专题4.5 指数函数与对数函数（基础巩固卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题4.5 指数函数与对数函数（基础巩固卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2021秋•河南月考）函数的定义域为（　　）

A．（2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，2）

【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．

【解答】解：由题意可知，

解得﹣2＜x＜2，

∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2），

故选：B．

2．（2021秋•亭湖区校级月考）设a＞0，b＞0，化简的结果是（　　）

A． B． C． D．﹣3a

【分析】利用有理数指数幂的性质进行运算即可．

【解答】解：abab3a．

故选：D．

3．（2021秋•10月份月考）方程log2x＝log4（2x+3）的解为（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或3

【分析】根据对数的运算性质解方程即可．

【解答】解：log2x＝log4（2x+3），即为log2xlog2（2x+3），即log2x2＝log2（2x+3），

则，解得x＝3，

故选：C．

4．（2021秋•洛阳期中）已知a＝log32，b＝log23，c＝20.3，则（　　）

A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c

【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．

【解答】解：∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴0＜a＜1，

∵32，

∴log23，又∵1＝20，

∴b＞c＞a，

故选：A．

5．（2021秋•河南月考）设，且，则m＝（　　）

A．6 B． C． D．

【分析】推导出a，b＝log3m，从而2，由此能求出m的值．

【解答】解：设，则a，b＝log3m，

∵，

∴2，

∴m2，解得m．

故选：D．

6．（2021秋•10月份月考）已知a，b，c是不等于1的正实数，且ab≠1，若logabc＝logac•logbc，则logac+logbc＝（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．logabc

【分析】利用对数的运算性质和换底公式求解．

【解答】解：logac+logbc1，

故选：B．

7．（2021秋•潍坊月考）某投资机构从事一项投资，先投入本金a（a＞0）元，得到的利润是b（b＞0）元，收益率为（%），假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投资x（x＞0）元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（　　）

A．a≥b B．a≤b C．a＞b D．a＜b

【分析】设此人第n次投资后的总收益为f（n），求出第n+1次投资后的总收益f（n+1），作差，通过该项投资的总收益率是增加的，即可确定答案．

【解答】解：设此人第n次投资后的总收益为f（n），

则（n∈N*），

所以第n+1次投资后的总收益为f（n+1）（n∈N*），

故f（n+1）﹣f（n），

因为该项投资的总收益率是增加的，

又a＞0，b＞0，

所以a＞b．

故选：C．

8．（2021秋•顺义区校级月考）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y（a为常数），函数图象如图所示．如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（　　）

A．9：00 B．8：40 C．8：30 D．8：00

【分析】利用函数的图象，求出函数的解析式，然后令y≤0.25，求出t的范围，即可得到答案．

【解答】解：根据函数的图象可知，函数图象过点（10，1），

则有，解得a＝1，

所以y，

令y≤0.25，则0.1t≤0.25或，

解得0＜t≤2.5或t≥30，

所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00．

故选：A．

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2021秋•滨湖区校级月考）下列各式比较大小，正确的是（　　）

A．1.72.5＞1.73 B． 

C．1.70.3＞0.93.1 D．

【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性求解．

【解答】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，

∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，

对于选项B：，

∵函数y＝2x在R上单调递增，且，

∴，故选项B正确，

对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，

∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，

对于选项D：∵函数y在R上单调递减，且，

∴，

又∵函数y在（0，+∞）上单调递增，且，

∴，

∴，故选项D错误，

故选：BC．

10．（2021秋•凌河区校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（　　）

A．y2 B．y＝|x﹣2|+1 

C．y＝log2（2x）+1 D．y＝2x﹣1

【分析】先求出函数f（x）恒过定点A，依次判断四个选项即可．

【解答】解：函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A（1，2），

当x＝1时，y＝2，故选项A正确；

当x＝1时，y＝|1﹣2|+1＝2，故选项B正确；

当x＝1时，y＝log2（2×1）+1＝2，故选项C正确；

当x＝1时，y＝2×2﹣1＝3，故选项D错误．

故选：ABC．

11．（2021春•浙江期中）已知函数f（x）＝|lgx|，则（　　）

A．f（x）是偶函数 B．f（x）值域为[0，+∞） 

C．f（x）在[0，+∞）上递增 D．f（x）有一个零点

【分析】可画出函数f（x）的图象，然后根据图象即可判断每个选项的正误．

【解答】解：可画出f（x）＝|lgx|的图象如下图所示：

根据图象可看出f（x）的值域为[0，+∞），f（x）有一个零点．

故选：BD．

12．（2021春•亭湖区校级月考）已知函数，且关于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（　　）

A．﹣1 B．0 C．2 D．3

【分析】本题可采用数形结合的方法解答，在同一坐标系内分别作出y1＝f（x），y2＝﹣x+a的图象，其中a表示直线在y轴的截距，结合图形可知当a＞1时，直线y2＝﹣x+a与y1＝log2x只有一个交点．即关于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一个实根

【解答】解：关于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一个实根，即函数f（x）的图象与函数y＝﹣x+a的图象有且只有一个交点，

如图，在同一坐标系内分别作出y1＝f（x），y2＝﹣x+a的图象，

数形结合可知，当a＞1时，直线y2＝﹣x+a与y1＝log2x只有一个交点．

即a∈（1，+∞）．

故选：CD．

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2021秋•三元区校级月考）2﹣2×（2）﹣0.5+（0.01）0.5﹣log32•log4　　．

【分析】由幂运算及对数运算化简即可．

【解答】解：2﹣2×（2）﹣0.5+（0.01）0.5﹣log32•log4

log32•log23，

故答案为：．

14．（2021秋•朝阳区校级月考）若mln2＝1，则2﹣m＝　　．

【分析】由对数的运算性质可知m＝log2e，代入所求式子即可求出结果．

【解答】解：∵mln2＝1，

∴mlog2e，

∴2﹣m＝e﹣1，

故答案为：．

15．（2021秋•浙江月考）某口罩批发商在疻情期间销售口罩，口罩规格为每包100只，每包成本价10元．经过一段时间，批发商发现当以每包12元出售，每天销量800包，若每包口罩的批发价每涨1元，销售量就减少40包．当定价每包 　　元时，批发商可获得利润最大．

【分析】设每包口罩的批发价涨x元，批发商获得的利润为y元，由题意写出y关于x的函数值，再由二次函数求最值．

【解答】解：设每包口罩的批发价涨x元，批发商获得的利润为y元，

则y＝（12+x﹣10）（800﹣40x）＝﹣40x2+720x+1600．

当x＝9时，y取得最大值．

即当定价每包21元时，批发商可获得利润最大．

故答案为：21．

16．（2021秋•运城月考）若关于x的方程|x2﹣1|＝a有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是 　　．

【分析】转化为y＝|x2﹣1|的图象和直线y＝a有2个交点，借助于图像求解结论．

【解答】解：∵关于x的方程|x2﹣1|＝a有两个不相等的实数解，

∴y＝|x2﹣1|的图象和直线 y＝a有2个交点，

如图所示：

故有a＞1或a＝0，

故实数a的取值范围是：{a|a＞1或a＝0}，

故答案为：：{a|a＞1或a＝0}．

四．        解答题（共6小题，满分70分）

17．（2021秋•坊子区校级月考）计算：

（1）；

（2）（log32+log92）•（log43+log83）．

【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解．

（2）利用对数的运算性质即可求解．

【解答】解：（1）原式100；

（2）原式．

18．（2021•金寨县校级开学）已知函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指数函数．

（1）求f（x）的表达式；

（2）判断F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加证明．

【分析】（1）由指数函数的定义知a2+a﹣5＝1且a＞0，可解得a＝2，则f（x）＝2x；

（2）可判断F（x）为奇函数，利用奇偶性的定义证明即可．

【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指数函数，

∴a2+a﹣5＝1且a＞0，解得，a＝2，

故f（x）＝2x；

（2）F（x）为奇函数，证明如下：

F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝2x﹣2﹣x的定义域为R，

且对∀x∈R，﹣x∈R，

F（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣F（x），

故F（x）为奇函数．

19．（2021秋•江州区校级月考）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米．

（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；

（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．

【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由题意得到x+9，求出x的取值范围，即可得到答案；

（2）由题意，表示出整个绿化面积，然后利用基本不等式求解最值即可．

【解答】解：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，

因为块绿草坪的面积均为400平方米，

所以，

因为矩形草坪的长比宽至少多9米，

则x+9，即x2+9x﹣400≤0，

解得0＜x≤16，

所以草坪宽的最大值为16米；

（2）设整个绿化面积为S平方米，

由题意可得，，

当且仅当时取等号，

所以整个绿化面积的最小值为平方米．

20．（2021•涪城区校级开学）已知函数．

（1）求函数y＝f（x）的定义域；

（2）若方程f（x）＝1+logax有两个不等实根，求实数a的取值范围．

【分析】（1）函数f（x）有意义，则0，解不等式得到x的范围，即可得到f（x）的定义域．

（2）方程f（x）＝1+logax有两个不等实根转化为函数g（x）＝ax2+（a﹣1）x+1有两个零点，然后求出a的取值范围即可．

【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义，则0，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

所以f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

（2）方程f（x）＝1+logax，即为logalogax+1，得ax2+（a﹣1）x+1＝0，

设g（x）＝ax2+（a﹣1）x+1，

因为方程ax2+（a﹣1）x+1＝0在区间（1，+∞）上有两个不等实根，

则，解得a∈（0，3﹣2）．

所以实数a的取值范围是（0，3﹣2）．

21．（2021秋•黄浦区校级月考）某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G（x）万元，G（x）．

（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）；

（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．

【分析】（1）根据利润＝销售收入﹣成本，即可得解；

（2）分0＜x≤25和x＞25两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的S的最大值，再比较大小，即可得解．

【解答】解：（1）年利润S＝x•G（x）﹣30﹣90x．

（2）当0＜x≤25时，S＝﹣3x2+160x﹣30＝﹣3（x）2，

所以S在（0，25]上单调递增，

所以Smax＝﹣3×252+160×25﹣30＝2095；

当x＞25时，S＝﹣10x2970＝2970﹣（10x）≤2970﹣22370，

当且仅当10x，即x＝30时，等号成立，此时Smax＝2370，

因为2370＞2095，所以x＝30，Smax＝2370，

故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元．

22．（2021秋•红花岗区校级月考）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．

（1）若函数f（x）在范围[﹣2，0]上存在零点，求a的取值范围；

（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最小值g（a）．

【分析】（1）根据题意，存在x∈[﹣2，0），使得﹣2a＝x成立，利用对勾函数y＝x的图像和性质求出函数y＝x在[﹣2，0）上的值域，从而得到a的取值范围．

（2）f（x）＝x2+2ax+1＝（x+a）2+1﹣a2，对称轴为x＝﹣a，对对称轴的位置分三种情况讨论，分别利用函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，得到g（a）的解析式，最后再写成分段函数的形式即可．

【解答】解：（1）根据题意，存在x∈[﹣2，0），使得x2+2ax+1＝0成立，

即存在x∈[﹣2，0），使得﹣2a＝x成立，

由对勾函数y＝x的性质可知，函数y＝x在[﹣2，﹣1]上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，

∴当x＝﹣1时，ymax＝﹣2，

即当x∈[﹣2，0）时，x2，

∴﹣2a≤﹣2，即a≥1，

∴a的取值范围为[1，+∞）．

（2）f（x）＝x2+2ax+1＝（x+a）2+1﹣a2，

①当﹣a≤﹣1，即a≥1时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴g（a）＝f（﹣1）＝2﹣2a，

②当﹣1＜﹣a＜1，即﹣1＜a＜1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，

③当﹣a≥1，即a≤﹣1时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，∴g（a）＝f（1）＝2+2a，

综上所述，g（a）．