 ，
则 f(x)=g(x)+ℎ(x)+|g(x)−ℎ(x)| ={2g(x),g(x)≥ℎ(x)2ℎ(x),g(x)<ℎ(x) ，
由于函数 f(x) 的最小值为0，作出函数 g(x) ， ℎ(x) 的大致图象，
结合图象， 1−x2=0 ，得 x=±1 ，
所以 a=±1 ，
故答案为： ±1 ．
【分析】设 {g(x)+ℎ(x)=ax+1g(x)−ℎ(x)=2x2+ax−1 ，计算可得 f(x)={2g(x),g(x)≥ℎ(x)2ℎ(x),g(x)<ℎ(x) ，再结合图象即可求出答案．
13.【答案】 -12
【解析】【解答】∵f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=2x+x，
∴f（﹣1）﹣g（﹣1）=2﹣1﹣1=12-1=-12 ，
即f（1）+g（1）=-12 ，
故答案为：-12 ．
【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程组关系进行求解即可．
14.【答案】 [−1,7]；[0,4]
【解析】【解答】因为 7+6x−x2≥0 ，所以 x2−6x−7≤0 ，
所以 −1≤x≤7 ，所以定义域为： [−1,7] ，
又因为 7+6x−x2=−(x−3)2+16 ， x∈[−1,7] ，
所以 7+6x−x2=−(x−3)2+16∈[0,16] ，
所以 y=7+6x−x2∈[0,4] ，即值域为 [0,4] .
故答案为： [−1,7] ； [0,4] .
【分析】根据根号下被开方数大于等于零求解出定义域，再利用二次函数并注意 7+6x−x2≥0 求解出 7+6x−x2 的范围，即可求解出值域.
15.【答案】 t≥3或t≤-1
【解析】【解答】根据题意，函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数，则在区间[﹣1，1]上，f（x）max＝f（-1），
又由f（x）为奇函数，则f（-1）＝﹣f（1）＝1，
若f（x）≤t2﹣2t-2对所有的x∈[﹣1，1]都成立，
必有1≤t2﹣2t-2恒成立，即t2﹣2t-3≥0恒成立，
解可得：t≥3或t≤-1，
则t的取值范围为：t≥3或t≤-1，
故答案为：t≥3或t≤-1．
【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得在区间[﹣1，1]上，f（x）max＝f（-1），据此分析：若f（x）≤t2﹣2t-2对所有的x∈[﹣1，1]都成立，必有1≤t2﹣2t-2恒成立，即t2﹣2t-3≥0恒成立，解t2﹣2t-3≥0即可得答案．
16.【答案】 (−∞,−6)∪(6,+∞)
【解析】【解答】因为方程 x4+ax−4=0 等价于 x3+a=4x ,
原方程的实根是 y=x3+a 与曲线 y=4x 的交点的横坐标,
曲线 y=x3+a 是由曲线 y=x3 纵向平移 |a| 个单位而得到,
若交点 (xi,4xi) (i=1,2,⋯,k) 均在直线 y=x 的同侧,因 y=x 与 y=4x 的交点为 (−2,−2),(2,2) ,
所以结合图象可得: {a>0x3+a>−2x≥−2 或 {a<0x3+a<2x≤2 恒成立,
所以 a>−x3−2 在 [−2,+∞) 上恒成立,或 a<−x3+2 在 (−∞,2] 上恒成立,
所以 a>(−x3−2)max= −(−2)3−2=6 ,或 a<(−x3+2)min=−23+2=−6 ,
即实数 a 的取值范围是 (−∞,−6)∪(6,+∞) ，
故答案为: (−∞,−6)∪(6,+∞) 。
【分析】因为方程 x4+ax−4=0 等价于 x3+a=4x ,再利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，推出原方程的实根是 y=x3+a 与曲线 y=4x 的交点的横坐标,再利用图象昂的平移变换，得出曲线 y=x3+a 是由曲线 y=x3 纵向平移 |a| 个单位而得到,若交点 (xi,4xi) (i=1,2,⋯,k) 均在直线 y=x 的同侧,因 y=x 与 y=4x 的交点为 (−2,−2),(2,2) ,所以结合图象可得: {a>0x3+a>−2x≥−2 或 {a<0x3+a<2x≤2 恒成立,再利用不等式恒成立问题的求解方法，所以 a>(−x3−2)max 或 a<(−x3+2)min ,再利用函数求最值的方法，从而求出实数a的取值范围。
三、解答题
17.【答案】 （1）由题意：因为函数 f(x)=b−2x2x+1+a(a∈R,b∈R) 是奇函数，所以 f(0)=0 ，解得 b=1 ，
又 f(1)=−f(−1) ，得 1−24+a=−1−2−120+a ，解得 a=2 ，
当 a=2 ， b=1 时， f(x)=1−2x2x+1+2 ，定义域为 R ， f(−x)=1−2−x2−x+1+2=−1+2x2+2x+1=−f(x) ，所以 f(x) 为奇函数，∴ a=2 ， b=1 .
m=−f(x)=2x−12x+1+2=2x+1−22(2x+1) ，即 m=12−12x+1 ，∵ x>0 ， 2x+1>2 ， 0<12x+1<12 ，
∴ 0<12−12x+1<12 ，∵ m=−f(x) 有正根，∴ m∈(0,12) .
（2）由 2x+kf(x)−3>0 ，得 k⋅1−2x2x+1+2>3−2x ，∵ x∈(1,2) ，所以 −2x+12x+1+2<0 ，
∴ k<(3−2x)(2x+1+2)1−2x .令 −2x+1=t ，则 t∈(−3,−1) ，此时不等式可化为 k<2(4t−t) ，
记 ℎ(t)=2(4t−t) ，当 t∈(−3,−1) 时， y=4t 和 y=−t 均为减函数，
∴ ℎ(t) 为减函数，故 ℎ(t)∈(−6,103) ，∵ k<ℎ(t) 恒成立，∴ k≤−6 .
【解析】【分析】(1)由奇函数的性质f(-x)=-f(x)以及f(0)=0，代入整理计算出a与b的值，由此得出的解析式，整理得出m=12−12x+1 ， 由指数函数的性质以及整体思想即可得出0<12−12x+1<12 ， 结合已知条件即可得出m的取值范围。
(2)根据题意由已知条件整理化简得到k⋅1−2x2x+1+2>3−2x ， 由指数函数的性质由整体思想令−2x+1=t ， 整理得到k<2(4t−t)构造函数ℎ(t)=2(4t−t) ， 由函数的单调性即可得出ℎ(t)∈(−6,103) ， 结合已知条件即可得出k的取值范围。
18.【答案】 解：f(x)＝ {−x−3,x≤1(x−2)2+3,x>1 的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)＝ {−x−3,x≤1(x−2)2+3,x>1 的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)
【解析】【分析】根据题意直接作出函数图像即可，需注意每一个分段函数的定义域．
19.【答案】 解：（1）由题意知f（0）=0．即1-a20+1 ，
所以a=2．此时f（x）=1-22x+1=2x−12x+1 ，
而f（﹣x）=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=-f(x)，
所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．
（2）由（1）知f(x)=2x−12x+1 ，
因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，
故s•f（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，
因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．
故s的取值范围是[3，+∞）．
【解析】【分析】（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数；
（2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解；
20.【答案】 （1）解： f(x)=x2+mx+3(m∈R) 开口向上， f(x)=0 的一根大于 2 ，另一根小于 2
只需满足： f(2)<0 即可，即 4+2m+3<0∴m<−72
（2）解： g(m)=f(x)−x2=mx+3 ，看作 x 为变量的函数，恒大于 0 ，即最小值大于0.最值在端点处取得，则 {m+3>02m+3>0 解得 m>−32
【解析】【分析】（1）确定二次函数开口向上，只需满足 f(2)<0 即可，计算得到答案.（2）化简得到 g(m)=mx+3 ，函数最值在端点处，代入计算得到答案.
21.【答案】 （1）因为二次函数 g(x)=−x2+(5−a)x+2a 为偶函数，则 5−a2=0 ，解得 a=5 ，
所以， g(x)=−x2+10 ，则 g(x)−7=−x2+3≤3 ， f(x)=|2x−4|={2x−4,x≥24−2x,x<2 .
①当 2≤g(x)−7≤3 时， f(x)=2g(x)−7−4∈[0,4] ；
②当 g(x)−7<2 时， f(x)=4−2g(x)−7∈(0,4) .
综上所述，函数 f(g(x)−7) 的值域为 [0,4] ；
（2）根据题意可知，不等式 f(x)≤6 和 g(x)≤6 的解集的并集为 R ，
先解不等式 g(x)=−x2+(5−a)x+2a≤6 ，即 x2+(a−5)x+6−2a≥0 ，
即 (x−2)(x+a−3)≥0 （*）.
①当 a=1 时，（*）式即为 (x−2)2≥0 ，显然成立；
②当 a<1 时， 3−a>2 ，（*）式的解集为 (−∞,2]∪[3−a,+∞) ，
只需当 2
③当 a>1 时， 3−a<2 ，（*）式的解集为 (−∞,3−a]∪[2,+∞) ，
只需当 3−a
综上所述，实数 a 的取值范围是 [−1,11] .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，从而求出a的值，进而求出函数f(x)的解析式和函数g(x)的解析式，进而求出分段函数 f(g(x)−7) 的解析式，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，进而求出分段函数 f(g(x)−7) 的值域。
（2） 根据题意可知，不等式 f(x)≤6 和 g(x)≤6 的解集的并集为 R ，再利用分类讨论的方法结合一元二次不等式求解集的方法结合根与系数的关系，从而结合绝对值不等式的求解方法，进而求出实数a的取值范围。
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