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人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试课时练习
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这是一份人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试课时练习，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.（2020高一下·丽水期中）已知 α 、 β 为锐角， csα=35 ， tan(β−α)=13 ，则 tanβ= （ ）
A. 139 B. 913 C. 3 D. 13
2.（2019高三上·济南期中）若 tan(α+π3)=23 ,则（ ）
A. tanα=313 B. tanα=337 C. tan2α=2337 D. tan2α=7323
3.（2019·江南模拟）ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 2cs2A−B2+csC=32 ，且 ΔABC 的面积为 14c2 ，则 C= （ ）
A. π6 B. π3 C. π6 ， 5π6 D. π3 ， 2π3
4.（2019高一下·诸暨期中）若 sin(π6−α)=13 ，则 cs(2α−π3) 的值是（ ）
A. 79 B. −79 C. −13 D. 13
5.（2019·海南月考）已知函数 f(x)=3sinwx+cswx(w>0) 在区间 [−π4,π3] 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数 ω 的取值范围是（ ）
A. [83,7) B. [83,4) C. [4,203) D. (203,7)
6.（2019高一上·广东月考）已知函数 f(x)=sinx⋅sin(x+π3)−14 的定义域为 [m,n] (mA. 5π12 B. 7π12 C. π2 D. 11π12
7.（2019高一下·乌鲁木齐期末）若 α,β 均为第二象限角，满足 sinα=35 ， csβ=−513 ，则 cs(α+β)= （ ）
A. −3365 B. −1665 C. 6365 D. 3365
8.（2021高一下·玉林期末）设 P 为直线 l ： x+2y−5=0 的一个动点，过 P 作圆 O ： x2+y2=1 的两条切线，切点为 A ， B ，则 PA⋅PB 的最小值为（ ）
A. 125 B. 755−3 C. 22−3 D. 0
9.（2019高二上·集宁月考）已知函数 f(x)=csωx−3sinωx ，若关于 x 的方程 f(x)+1=0 在区间 (0,2π) 上有且只有四个不相等的实数根，则正数 ω 的取值范围是（ ）
A. (32,72] B. (32,256] C. (32,136] D. (32,136)
二、填空题
10.（2020高一下·大庆期中）若 tanα=3 ， tan(β−2α)=1 ，则 tan(α−β)= ________.
11.（2020高一上·池州期末）已知 α+β=π3,tanα+tanβ=3 ，则 cs(α−β)= ________．
12.（2020·南通模拟）已知 α，β∈(0，π) ，且 tan(α−β)=12 ， tanβ=−15 ，则 tanα 的值为________．
13.（2020高一下·邵东月考）给出下列四个命题：
①函数 f(x)=2sin(2x+π3) 的一条对称轴是 x=7π12 ；
②函数 f(x)=3sinxcsx+cs2x 的图象关于点 (−π12，0) 中心对称
③ ΔABC 中， sin2A=sin2B ，则 ΔABC 为等腰三角形；
④若 sinα+sinβ=13 ，则 cs2α−sinβ 的最小值为 −73 ．
以上四个命题中正确命题的序号为________．（填出所有正确命题的序号）
14.（2019高一下·上海月考）若 tan(π4−α)=12 ，则 tan2α+1cs2α= ________．
15.（2020高一下·普宁期末）已知 a>0 且 a≠1 ，函数 f(x)=ax−2+2 的图像恒经过的点 P 的坐标为 ；若角 θ 的终边经过点 P ，则 sin2θ−sin2θ= .
16.（2020高一下·海丰月考）已知函数 f(x+1) 为奇函数，函数 g(x)=4sinπ2x⋅csπ2x+1(x≠1) .若函数 y=f(x)+1 与函数 y=g(x) 的图象的交点坐标为 (x1,y1) ， (x2,y2) ，…， (x2020,y2020) ，则 x1+x2+⋅⋅⋅+x2020+y1+y2 +⋅⋅⋅+y2020= ________.
17.（2019高一下·上海月考）已知 sinαcsβ=−12 ，则 sinβcsα 的取值范围是________
三、解答题
18.（2020高三上·宝鸡月考）已知函数 f(x)=2sin(2x−π6)+4cs(x+π4)cs(x−π4) .
（1）求函数 f(x) 的单调区间；
（2）当 x∈[−π6,π12] 时，求函数 f(x) 的值域.
19.（2019高一上·北碚月考）设函数 f(x)=sinx+sin(x+π3) .
（Ⅰ）求 f(x) 的最小值，并求使 f(x) 取得最小值的 x 的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数 y=f(x) 的图像可由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到.
20.（2020高三上·台州期中）已知函数 f(x)=sinx+3csx+1 .
（Ⅰ）设 α∈[0,2π] ，且 f(α)=1 ，求 α 的值；
（Ⅱ）将函数 y=f(2x) 的图像向左平移 π6 个单位长度，得到函数 y=g(x) 的图像. 当 x∈[−π2,π2] 时，求满足 g(x)≤2 的实数 x 的集合.
21.（2020高一上·昭阳期末）已知函数 f(x)=x2+1ax+b 是定义域上的奇函数，且 f(−1)=−2 ．
（1）求函数 f(x) 的解析式，判断函数 f(x) 在 (0,+∞) 上的单调性并证明；
（2）令 g(x)=f(x)−m ，若函数 g(x) 在 (0,+∞) 上有两个零点，求实数 m 的取值范围；
（3）令 ℎ(x)=x2+1x2−2tf(x)(t<0) ，若对 ∀x1 ， x2∈[12,2] 都有 |ℎ(x1)−ℎ(x2)|≤154 ，求实数 t 的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】 ∵α 为锐角，则 sinα=1−cs2α=45 ，所以， tanα=sinαcsα=43 ，
∴tanβ=tan[(β−α)+α]=tan(β−α)+tanα1−tan(β−α)tanα=13+431−13×43=3 .
故答案为：C.
2.【答案】 D
【解析】解： ∵tanα=tan(α+π3−π3) =23−31+23×3=37 ，
∴tan2α=2371−349=7323 ，
即ABC不符合题意，D符合题意，
故答案为：D.
3.【答案】 A
【解析】 2cs2A−B2+csC=cs(A−B)+1−cs(A+B)=csAcsB+sinAsinB+1−
csAcsB+sinAsinB=2sinAsinB+1=32 ⇒sinAsinB=14
SΔABC=12absinC=14c2 ⇒12sinAsinBsinC=14sin2C ⇒sinC=12
∵C∈(0,π) ∴C=π6 或 C=5π6
又 csC=32−2cs2A−B2≥32−2=−12
∴C=π6
故答案为： A
4.【答案】 A
【解析】解：设 θ=π6−α ，则 α=π6−θ ，且 sinθ=13 ，
则 cs(2α−π3)=cs[2(π6−θ)−π3]=cs(−2θ)=cs2θ=1−2sin2θ=1−2×19=79
故答案为：A．
5.【答案】 B
【解析】由题意，函数 f(x)=3sinωx+csωx=2sin(ωx+π6) ，
令 ωx+π6=t ，所以 f(x)=2sint ，
在区间上 [−π4,π3] 恰有一个最大值点和最小值点，
则函数 f(x)=2sint 恰有一个最大值点和一个最小值点在区间 [−πω4+π6,πω3+π6] ，
则 {−3π2<−πω4+π6≤−π2π2≤πω3+π6<3π2 ，解答 {83≤ω<2031≤ω<4 ，即 83≤ω<4 ，
故答案为：B．
6.【答案】 D
【解析】因为 f(x)=sinx⋅sin(x+π3)−14 =sinx(sinxcsπ3+csxsinπ3)−14
=12sin2x+32sinxcsx−14
=1−cs2x4+3sin2x4−14
=12(sin2x⋅32−cs2x⋅12)
=12sin(2x−π6) ,
因为值域为 [−12,14] ,所以 −1≤sin(2x−π6)≤12 ,
所以 2kπ−7π6≤2x−π6≤2kπ+π6,k∈Z ,
所以 kπ−π2≤x≤kπ+π6,k∈Z ,
所以 n−m 的最大值为 π6−(−π2)=2π3 ,
而 11π12>2π3 ,
所以 n−m 的值不可能是 11π12 .
故答案为：D
7.【答案】 B
【解析】解：∵sinα =35 ，csβ =−513 ，α、β均为第二象限角，∴csα =−1−sin2α=−45 ，
sinβ =1−cs2β=1213 ，
∴cs（α+β）＝csαcsβ-sinαsinβ =(−45) •（ −513 ） −35⋅1213=−1665 ，
故答案为：B
8.【答案】 A
【解析】设 |PA|=|PB|=|OP|2−1 ， sin∠APO=1|OP| ，
cs∠APB=cs2∠APO=1−2sin2∠APO=1−2|OP|2 ，
∴PA⋅PB=|PA||PB|cs∠APB=|OP|2−1⋅|OP|2−1⋅(1−2|OP|2)=|OP|2+2|OP|2−3 ，
∵ 点 O 到直线 l 的距离 d=512+22=5 ，
∴|OP|2≥d2=5>2 ，
∴|OP|2+2|OP|2−3 在 |OP|=5 时取到最小值为 125 。
故答案为：A.
9.【答案】 C
【解析】因为 f(x)=csωx−3sinωx=−2sin(ωx−π6) ，
所以由 f(x)+1=0 得 sin(ωx−π6)=12 ，
因为 x∈(0,2π) ，所以 −π6<ωx−π6<2πω−π6 ，
又关于 x 的方程 f(x)+1=0 在区间 (0,2π) 上有且只有四个不相等的实数根，
所以 ωx−π6 应取 π6,5π6,13π6,17π6 ，
因此， 17π6<2πω−π6≤25π6 ，解得 32<ω≤136 .
故答案为：C
二、填空题
10.【答案】 2
【解析】 tan(β−α)=tan[(β−2α)+α] =tan(β−2α)+tanα1−tan(β−2α)⋅tanα=1+31−1⋅3=−2 .
又 tan(α−β)=−tan(β−α) ，则 tan(α−β)=2 .
故答案为：2
11.【答案】 23−36
【解析】因为 tanα+tanβ=sinαcsα+sinβcsβ=sin(α+β)csαcsβ=3 ，且 α+β=π3 ，
所以 csαcsβ=36,cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=12 ，
所以 sinαsinβ=36−12 ，所 cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=23−36 ．
故答案为： 23−36 .
12.【答案】 311
【解析】解：由 tan(α−β)=12,tanβ=−15 ，
则 tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=12−151+12×15=311 ．
13.【答案】 ①④
【解析】①函数 f(x)=2sin(2x+π3) 的对称轴是 x=π12+kπ2,k∈Z ,当k=1时， x=7π12 ．故正确
②函数 f(x)=3sinxcsx+cs2x=sin(2x+π6)+12 的图象关于点 (−π12+kπ2,12)k∈Z 对称．故错误
③ sin2A=sin2B ⇒2A=2B 或 2A+2B=π .即 ΔABC 为等腰三角形或直角三角形．故错误
④ sinα+sinβ=13 ，将 −sinβ=sinα−13 代入 cs2α−sinβ 得 cs2α−sinβ=cs2α+sinα−13=−2sin2α+sinα+23=−2(sinα−14)2+1924
所以 (cs2α−sinβ)min=−2−1+23=−73 ．故正确
故答案为：①④
14.【答案】 2
【解析】由 tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=12 ，可求得 tanα=13 ，
tan2α+1cs2α==2tanα1−tan2α+sin2α+cs2αcs2α−sin2α=2tanα+tan2α+11−tan2α=23+19+11−19=2 故答案是：2.
15.【答案】 （2,3）；−313
【解析】解: 指数函数的性质可得函数图象恒过定点 (0,1) ,
所以 f(x)=ax−2+2 的图像经过的定点 P(2,3) ；
角 θ 的终边经过点 P ，故 tanθ=32
sin2θ−sin2θ=sin2θ−sin2θsin2θ+cs2θ=tan2θ−2tanθtan2θ+1=tan2θ−2tanθtan2θ+1=−313 .
故答案为: （2,3）; −313
16.【答案】 4040
【解析】 ∵ 函数 f(x+1) 为奇函数， ∴ 函数 f(x) 的对称中心为 (1,0) ，
∴ 函数 y=f(x)+1 的对称中心为 (1,1) ，
又 g(x)=4sinπ2x⋅csπ2x+1=2sinπx+1(x≠1) ，
∴ 点 (1,1) 也为函数 g(x) 的对称中心，
∴ 函数 y=f(x)+1 与函数 y=g(x) 的图象的交点两两关于点 (1,1) 成中心对称，
∴ x1+x2+⋅⋅⋅+x2020+y1+y2 +⋅⋅⋅+y2020=2×20202+2×20202=4040 .
故答案为：4040.
17.【答案】 [−12,12]
【解析】 ∵ sinαcsβ=−12 ，
∴sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=−12+csαsinβ.
sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ=−12−csαsinβ.
又 ∵−1≤sin(α+β)≤1,−1≤sin(α−β)≤1,
∴−1≤−12+csαsinβ≤1,−1≤−12−csαsinβ≤1,
即 ∴−12≤csαsinβ≤32,−32≤csαsinβ≤12,
综上可得： −12≤sinβcsα≤12.
三、解答题
18.【答案】 （1）解： f(x)=2sin(2x−π6)+4cs(x+π4)cs(x−π4)
=2(32sin2x−12cs2x)+4×22(csx−sinx)×22(csx+sinx)
=3sin2x−cs2x+2cs2x
=3sin2x+cs2x
=2sin(2x+π6) ，
令 2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2 ， k∈Z ，解得 kπ−π3≤x≤kπ+π6 ， k∈Z ，
令 2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2 ， k∈Z ，解得 kπ+π6≤x≤kπ+2π3 ， k∈Z ，
故函数 f(x) 的单调递增区间为： [kπ−π3,kπ+π6] ， k∈Z ，
单调递减区间为： [kπ+π6,kπ+2π3] ， k∈Z .
（2）解：当 x∈[−π6,π12] 时， 2x+π6∈[−π6,π3] ，
可得 −12≤sin(2x+π6)≤32 ，
可得 −1≤2sin(2x+π6)≤3 ，故函数 f(x) 的值域为 [−1,3] .
19.【答案】 解：（Ⅰ） f(x)=sinx+sinxcsπ3+csxsinπ3
=sinx+12sinx+32csx=32sinx+32csx
=(32)2+(32)2sin(x+π6)=3sin(x+π6)
当 sin(x+π6) 时， f(x)min=−3 ，此时 x+π6=3π2+2kπ,∴x=4π3+2kπ,(k∈z)
所以， f(x) 的最小值为- 3 ，此时x的集合 {x|x=4π3+2kπ,(k∈z)} .
y=sinx 横坐标不变，纵坐标变为原来的 3 倍，得 y=3sinx ；
然后 y=3sinx 向左平移 π6 个单位，得 f(x)=3sin(x+π6)
20.【答案】 解：（Ⅰ）由 f(x)=sinx+3csx+1=2sin(x+π3)+1 ，
由 f(α)=2sin(α+π3)+1=1 ，得 sin(α+π3)=0 ，
又 α∈[0,2π] ， 得 α=23π 或 53π ；
（Ⅱ）由题知， f(2x)=2sin(2x+π3)+1
g(x)=2sin[2(x+π6)+π3]+1=2sin(2x+2π3)+1 ，
由 g(x)≤2 ，得 sin(2x+2π3)≤12 ，
∴ −7π6+2kπ≤2x+2π3≤π6+2kπ,k∈Z ，
∵−π2≤x≤π2 ， −π3≤2x+2π3≤5π3 ，
∴ −π3≤2x+2π3≤π6 ，或 5π6≤2x+2π3≤5π3 ，
∴ −π2≤x≤−π4 ，或 π12≤x≤π2 ，
即所求 x 的集合为 {x|−π2≤x≤−π4 或 π12≤x≤π2} .
21.【答案】 （1）解： ∵f(−1)=−2 ，且 f(x) 是奇函数， ∴f(1)=2 ，
∴{2−a+b=−22a+b=2 ，解得 {a=1b=0 ，
∴f(x)=x+1x ．
函数 f(x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+∞) 上单调递增，
证明如下：任取 x1 ， x2∈(0,1) ，且 x1则 f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1−x2)(x1x2−1x1x2) ，
∵x1,x2∈(0,1) ，且 x1∴x1−x2<0 ， 0∴ x1x2−1<0 ，
∴f(x1)−f(x2)>0 ，即 f(x1)>f(x2) ，
∴ 函数 f(x) 在 (0,1) 上单调递减.
同理可证明函数 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增．
（2）解：函数 g(x) 在 (0,+∞) 上有两个零点，即方程 x+1x−m=0 在 (0,+∞) 上有两个不相等的实数根，
所以 x2−mx+1=0 在 (0,+∞) 上有两个不相等的实数根，
则 {Δ=m2−4>0m2>0 ，解得 m>2
（3）解：由题意知 ℎ(x)=x2+1x2−2t(x+1x) ，
令 z=x+1x ， y=z2−2tz−2 ，
由（1）可知函数 z=x+1x 在 [12,1] 上单调递减，在 [1,2] 上单调递增，
∴z∈[2,52] ，
∵ 函数 y=z2−2tz−2 的对称轴方程为 z=t<0 ，
∴ 函数 y=z2−2tz−2 在 [2,52] 上单调递增，
当 z=2 时， y=z2−2tz−2 取得最小值， ymin=−4t+2 ；
当 z=52 时， y=z2−2tz−2 取得最大值， ymax=−5t+174 .
所以 ℎ(x)min=−4t+2 ， ℎ(x)max=−5t+174 ，
又 ∵ 对任意的 ∀x1 ， x2∈[12,2] 都有 |ℎ(x1)−ℎ(x2)|≤154 恒成立，
∴ℎ(x)max−ℎ(x)min≤154 ，
即 −5t+174−(−4t+2)≤154 ，
解得 t≥−32 ，又 ∵t<0 ，
∴t 的取值范围是 −32≤t<0 ．
一、单选题
1.（2020高一下·丽水期中）已知 α 、 β 为锐角， csα=35 ， tan(β−α)=13 ，则 tanβ= （ ）
A. 139 B. 913 C. 3 D. 13
2.（2019高三上·济南期中）若 tan(α+π3)=23 ,则（ ）
A. tanα=313 B. tanα=337 C. tan2α=2337 D. tan2α=7323
3.（2019·江南模拟）ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 2cs2A−B2+csC=32 ，且 ΔABC 的面积为 14c2 ，则 C= （ ）
A. π6 B. π3 C. π6 ， 5π6 D. π3 ， 2π3
4.（2019高一下·诸暨期中）若 sin(π6−α)=13 ，则 cs(2α−π3) 的值是（ ）
A. 79 B. −79 C. −13 D. 13
5.（2019·海南月考）已知函数 f(x)=3sinwx+cswx(w>0) 在区间 [−π4,π3] 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数 ω 的取值范围是（ ）
A. [83,7) B. [83,4) C. [4,203) D. (203,7)
6.（2019高一上·广东月考）已知函数 f(x)=sinx⋅sin(x+π3)−14 的定义域为 [m,n] (m
7.（2019高一下·乌鲁木齐期末）若 α,β 均为第二象限角，满足 sinα=35 ， csβ=−513 ，则 cs(α+β)= （ ）
A. −3365 B. −1665 C. 6365 D. 3365
8.（2021高一下·玉林期末）设 P 为直线 l ： x+2y−5=0 的一个动点，过 P 作圆 O ： x2+y2=1 的两条切线，切点为 A ， B ，则 PA⋅PB 的最小值为（ ）
A. 125 B. 755−3 C. 22−3 D. 0
9.（2019高二上·集宁月考）已知函数 f(x)=csωx−3sinωx ，若关于 x 的方程 f(x)+1=0 在区间 (0,2π) 上有且只有四个不相等的实数根，则正数 ω 的取值范围是（ ）
A. (32,72] B. (32,256] C. (32,136] D. (32,136)
二、填空题
10.（2020高一下·大庆期中）若 tanα=3 ， tan(β−2α)=1 ，则 tan(α−β)= ________.
11.（2020高一上·池州期末）已知 α+β=π3,tanα+tanβ=3 ，则 cs(α−β)= ________．
12.（2020·南通模拟）已知 α，β∈(0，π) ，且 tan(α−β)=12 ， tanβ=−15 ，则 tanα 的值为________．
13.（2020高一下·邵东月考）给出下列四个命题：
①函数 f(x)=2sin(2x+π3) 的一条对称轴是 x=7π12 ；
②函数 f(x)=3sinxcsx+cs2x 的图象关于点 (−π12，0) 中心对称
③ ΔABC 中， sin2A=sin2B ，则 ΔABC 为等腰三角形；
④若 sinα+sinβ=13 ，则 cs2α−sinβ 的最小值为 −73 ．
以上四个命题中正确命题的序号为________．（填出所有正确命题的序号）
14.（2019高一下·上海月考）若 tan(π4−α)=12 ，则 tan2α+1cs2α= ________．
15.（2020高一下·普宁期末）已知 a>0 且 a≠1 ，函数 f(x)=ax−2+2 的图像恒经过的点 P 的坐标为 ；若角 θ 的终边经过点 P ，则 sin2θ−sin2θ= .
16.（2020高一下·海丰月考）已知函数 f(x+1) 为奇函数，函数 g(x)=4sinπ2x⋅csπ2x+1(x≠1) .若函数 y=f(x)+1 与函数 y=g(x) 的图象的交点坐标为 (x1,y1) ， (x2,y2) ，…， (x2020,y2020) ，则 x1+x2+⋅⋅⋅+x2020+y1+y2 +⋅⋅⋅+y2020= ________.
17.（2019高一下·上海月考）已知 sinαcsβ=−12 ，则 sinβcsα 的取值范围是________
三、解答题
18.（2020高三上·宝鸡月考）已知函数 f(x)=2sin(2x−π6)+4cs(x+π4)cs(x−π4) .
（1）求函数 f(x) 的单调区间；
（2）当 x∈[−π6,π12] 时，求函数 f(x) 的值域.
19.（2019高一上·北碚月考）设函数 f(x)=sinx+sin(x+π3) .
（Ⅰ）求 f(x) 的最小值，并求使 f(x) 取得最小值的 x 的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数 y=f(x) 的图像可由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到.
20.（2020高三上·台州期中）已知函数 f(x)=sinx+3csx+1 .
（Ⅰ）设 α∈[0,2π] ，且 f(α)=1 ，求 α 的值；
（Ⅱ）将函数 y=f(2x) 的图像向左平移 π6 个单位长度，得到函数 y=g(x) 的图像. 当 x∈[−π2,π2] 时，求满足 g(x)≤2 的实数 x 的集合.
21.（2020高一上·昭阳期末）已知函数 f(x)=x2+1ax+b 是定义域上的奇函数，且 f(−1)=−2 ．
（1）求函数 f(x) 的解析式，判断函数 f(x) 在 (0,+∞) 上的单调性并证明；
（2）令 g(x)=f(x)−m ，若函数 g(x) 在 (0,+∞) 上有两个零点，求实数 m 的取值范围；
（3）令 ℎ(x)=x2+1x2−2tf(x)(t<0) ，若对 ∀x1 ， x2∈[12,2] 都有 |ℎ(x1)−ℎ(x2)|≤154 ，求实数 t 的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】 ∵α 为锐角，则 sinα=1−cs2α=45 ，所以， tanα=sinαcsα=43 ，
∴tanβ=tan[(β−α)+α]=tan(β−α)+tanα1−tan(β−α)tanα=13+431−13×43=3 .
故答案为：C.
2.【答案】 D
【解析】解： ∵tanα=tan(α+π3−π3) =23−31+23×3=37 ，
∴tan2α=2371−349=7323 ，
即ABC不符合题意，D符合题意，
故答案为：D.
3.【答案】 A
【解析】 2cs2A−B2+csC=cs(A−B)+1−cs(A+B)=csAcsB+sinAsinB+1−
csAcsB+sinAsinB=2sinAsinB+1=32 ⇒sinAsinB=14
SΔABC=12absinC=14c2 ⇒12sinAsinBsinC=14sin2C ⇒sinC=12
∵C∈(0,π) ∴C=π6 或 C=5π6
又 csC=32−2cs2A−B2≥32−2=−12
∴C=π6
故答案为： A
4.【答案】 A
【解析】解：设 θ=π6−α ，则 α=π6−θ ，且 sinθ=13 ，
则 cs(2α−π3)=cs[2(π6−θ)−π3]=cs(−2θ)=cs2θ=1−2sin2θ=1−2×19=79
故答案为：A．
5.【答案】 B
【解析】由题意，函数 f(x)=3sinωx+csωx=2sin(ωx+π6) ，
令 ωx+π6=t ，所以 f(x)=2sint ，
在区间上 [−π4,π3] 恰有一个最大值点和最小值点，
则函数 f(x)=2sint 恰有一个最大值点和一个最小值点在区间 [−πω4+π6,πω3+π6] ，
则 {−3π2<−πω4+π6≤−π2π2≤πω3+π6<3π2 ，解答 {83≤ω<2031≤ω<4 ，即 83≤ω<4 ，
故答案为：B．
6.【答案】 D
【解析】因为 f(x)=sinx⋅sin(x+π3)−14 =sinx(sinxcsπ3+csxsinπ3)−14
=12sin2x+32sinxcsx−14
=1−cs2x4+3sin2x4−14
=12(sin2x⋅32−cs2x⋅12)
=12sin(2x−π6) ,
因为值域为 [−12,14] ,所以 −1≤sin(2x−π6)≤12 ,
所以 2kπ−7π6≤2x−π6≤2kπ+π6,k∈Z ,
所以 kπ−π2≤x≤kπ+π6,k∈Z ,
所以 n−m 的最大值为 π6−(−π2)=2π3 ,
而 11π12>2π3 ,
所以 n−m 的值不可能是 11π12 .
故答案为：D
7.【答案】 B
【解析】解：∵sinα =35 ，csβ =−513 ，α、β均为第二象限角，∴csα =−1−sin2α=−45 ，
sinβ =1−cs2β=1213 ，
∴cs（α+β）＝csαcsβ-sinαsinβ =(−45) •（ −513 ） −35⋅1213=−1665 ，
故答案为：B
8.【答案】 A
【解析】设 |PA|=|PB|=|OP|2−1 ， sin∠APO=1|OP| ，
cs∠APB=cs2∠APO=1−2sin2∠APO=1−2|OP|2 ，
∴PA⋅PB=|PA||PB|cs∠APB=|OP|2−1⋅|OP|2−1⋅(1−2|OP|2)=|OP|2+2|OP|2−3 ，
∵ 点 O 到直线 l 的距离 d=512+22=5 ，
∴|OP|2≥d2=5>2 ，
∴|OP|2+2|OP|2−3 在 |OP|=5 时取到最小值为 125 。
故答案为：A.
9.【答案】 C
【解析】因为 f(x)=csωx−3sinωx=−2sin(ωx−π6) ，
所以由 f(x)+1=0 得 sin(ωx−π6)=12 ，
因为 x∈(0,2π) ，所以 −π6<ωx−π6<2πω−π6 ，
又关于 x 的方程 f(x)+1=0 在区间 (0,2π) 上有且只有四个不相等的实数根，
所以 ωx−π6 应取 π6,5π6,13π6,17π6 ，
因此， 17π6<2πω−π6≤25π6 ，解得 32<ω≤136 .
故答案为：C
二、填空题
10.【答案】 2
【解析】 tan(β−α)=tan[(β−2α)+α] =tan(β−2α)+tanα1−tan(β−2α)⋅tanα=1+31−1⋅3=−2 .
又 tan(α−β)=−tan(β−α) ，则 tan(α−β)=2 .
故答案为：2
11.【答案】 23−36
【解析】因为 tanα+tanβ=sinαcsα+sinβcsβ=sin(α+β)csαcsβ=3 ，且 α+β=π3 ，
所以 csαcsβ=36,cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=12 ，
所以 sinαsinβ=36−12 ，所 cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=23−36 ．
故答案为： 23−36 .
12.【答案】 311
【解析】解：由 tan(α−β)=12,tanβ=−15 ，
则 tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=12−151+12×15=311 ．
13.【答案】 ①④
【解析】①函数 f(x)=2sin(2x+π3) 的对称轴是 x=π12+kπ2,k∈Z ,当k=1时， x=7π12 ．故正确
②函数 f(x)=3sinxcsx+cs2x=sin(2x+π6)+12 的图象关于点 (−π12+kπ2,12)k∈Z 对称．故错误
③ sin2A=sin2B ⇒2A=2B 或 2A+2B=π .即 ΔABC 为等腰三角形或直角三角形．故错误
④ sinα+sinβ=13 ，将 −sinβ=sinα−13 代入 cs2α−sinβ 得 cs2α−sinβ=cs2α+sinα−13=−2sin2α+sinα+23=−2(sinα−14)2+1924
所以 (cs2α−sinβ)min=−2−1+23=−73 ．故正确
故答案为：①④
14.【答案】 2
【解析】由 tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=12 ，可求得 tanα=13 ，
tan2α+1cs2α==2tanα1−tan2α+sin2α+cs2αcs2α−sin2α=2tanα+tan2α+11−tan2α=23+19+11−19=2 故答案是：2.
15.【答案】 （2,3）；−313
【解析】解: 指数函数的性质可得函数图象恒过定点 (0,1) ,
所以 f(x)=ax−2+2 的图像经过的定点 P(2,3) ；
角 θ 的终边经过点 P ，故 tanθ=32
sin2θ−sin2θ=sin2θ−sin2θsin2θ+cs2θ=tan2θ−2tanθtan2θ+1=tan2θ−2tanθtan2θ+1=−313 .
故答案为: （2,3）; −313
16.【答案】 4040
【解析】 ∵ 函数 f(x+1) 为奇函数， ∴ 函数 f(x) 的对称中心为 (1,0) ，
∴ 函数 y=f(x)+1 的对称中心为 (1,1) ，
又 g(x)=4sinπ2x⋅csπ2x+1=2sinπx+1(x≠1) ，
∴ 点 (1,1) 也为函数 g(x) 的对称中心，
∴ 函数 y=f(x)+1 与函数 y=g(x) 的图象的交点两两关于点 (1,1) 成中心对称，
∴ x1+x2+⋅⋅⋅+x2020+y1+y2 +⋅⋅⋅+y2020=2×20202+2×20202=4040 .
故答案为：4040.
17.【答案】 [−12,12]
【解析】 ∵ sinαcsβ=−12 ，
∴sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=−12+csαsinβ.
sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ=−12−csαsinβ.
又 ∵−1≤sin(α+β)≤1,−1≤sin(α−β)≤1,
∴−1≤−12+csαsinβ≤1,−1≤−12−csαsinβ≤1,
即 ∴−12≤csαsinβ≤32,−32≤csαsinβ≤12,
综上可得： −12≤sinβcsα≤12.
三、解答题
18.【答案】 （1）解： f(x)=2sin(2x−π6)+4cs(x+π4)cs(x−π4)
=2(32sin2x−12cs2x)+4×22(csx−sinx)×22(csx+sinx)
=3sin2x−cs2x+2cs2x
=3sin2x+cs2x
=2sin(2x+π6) ，
令 2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2 ， k∈Z ，解得 kπ−π3≤x≤kπ+π6 ， k∈Z ，
令 2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2 ， k∈Z ，解得 kπ+π6≤x≤kπ+2π3 ， k∈Z ，
故函数 f(x) 的单调递增区间为： [kπ−π3,kπ+π6] ， k∈Z ，
单调递减区间为： [kπ+π6,kπ+2π3] ， k∈Z .
（2）解：当 x∈[−π6,π12] 时， 2x+π6∈[−π6,π3] ，
可得 −12≤sin(2x+π6)≤32 ，
可得 −1≤2sin(2x+π6)≤3 ，故函数 f(x) 的值域为 [−1,3] .
19.【答案】 解：（Ⅰ） f(x)=sinx+sinxcsπ3+csxsinπ3
=sinx+12sinx+32csx=32sinx+32csx
=(32)2+(32)2sin(x+π6)=3sin(x+π6)
当 sin(x+π6) 时， f(x)min=−3 ，此时 x+π6=3π2+2kπ,∴x=4π3+2kπ,(k∈z)
所以， f(x) 的最小值为- 3 ，此时x的集合 {x|x=4π3+2kπ,(k∈z)} .
y=sinx 横坐标不变，纵坐标变为原来的 3 倍，得 y=3sinx ；
然后 y=3sinx 向左平移 π6 个单位，得 f(x)=3sin(x+π6)
20.【答案】 解：（Ⅰ）由 f(x)=sinx+3csx+1=2sin(x+π3)+1 ，
由 f(α)=2sin(α+π3)+1=1 ，得 sin(α+π3)=0 ，
又 α∈[0,2π] ， 得 α=23π 或 53π ；
（Ⅱ）由题知， f(2x)=2sin(2x+π3)+1
g(x)=2sin[2(x+π6)+π3]+1=2sin(2x+2π3)+1 ，
由 g(x)≤2 ，得 sin(2x+2π3)≤12 ，
∴ −7π6+2kπ≤2x+2π3≤π6+2kπ,k∈Z ，
∵−π2≤x≤π2 ， −π3≤2x+2π3≤5π3 ，
∴ −π3≤2x+2π3≤π6 ，或 5π6≤2x+2π3≤5π3 ，
∴ −π2≤x≤−π4 ，或 π12≤x≤π2 ，
即所求 x 的集合为 {x|−π2≤x≤−π4 或 π12≤x≤π2} .
21.【答案】 （1）解： ∵f(−1)=−2 ，且 f(x) 是奇函数， ∴f(1)=2 ，
∴{2−a+b=−22a+b=2 ，解得 {a=1b=0 ，
∴f(x)=x+1x ．
函数 f(x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+∞) 上单调递增，
证明如下：任取 x1 ， x2∈(0,1) ，且 x1
∵x1,x2∈(0,1) ，且 x1
∴f(x1)−f(x2)>0 ，即 f(x1)>f(x2) ，
∴ 函数 f(x) 在 (0,1) 上单调递减.
同理可证明函数 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增．
（2）解：函数 g(x) 在 (0,+∞) 上有两个零点，即方程 x+1x−m=0 在 (0,+∞) 上有两个不相等的实数根，
所以 x2−mx+1=0 在 (0,+∞) 上有两个不相等的实数根，
则 {Δ=m2−4>0m2>0 ，解得 m>2
（3）解：由题意知 ℎ(x)=x2+1x2−2t(x+1x) ，
令 z=x+1x ， y=z2−2tz−2 ，
由（1）可知函数 z=x+1x 在 [12,1] 上单调递减，在 [1,2] 上单调递增，
∴z∈[2,52] ，
∵ 函数 y=z2−2tz−2 的对称轴方程为 z=t<0 ，
∴ 函数 y=z2−2tz−2 在 [2,52] 上单调递增，
当 z=2 时， y=z2−2tz−2 取得最小值， ymin=−4t+2 ；
当 z=52 时， y=z2−2tz−2 取得最大值， ymax=−5t+174 .
所以 ℎ(x)min=−4t+2 ， ℎ(x)max=−5t+174 ，
又 ∵ 对任意的 ∀x1 ， x2∈[12,2] 都有 |ℎ(x1)−ℎ(x2)|≤154 恒成立，
∴ℎ(x)max−ℎ(x)min≤154 ，
即 −5t+174−(−4t+2)≤154 ，
解得 t≥−32 ，又 ∵t<0 ，
∴t 的取值范围是 −32≤t<0 ．
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