数学人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试综合训练题

高中人教A版（2019）必修第一册第四章

指数函数与对数函数

一、单选题

1.（2019高一上·临澧月考）下列等式中，不正确的是（    ）           

A.  ＝－3     B.  ＝－25     C.  ＝4－      D.  ÷ ＝ （ ）

2.（2020高一上·大石桥月考）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （   ）           

A. 1                                          B. -1                                          C. 2                                          D. -2

3.（2019高一上·唐山期中）函数  ，（ 且 ）恒过定点为(    )           

A.                                   B.                                   C.                                   D. 

4.（2019高一上·南阳月考）设函数 ，若 ，则 的取值范围是（    ）           

A.              B.              C.              D. 

5.（2020高一下·保定期末）已知数列 ， ，… ，…是首项为1，公比为2的等比数列，则 （    ）           

A.                                 B.                                 C.                                 D. 

6.（2019·北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m1-m2= ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（   ）
           

A. 1010.1                                 B. 10.1                                 C. lg10.1                                 D. 10-10.1

7.（2020高二上·汕尾期末）设函数的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域为 ，则称 为“倍缩函数”．若函数 为“倍缩函数”，则实数 的取值范围是（    ）           

A.               B.               C.               D. 

8.（2018高一上·天门月考）已知 ，则 （   ）           

A. -2                                          B. 1                                          C. 0                                          D. -1

二、填空题

9.（2020高一下·浦东期中）已知函数 ，则          

10.（2019·金山模拟）已知函数 ，则          

11.（2019高二下·安徽月考）已知函数 .若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是      .   

12.（2020高一上·沈阳月考）已知命题 ， 若 是真命题，则实数 的取值范围是      .   

13.（2020高一上·台州期中）若函数 为指数函数，则 的值为________，函数在 上的最大值为________.   

14.（2019高一上·杭州期中）已知函数 ，存在实数 满足 ，则 的取值范围是________．   

三、解答题

15.（2019高一上·唐山期中）求值：    

16.（2019高一上·临渭期中）已知函数 ，   

（1）求 的定义域;   

（2）当 时, 求 的值;   

（3）判断函数 的奇偶性.   

17.（2020高一上·揭阳期末）已知函数 ， .设函数 .   

（1）求函数 的定义域；   

（2）判断 奇偶性并证明；   

（3）当 时，若 成立，求x的取值范围.   

18.（2018·宁县模拟）已知函数   

  若 ，求 的单调区间；

  是否存在实数a，使 的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

19.（2020高一上·磐安月考）求值：   

（1）求 的值；   

（2）设 ，求 的最大值.   

20.（2019高一上·随县月考）已知t为实数，函数 ，其中    

（1）若 ，求 的取值范围．   

（2）当 时， 的图象始终在 的图象的下方，求t的取值范围；   

（3）设 ，当 时，函数 的值域为 ，若 的最小值为 ，求实数a的值.   

21.（2020高一上·怀仁月考）已知函数 .   

（1）若 是定义在R上的偶函数，求a的值及 的值域；   

（2）若 在区间 上是减函数，求a的取值范围.   

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 B  

【解析】【解答】A中， ，故正确；

B中， ，故错误；

C中，因为 ，所以 ，故正确；

D中，因为 ，故正确；

故答案为：B.

【分析】根据分数指数幂的概念和指数的运算公式，对四个选项进行判断，得到答案.

2.【答案】 B  

【解析】【解答】 =- .

故答案为：B

 
【分析】由奇函数的定义可知 =-   ， 代入函数解析式计算即可。

3.【答案】 A  

【解析】【解答】因为指数函数 的图象恒过点 ,

所以令 ,

则当 时,

的函数值为 ,

此时函数 的函数值为 .

所以函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 .

故答案为：A

【分析】由指数函数 的图象恒过点 可知,令 ,则 时有 的函数值为1,从而得到答案.

4.【答案】 D  

【解析】【解答】当 时, ,所以 ;

当 时, ,所以 ,

综上所述: 的取值范围是 .

故答案为：D

【分析】按照 , 代入解析式解得结果相并即可得到答案.

5.【答案】 D  

【解析】【解答】由题设有 ，

而 ，

当 时， 也满足该式，故 ，

所以 ，

故答案为：D.

 
【分析】 根据题意，由等比数列的通项公式可得 ，由累乘法可得数列{an}的通项公式，进而由对数的运算性质分析可得答案．

6.【答案】 A  

【解析】【解答】解：设太阳的亮度为 ,天狼星的亮度为 ，

根据题意 ,

故 ，

所以 ；

故答案为：A.

【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.

7.【答案】 B  

【解析】【解答】因为函数 为“倍缩函数”，

所以存在 ，使 在 上的值域为 ，

由于 单调递增，所以 ，

即 ， 为方程 的两个实根，

进一步转化为函数 与 有两个交点，

不妨先求出与函数 相切且斜率为 的直线方程，

对于数 ，求导得 ，令 ，解得 ， ，

所以斜率为 的切线方程为 ，

该直线在 轴上的截距为 ，

要使函数 与 有两个交点，

则 ，所以 ，

故答案为：B．

【分析】先判断 单调递增，可得 ， 为方程 的两个实根，进一步转化为函数 与 有两个交点，求出切线在 轴上的截距，列式 即可求解.

8.【答案】 C  

【解析】【解答】∵  

∴  ．

故答案为：C.

 
【分析】由已知利用函数的奇偶性，得到  ， 再利用对数的运算性质即可求值.

二、填空题

9.【答案】 1  

【解析】【解答】 ，

令 ，解得 ，

所以 ，

所以 .

故答案为：1.

 
【分析】由原函数的解析式反解出x，再将x与外互换，可得原函数的反函数，进而得解。

10.【答案】   

【解析】【解答】由反函数定义，令 ，

得 ＝4，则x＝24＝16，

∴f﹣1（5）＝16．

故答案为：16．

 
【分析】根据反函数的定义令   ， 进而得出 。

11.【答案】   

【解析】【解答】函数 有两个零点即 与 有两个交点， 的图像如图所示：当 的斜率 时由图像可得有两个交点，故实数 的取值范围是

故答案为

 
【分析】利用函数零点与两函数图象交点的等价关系，得出函数 有两个零点即 与 有两个交点，再利用两函数的图象，从而求出直线的斜率k的取值范围。

12.【答案】   

【解析】【解答】由题知， 为真命题，

对 恒成立，

在 上单调递增，

当 时， ，则 .

故答案为： .

 
【分析】根据题意由否命题的定义结合已知条件即可得出 为真命题，再由对数函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可求出a的取值范围。

13.【答案】 3；3  

【解析】【解答】因为函数 为指数函数，

所以 ，

解得 或 （舍去）

因为 为R上的单调递增函数，

所以当 时，函数有最大值3.

故答案为：3；3

 
【分析】由函数为指数可求出  ， 利用指数函数的单调性求最大值即可。

14.【答案】   

【解析】【解答】由函数 ，作出函数的图象；

因为存在实数 满足 ，

由图像可得： ，解得 ； ，

由 得 ，所以 ，因此 ，

所以 ．

故答案为：

【分析】作出函数 的图象，结合图像与题中条件，分析出 ， ，从而可得出结果．

三、解答题

15.【答案】 解：原式

【解析】【分析】利用分数指数幂与根式的互化及运算法则求解 ，利用对数的性质及运算法则求解 即可.

16.【答案】 （1）解：由 求得函数的定义域为 (－2,2)
（2）解：当 时, 
（3）解：∵函数的定义域为(－2,2) 

又 ∵ f(－x)= 

∴ 函数f(x)为奇函数

【解析】【分析】（1）利用 求得 的定义域.（2）利用对数运算，求得 的值.（3） 定义域关于原点对称，且通过验证 ，由此证得 为奇函数.

17.【答案】 （1）解：由 ，解得 ， 

所以函数 的定义域为 .

（2）解： 是奇函数.证明如下： 

，都有   ，

∴ 是奇函数.

（3）解：由 可得 ，得 ， 

由对数函数的单调性得 ，

解得

解集为 .

【解析】【分析】（1） 由题意得   ， 求解可得函数  的定义域；

（2）根据奇函数的定义进行证明即可；
（3） 由  可得    ， 得    ，  再根据对数函数的单调性求解可得 x的取值范围.

18.【答案】 解： 且 ， 

可得函数

  真数为

  函数定义域为

令

可得：当 时，t为关于x的增函数；

当 时，t为关于x的减函数．

  底数为

  函数 的单调增区间为 ，单调减区间为

  设存在实数a，使 的最小值为0，

由于底数为 ，可得真数 恒成立，

且真数t的最小值恰好是1，

即a为正数，且当 时，t值为1．

因此存在实数 ，使 的最小值为0．

【解析】【分析】（1）代入   ， 即可求得a的值，进而得出函数解析式，根据函数的定义域，讨论真数对应的二次函数在定义域内的单调性，即得函数的单调区间。
（2）首先假设a存在，由此得出 真数 恒成立 ， 且真数t的最小值恰好是1 ，再结合二次函数的性质得出a的值，由此得出结果。

19.【答案】 （1）原式   

（2）当且仅当 时，取得最大值 . 

当且仅当   即   时取等号.

所以当且仅当   时 最大，最大值为1.

【解析】【分析】（1）利用对数式的运算性质和运算法则即可求解；
（2）   ，然后利用基本不等式即可求出   的最大值 。

20.【答案】 （1）解：由题意得函数g（x）在（0，+∞）上是减函数， 

，解得 ，则x的取值范围是

（2）解：由题意设h（x）=f（x）-g（x）=2loga（2x+t-2）-logax＜0在x∈[1，4]恒成立， 

∴2loga（2x+t-2）＜logax，

∵0＜a＜1，x∈[1，4]，

∴只需要2x+t-2＞ 恒成立，

即 恒成立，

∴ ,

令 ,

∴ ,

∴t的取值范围是t＞1

（3）解：∵t=4，0＜a＜1， 

∴函数y=|f（x）|=|2loga（2x+2）|在（-1，- ）上单调递减，在（- ，+∞）上单调递增，

∵当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，且f（- ）=0，

∴ (等号不同时取到),

令|2loga(2x+2)|=2,得 ,

又 ,

∴ ,

∴n-m的最小值为 ,

∴a= .

【解析】【分析】（1）根据对数函数的图像与性质化简即可求解；（2）构造函数h（x）=f（x）-g（x），根据对数函数的图象和性质可得，根据二次函数的性质求出t的取值范围即可；（3）先判断函数y=|f（x）|的单调性，令|2loga（2x+2）|=2，即可得到n-m的最小值.

21.【答案】 （1）解：因为 是定义在R上的偶函数，所以 ， 

所以 ，故 ，

此时， ，定义域为R，符合题意.

令 ，则 ，

所以 ，故 的值域为

（2）解：设 . 

因为 在 上是减函数，

所以 在 上是减函数，

且 在 上恒成立，

故

解得 ，即

【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义求出a的值，从而求出函数的解析式，再利用复合函数的单调性，即同增异减，从而判断函数的单调性，进而求出函数的值域。
（2）利用复合函数的单调性，即同增异减，从而判断函数的单调性，再利用函数 在区间 上是减函数，从而求出实数a的取值范围。