2021年山东省潍坊市诸城市中考数学一模试卷

这是一份2021年山东省潍坊市诸城市中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且原点为O，根据图中各点位置，下列数值最大的是（ ）
A．aB．bC．|c|D．﹣b
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a2）3＝a6C．（2a）2＝2a2D．2a4÷a4＝a4
3．下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．21世纪以来我国经济总量规模扩大了10倍，取得了举世瞩目的成就，2020年我国国内生产总值首次突破1000000亿元，达到1016000亿元．数据1016000用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×106B．1.016×105C．10.16×105D．1016×103
5．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论不正确的是（ ）
A．众数是10B．中位数是9C．平均数是9D．方差是8
6．已知关于x的分式方程+2＝的解为正数，则正整数m的取值可能是（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，半圆O的直径AB＝8，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π+8B．4π﹣8C．8πD．8π+8
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为 .（多选）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
10．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法正确是 .（多选）
A．S△ABC：S△A′B′C′＝1：2
B．AB：A′B′＝1：2
C．点A，O，A′三点在同一条直线上
D．BC∥B′C′
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如右表，则下列结论正确的是 .（多选）
A．对称轴为直线x＝﹣2
B．abc＞0
C．a+b+c＜0
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个不相等的实数解
12．如图，已知∠AOB，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是 .（多选）
A．∠COM＝∠COD
B．点M与点D关于直线OA对称
C．若∠AOB＝20°，则OM＝MN
D．MN∥CD
三、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
13．因式分解：a3b3+2a2b2+ab＝ ．
14．使有意义的x的取值范围是 ．
15．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则tan∠BAC的值为 ．
16．对于实数x，我们[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围是 ．
17．如图，在矩形ABCD中，将△DEC沿DE折叠得到△DEC'，点C'恰好为对角线AC的中点，则的值等于 ．
18．如图，正方形ABCD边长为2，点G在以AB为直径的半圆上的一个动点，点F是边CD上的一个动点，点E是AD的中点，则EF+FG的最小值为 ．
四、解答题（本大题共7小题，共66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．国家“十四五”规划明确强化实施“健康中国”战略．为了引导学生积极参与体育运动，增强身体素质，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了m名学生一分钟跳绳的次数（x次）进行调查统计，按照以下标准划分为四档：100≤x＜120，不合格；120≤x＜140，合格；140≤x＜160，良好；160≤x＜180，优秀．并根据统计结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图：
请结合上述信息完成下列问题：
（1）m＝ ，a＝ ；
（2）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该校有1200名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．
20．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．
（1）求k，b的值；
（2）点E是y轴上点C下方一点，若S△AEB＝，求E点的坐标；
（3）当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
21．如图所示，某建筑物楼顶有信号设备EF，小明同学为了测量信号设备EF的高度，沿直线AD出发，在A点时观测到设备最低点F的仰角∠A＝30°；向前走8米到达B点时，测得最高点E的仰角∠EBC＝60°，若设备EF＝4米，求信号设备EF的最高点的离地高度（结果保留根号）．
22．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，直线AB与⊙O相切于点B，连接BP并延长，交直线l于点C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若PC＝2，OA＝5，求线段PB的长．
23．某蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，第x天上市的该种蔬菜每千克的市场售价为y1元，y1是关于x的一次函数，其中部分对应数据如下表；第x天上市的该种蔬菜每千克的种植成本为y2元，y2与x满足关系y2＝（x﹣25）2+2．
（1）求市场售价y1与上市时间x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）若市场售价减去种植成本为利润，自5月1日起的50天内，第几天上市的该种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？
24．如图1，已知∠MBN＝90°，四根长度相等的木棒AB，BC，CD，DA首尾相接组成四边形ABCD，点F是AB的中点，连接BD，CF交于点E，BE的垂直平分线GH交AB于点G，交BD于点H，连接GE．
（1）如图1，若BC，BA分别在BM，BN上，求证：GE⊥AB；
（2）如图2，将木棒BA固定在射线BN上，当木棒BC绕着点B由BM开始顺时针旋转时，求证：AD＝3GE；
（3）在（2）的旋转过程中，设∠MBC＝α，且α满足0°＜α＜90°．若△GEF是直角三角形，请直接写出α的值．
25．如图，直线与坐标轴交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0）两点的抛物线y＝ax2+bx+2与直线交于A，D两点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？
（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且原点为O，根据图中各点位置，下列数值最大的是（ ）
A．aB．bC．|c|D．﹣b
【分析】在数轴上分别找到|c|和﹣b，利用数轴比较大小，数轴上的数越往右右越大，越往左越小．
解：由数轴可知，|c|＝﹣c，在数轴上分别表示|c|和﹣b，
∴b＜c＜a＜|c|＜﹣b，
故最大数值是﹣b．
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a2）3＝a6C．（2a）2＝2a2D．2a4÷a4＝a4
【分析】A．利用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加可得；
B．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可得结果；
C．根据积的乘方等于乘方的积，可计算结果；
D．根据单项式除单项式的运算法则进行计算即可．
解：A．a3•a4＝a7≠a12，计算结果错误，不符合题意；
B．（a2）3＝a6，计算结果正确，符合题意；
C．（2a）2＝4a2，计算结果错误，不符合题意；
D.2a4÷a4＝2，计算结果错误，不符合题意；
故选：B．
3．下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解：从上面看，是一行3个小正方形，
故选：B．
4．21世纪以来我国经济总量规模扩大了10倍，取得了举世瞩目的成就，2020年我国国内生产总值首次突破1000000亿元，达到1016000亿元．数据1016000用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×106B．1.016×105C．10.16×105D．1016×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将1016000用科学记数法表示为：1.016×106．
故选：A．
5．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论不正确的是（ ）
A．众数是10B．中位数是9C．平均数是9D．方差是8
【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项正确，不符合题意；
B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项正确，符合题意；
C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确，不符合题意；
D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本选项不正确，符合题意；
故选：D．
6．已知关于x的分式方程+2＝的解为正数，则正整数m的取值可能是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】解分式方程+2＝，得．因为分式方程的解是正数，所以且，进而推断出m＜5且m≠3．那么，C符合题意．
解：+2＝．
方程两边同乘（x﹣1），得m+2（x﹣1）＝3．
解得：．
∵关于x的分式方程+2＝的解为正数，
∴且．
∴m＜5且m≠3．
故选：C．
7．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算．
解：如图①②③④⑤任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，
∵共有7个空白处，将①②③④⑤处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共5处，
∴构成轴对称图形的概率是，
故选：D．
8．如图，半圆O的直径AB＝8，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π+8B．4π﹣8C．8πD．8π+8
【分析】根据题意和扇形面积计算公式、三角形的面积公式，可以计算出图中阴影部分的面积，本题得以解决．
解：由已知可得，AB＝8，∠OBO′＝45°，
弓形PB的面积是：﹣＝4π﹣8，
阴影部分的面积是：﹣（4π﹣8）＝8π﹣4π+8＝4π+8，
故选：A．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为 BC .（多选）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
【分析】根据上加下减的原则可知，将直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到直线y＝kx﹣b±3，即直线y＝kx﹣1，那么﹣b±3＝﹣1，即可求出b的值．
解：根据上加下减的原则可得：﹣b±3＝﹣1，
解得b＝﹣2或4．
故答案是：BC．
10．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法正确是 BCD .（多选）
A．S△ABC：S△A′B′C′＝1：2
B．AB：A′B′＝1：2
C．点A，O，A′三点在同一条直线上
D．BC∥B′C′
【分析】根据位似图形的概念相似三角形的性质判断即可．
解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴S△ABC：S△A′B′C′＝1：4，故A选项说法错误；
∴AB：A′B′＝1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，B、C、D说法正确；
故答案为：BCD．
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如右表，则下列结论正确的是 AC .（多选）
A．对称轴为直线x＝﹣2
B．abc＞0
C．a+b+c＜0
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个不相等的实数解
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
解：A．由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，
故A正确；
B．抛物线的顶点坐标（﹣2，1），有最大值，故抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣2，
∴b＜0，当x＝﹣4和x＝2时，函数值相等，
故c＝﹣3＜0，
∴abc＜0，
故B错误；
C．当x＝1时，y＝a+b+c，
∵开口向下，
∴当x＝1时，y＜0，
故C正确；
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0，即ax2+bx+c＝1，
当x＝﹣2时，等号成立，但只有1个实数根，
故D错误．
故答案为：AC．
12．如图，已知∠AOB，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是 ABD .（多选）
A．∠COM＝∠COD
B．点M与点D关于直线OA对称
C．若∠AOB＝20°，则OM＝MN
D．MN∥CD
【分析】根据等弧所对圆周角相等可以判断A；根据平行线的判定可以判断D；根据CM＝CD，OM＝OD，可得OA垂直平分MD，可以判断B；根据∠AOB＝∠AOM＝∠BON＝20°，得∠MON＝60°，由OM＝ON，可得△OMN为等边三角形，进而可以判断C．
解：由作法得CM＝CD，
∴＝，
∴∠COM＝∠COD，所以A选项的结论正确；
连接MD，
∵＝，
∴∠DMN＝∠MDC，
∴CD∥MN，所以D选项的结论正确；
∵CM＝CD，OM＝OD，
∴OA垂直平分MD，
∴点M与点D关于OA对称，所以B选项的结论正确；
∵∠AOB＝∠AOM＝∠BON＝20°，
∴∠MON＝60°，
∵OM＝ON，
∴△OMN为等边三角形，
∴OM＝MN，所以C选项的结论错误．
∴正确的是ABD．
故答案为：ABD．
三、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
13．因式分解：a3b3+2a2b2+ab＝ ab（ab+1）2 ．
【分析】直接提取公因式ab，再利用公式法分解因式得出答案．
解：a3b3+2a2b2+ab
＝ab（a2b2+2ab+1）
＝ab（ab+1）2．
故答案为：ab（ab+1）2．
14．使有意义的x的取值范围是 x＞2020，且x≠2021 ．
【分析】根据零指数幂的底数不等于0，二次根式的被开方数非负，分母不等于0即可得出答案．
解：根据题意得：x﹣2021≠0，x﹣2020≥0，x﹣2020≠0，
∴x＞2020，且x≠2021，
故答案为：x＞2020，且x≠2021．
15．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则tan∠BAC的值为 ．
【分析】延长CO交⊙O于点D，连接BD，根据正切的定义求出tanD，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，得到答案．
解：延长CO交⊙O于点D，连接BD，
在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝＝，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC，
∴tan∠BAC＝，
故答案为：．
16．对于实数x，我们[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围是 46≤x＜56 ．
【分析】先根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
解：根据题意得：
5≤＜5+1，
解得：46≤x＜56，
故答案为46≤x＜56．
17．如图，在矩形ABCD中，将△DEC沿DE折叠得到△DEC'，点C'恰好为对角线AC的中点，则的值等于 ．
【分析】根据折叠的性质可得DC＝DC′，C′E＝CE，，根据矩形性质及直角三角形中线性质可得△C′DC是等边三角形，然后根据三角形函数关系可得答案．
解：∵将△DEC沿DE折叠得到△DEC'，
∴△DCE≌△DC′E，
∴DC＝DC′，C′E＝CE，
∵C'为对角线AC的中点，
∴在矩形ABCD中，CC′＝DC′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝DC′＝CC′，
∴△C′DC是等边三角形，
∴C′DC＝60°，
∴∠EDC＝×60°＝30°，
∵tan∠DCE＝＝，
∴＝，
∵C′E＝CE，
∴，
∴＝．
故答案为：．
18．如图，正方形ABCD边长为2，点G在以AB为直径的半圆上的一个动点，点F是边CD上的一个动点，点E是AD的中点，则EF+FG的最小值为 ．
【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接E'O，交CD于F，交半圆O于G，此时EF+FG的值最小，在Rt△AE'O中，E'O＝，即可求EF+FG的最小值为﹣1．
解：作E点关于CD的对称点E'，连接E'O，交CD于F，交半圆O于G，此时EF+FG的值最小，
∵EF＝E'F，
∴EF+FG＝E'F+FG，
∴EF+FG的最小值为E'O﹣GO，
∵正方形边长为2，
∴AO＝GO＝1，
∵E是AD的中点，
∴DE＝DE'＝1，
∴EE'＝2，
在Rt△AE'O中，E'O＝＝＝，
∴E'O﹣GO＝﹣1，
∴EF+FG的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
四、解答题（本大题共7小题，共66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．国家“十四五”规划明确强化实施“健康中国”战略．为了引导学生积极参与体育运动，增强身体素质，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了m名学生一分钟跳绳的次数（x次）进行调查统计，按照以下标准划分为四档：100≤x＜120，不合格；120≤x＜140，合格；140≤x＜160，良好；160≤x＜180，优秀．并根据统计结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图：
请结合上述信息完成下列问题：
（1）m＝ 40 ，a＝ 14 ；
（2）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 108° ；
（3）若该校有1200名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．
【分析】（1）根据优秀的人数和所占的百分比，求出抽取的总人数，再用总人数减去其他人数求出a即可；
（2）用360°乘以“良好”等级所占的百分比即可；
（3）用该校的总人数乘以一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数所占的百分比即可．
解：（1）m＝10÷25%＝40，
a＝40﹣4﹣12﹣10＝14；
故答案为：40，14；
（2）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°×＝108°；
故答案为：108°；
（3）估计该校一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为1200×＝1080（人）．
20．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．
（1）求k，b的值；
（2）点E是y轴上点C下方一点，若S△AEB＝，求E点的坐标；
（3）当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜﹣1或0＜x＜3 ．
【分析】（1）先把A点坐标分别代入y1＝﹣2x+b和y2＝中利用待定系数法即可求得k、b；
（2）设E（a，0），先求得B（3，﹣2），然后根据三角形面积公式得到）＝2CE＝2（4﹣a）＝，解方程求得a；
（3）观察图象求得即可．
解：（1）将A（﹣1，6）代入一次函数y＝﹣2x+b，得b＝4；
将A（﹣1，6）代入，得k＝﹣6．
（2）设E（a，0），
将B（m，﹣2）代入，得m＝3，
∴B（3，﹣2）
∴）＝2CE＝2（4﹣a）＝，
∴E（0，）；
（3）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜3．
21．如图所示，某建筑物楼顶有信号设备EF，小明同学为了测量信号设备EF的高度，沿直线AD出发，在A点时观测到设备最低点F的仰角∠A＝30°；向前走8米到达B点时，测得最高点E的仰角∠EBC＝60°，若设备EF＝4米，求信号设备EF的最高点的离地高度（结果保留根号）．
【分析】设FD的长为x，在Rt△ACF中，根据三角函数的定义得到AD＝，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义得到BD＝，于是得到﹣＝8，解方程求得FD，进而即可求得ED．
解：设FD的长为x，依据题意得
在Rt△ADF中，∠A＝30°，
∴AD＝，
在Rt△EDB中，∠EBD＝60°，EF＝4，
∴BD＝，
∵AB＝8，
∴AD﹣BD＝8，
即﹣＝8，
解得x＝，
∴ED＝＝+6．
22．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，直线AB与⊙O相切于点B，连接BP并延长，交直线l于点C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若PC＝2，OA＝5，求线段PB的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到∠ABO＝90°，然后证明∠ABC＝∠ACB，从而得到AB＝AC；
（2）设⊙O的半径为r，则OB＝OP＝r，PA＝5﹣r，利用勾股定理得到52﹣r2＝（2）2﹣（5﹣r）2，解得r＝3，所以OP＝3，PA＝2，过O点作OH⊥PB，如图，根据垂径定理得到PH＝BH，再证明△OPH∽△CPA，利用相似比求出PH，从而得到BP的长．
【解答】（1）证明：∵直线AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠OBC+∠ABC＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，
而∠APC＝∠OPB＝∠OBP，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OP＝r，PA＝5﹣r，
在Rt△OAB中，AB2＝52﹣r2，
在Rt△PAC中，AC2＝（2）2﹣（5﹣r）2，
∵AB＝AC，
∴52﹣r2＝（2）2﹣（5﹣r）2，解得r＝3，
∴OP＝3，PA＝2，
过O点作OH⊥PB，如图，则PH＝BH，
∵∠OPH＝∠APC，∠OHP＝∠CAP，
∴△OPH∽△CPA，
∴＝，即＝，解得PH＝，
∴PB＝2PH＝．
23．某蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，第x天上市的该种蔬菜每千克的市场售价为y1元，y1是关于x的一次函数，其中部分对应数据如下表；第x天上市的该种蔬菜每千克的种植成本为y2元，y2与x满足关系y2＝（x﹣25）2+2．
（1）求市场售价y1与上市时间x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）若市场售价减去种植成本为利润，自5月1日起的50天内，第几天上市的该种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）y1函数是分段函数，写出各定义域的解析式，y2是二次函数，
（2）由市场售价减去种植成本为纯利润列出函数关系式，求出最大值．
解：（1）设y1＝kx+b，
∵函数图象过点（1，5.04），（2，4.98），
∴，
解得：，
∴y1＝﹣x+5.1（0＜x≤50，x取正整数）；
（2）设纯利润为w，由题意得：
w＝y1﹣y2＝＝，
∵a＝＜0，且0≤x≤50，
∴x＝22时（符合题意），每千克利润最大，最大值为1.69元；
∴第22天上市的该种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是1.69元．
24．如图1，已知∠MBN＝90°，四根长度相等的木棒AB，BC，CD，DA首尾相接组成四边形ABCD，点F是AB的中点，连接BD，CF交于点E，BE的垂直平分线GH交AB于点G，交BD于点H，连接GE．
（1）如图1，若BC，BA分别在BM，BN上，求证：GE⊥AB；
（2）如图2，将木棒BA固定在射线BN上，当木棒BC绕着点B由BM开始顺时针旋转时，求证：AD＝3GE；
（3）在（2）的旋转过程中，设∠MBC＝α，且α满足0°＜α＜90°．若△GEF是直角三角形，请直接写出α的值．
【分析】（1）先证明四边形ABCD是正方形，推得∠ABD＝∠ADB＝45°，再由HG垂直平分BE，得∠GEB＝∠GBE＝45°，则∠BGE＝90°，推导出GE⊥AB；
（2）由菱形对边平行的性质证明△BFE∽△DCE，由F是AB的中点，可得到＝，再证明△GEB∽△ADB，由相似三角形的性质即可证得结论；
（3）连接AC，在0°＜α＜90°的范围内，△GEF是直角三角形只存在∠EFG＝90°一种情况，根据线段垂直平分线的性质证明△ABC是等边三角形，即可求出α的值．
【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠MBN＝90°，BC，BA分别在BM，BN上，
∴∠CBA＝90°，
四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵HG垂直平分BE，
∴GE＝GB，
∴∠GEB＝∠GBE＝45°，
∴∠BGE＝90°，
∴GE⊥AB．
（2）证明：如图2，由（1）得，四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴FB∥CD，
∴△BFE∽△DCE，
∴，
∵点F是AB的中点，
∴FB＝AB＝CD，
∴＝，
∴＝；
∵HG垂直平分BE，
∴GE＝GB，
∴∠GEB＝∠ABD，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴∠GEB＝∠ADB，
∴GE∥AD，
∴△GEB∽△ADB，
∴＝，
∴AD＝3GE．
（3）如图3，连接AC，
∵∠MBC＝α，且0°＜α＜90°，△GEF是直角三角形，
∴∠EFG＝90°，
∵AF＝BF，CF⊥AB，
∴AC＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠MBC＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴α＝30°．
25．如图，直线与坐标轴交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0）两点的抛物线y＝ax2+bx+2与直线交于A，D两点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？
（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法可求出抛物线解析，联立直线和抛物线解析式可得出点D的坐标；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，设点N坐标为N（x，x+2），设M坐标为M（x，x2﹣x+2），可求出△MAD的面积，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分三种情况：①当点P为直角顶点时，②当点A为直角顶点时，③当点D为直角顶点时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bc+2经过B（2，0）、C（6，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式，
∵当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
∴m＝2，即直线解析式为：，
∴抛物线与直线交于A、D两点，
∴，
解得，，
∴D（12，10）；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，
设点M的坐标为，
则点N的坐标为（x，），
∴
＝﹣，
∴S＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴S有最大值，
∵当M运动到M（6，0）时，S有最大值为36；
（3）①当点P为直角顶点时，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴，垂足为H，
则△PDH∽△APO，
∴，
∴，
∴x2﹣12x+20＝0，
∴x1＝2，x2＝10，
∴点P的坐标为（2，0）或（10，0）．
②当点A为直角顶点时，如图，过点A作AP⊥AD，交x轴与点P，设P（x，0），
则△OPA∽△AOG．
∴，
∴，
∴x＝，
∴点P的坐标为（，0）；
③当点D为直角顶点时，过点D作DP⊥AD，交x轴于点P，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴于点H，
则△PDH∽△DGH，
∴，
∴＝，
∴x＝
∴点P的坐标为（，0），
∴满足条件的点P的坐标为（2，0）或（10，0）或（，0）或（，0）．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
﹣3
0
1
0
…
x
1
2
3
…
y1
5.04
4.98
4.92
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
﹣3
0
1
0
…
x
1
2
3
…
y1
5.04
4.98
4.92
…