专题2.4 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份专题2.4 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版），共13页。
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021春•湖北期中）设a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．b+1a＜a+1bB．1ab2＜1a2b
C．ac2＞bc2D．a2+1a＞b2+1b
【分析】利用不等式的基本性质判断AB，利用举实例判断CD．
【解答】解：A：∵a＞b＞0，∴1a＜1b，∴b+1a＜a+1b，∴A，正确，
B：∵a＞b＞0，∴a2b＞ab2＞0，∴1a2b＜1ab2，∴B错误，
C：当c＝0时，则ac2＝bc2，∴C错误，
D：当a＝1，b=12时，则a2+1a=2，b2+1b=94，∴a2+1a＜b2+1b，∴D错误，
故选：A．
2．（2021春•合肥期末）已知x＞0，y＞0，且1x+4y=2，则x+y的最小值是（ ）
A．2B．4C．92D．9
【分析】将已知化简为12x+2y=1，然后化简x+y＝（x+y）（12x+2y）=12+2+y2x+2xy，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且1x+4y=2，
所以12x+2y=1，则x+y＝（x+y）（12x+2y）=12+2+y2x+2xy
=52+(y2x+2xy)≥52+2y2x×2xy=52+2=92，
当且仅当y2x=2xy，即x=32，y＝3时取等号，
此时x+y的最小值为92，
故选：C．
3．（2021•重庆开学）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则2a+12b的最小值是（ ）
A．1B．2C．94D．92
【分析】由已知结合基本不等式即可求解最值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝2，
∴2a+12b=12（a+b）（2a+12b）=12（2+12+2ba+a2b）≥12（52+2）=94，
当且仅当2ba=a2b，即a=43，b=23时取等号，
故2a+12b的最小值是94，
故选：C．
4．（2021春•岳阳期中）已知x＞0，y＞0，且x+3y﹣5xy＝0，则3x+4y的最小值是（ ）
A．3B．245C．5D．3
【分析】由条件可得3x+1y=5，再利用“乘1法”与基本不等式的性质，计算即可得到所求最小值．
【解答】解：∵正数x，y满足x+3y﹣5xy＝0，∴3x+1y=5，
∴3x+4y=15（3x+1y）（3x+4y）
=15（13+3xy+12yx）≥15（13+236）＝5，
当且仅当3xy=12yx，即x＝2y＝1时取得最小值为5，
故选：C．
5．（2021春•江西期中）已知x，y，z是正实数，a=x+4y，b=y+4z，c=z+4x，则a，b，c三个数一定（ ）
A．都小于4B．至少有一个不小于4
C．都大于4D．至少有一个不大于4
【分析】由基本不等式得a+b+c≥12，若若a，b，c都小于4，则a+b+c＜12，与a+b+c≥12矛盾，所以a，b，c至少有一个不小于4．
【解答】解：因为a+b+c=(x+4x)+(y+4y)+(z+4z)≥2x⋅4x+2y⋅4y+2z⋅4z=12，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．
若a，b，c都小于4，则a+b+c＜12，与a+b+c≥12矛盾，所以假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于4．
故选：B．
6．（2021秋•沙坪坝区校级月考）若x＞0，y＞0且x+y＝xy，则xx-1+2yy-1的最小值为（ ）
A．3B．52+6C．3+6D．3+22
【分析】先把x+y＝xy转化为1x+1y=1，再将xx-1+2yy-1=2x+y，根据基本不等式即可求出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y＝xy，
∴1x+1y=1，
∴xx-1+2yy-1=xy-x+2xy-2y(x-1)(y-1)=2x+yxy-x-y+1=2x+y＝（2x+y）（1x+1y）＝3+2xy+yx≥3+22xy⋅yx=3+22，
当且仅当2xy=yx，即x＝1+22，y＝1+2时取等号，
故xx-1+2yy-1的最小值为3+22，
故选：D．
7．（2021春•钦州期末）若m＝2x2+1，n＝x2+2x，p＝﹣x﹣3，则（ ）
A．n≥m＞pB．n＞m＞pC．m≥p≥nD．m≥n＞p
【分析】用m减去n得到关于x的二次多项式配方后易得出m与n的大小关系；同理可比较n与p的大小关系即可得出结果．
【解答】解：由m﹣n＝2x2+1﹣（x2+2x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，得m≥n，
又n﹣p＝x2+2x﹣（﹣x﹣3）＝x2+3x+3＝（x+32）2+34＞0，得n＞p，
所以m≥n＞p．
故选：D．
8．（2021•宁夏模拟）已知实数x，y满足﹣1≤x+y≤3，4≤2x﹣y≤9，则（ ）
A．1≤x≤3B．﹣2≤y≤1C．2≤4x+y≤15D．13＜x-y＜233
【分析】将已知等式两式相加，即可判断A；由题意可得-6≤-2x-2y≤24≤2x-y≤9，解不等式组即可判断B；由4x+y＝2（x+y）+（2x﹣y），结合已知即可判断C；由x﹣y=-13（x+y）+23（2x﹣y），结合已知即可判断D．
【解答】解：因为﹣1≤x+y≤3，4≤2x﹣y≤9，
所以两式相加，可得3≤3x≤12，
可得1≤x≤4，故A错误；
因为-6≤-2x-2y≤24≤2x-y≤9，所以﹣2≤﹣3y≤11，解得-113≤y≤23，故B错误；
因为4x+y＝2（x+y）+（2x﹣y），又﹣2≤2（x+y）≤6，所以2≤4x+y≤15，故C正确；
因为x﹣y=-13（x+y）+23（2x﹣y），又﹣1≤−13（x+y）≤13，可得83≤23（2x﹣y）≤6，所以53≤x﹣y≤193，故D错误．
故选：C．
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021秋•深圳月考）设a，b∈R且ab＞0，则下列不等式正确的是（ ）
A．a2+b2≥2abB．a+b≥2abC．1a+1b≥2abD．ba+ab≥2
【分析】作差可知A正确，由基本不等式可知D正确；举例说明B、C错误即可．
【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，故A正确；
当a＝b＝﹣1时，a+b＝﹣2，2ab=2，
故B错误；
当a＝b＝﹣1时，1a+1b=-2，2ab=2，
故C错误；
∵ab＞0，∴ba，ab＞0，
故ba+ab≥2，（当且仅当ba=ab，即a＝b时，等号成立），
故D正确；
故选：AD．
10．（2021•三元区校级模拟）已知x，y＞0，x+2y+xy﹣6＝0（ ）
A．xy的最大值为2B．x+2y的最小值为4
C．x+y的最小值为3D．x+y的最小值为42-3
【分析】根据x+2y+xy﹣6＝0可得x+2y＝6﹣xy≥22xy（当且仅当x＝2y时等号成立），令xy=t（t＞0），则t2+22t﹣6≤0，求出t的取值范围即可判断A选项；根据基本不等式可得x+2y≥22xy，则x+2y2≥2xy，所以(x+2y)28≥xy，又xy＝6﹣（x+2y），所以(x+2y)28≥6﹣（x+2y），即（x+2y）2+8（x+2y）﹣48≥0，求出x+2y的取值范围即可判断B选项；x+y＝m，则m＞0，所以y＝m﹣x，故x+2y+xy﹣6＝0可化为x+2（m﹣x）+x（m﹣x）﹣6＝0，整理后求出m的取值范围即可判断C、D选项．
【解答】解：由x+2y+xy﹣6＝0，得x+2y＝6﹣xy≥22xy（当且仅当x＝2y时等号成立），令xy=t（t＞0），则t2+22t﹣6≤0，解得0＜t≤2．
所以xy≤2，即xy≤2．所以xy的最大值为2，A正确．
由基本不等式得x+2y≥22xy，则x+2y2≥2xy，所以(x+2y)28≥xy，又x+2y+xy﹣6＝0，得x+2y＝6﹣xy，即xy＝6﹣（x+2y），
所以(x+2y)28≥6﹣（x+2y），所以（x+2y）2+8（x+2y）﹣48≥0，解得x+2y≥4或x+2y≤﹣12（舍去），当且仅当x＝2、y＝1时等号成立，
则x+2y的最小值为4，B正确．
令x+y＝m，则m＞0，所以y＝m﹣x，故x+2y+xy﹣6＝0可化为x+2（m﹣x）+x（m﹣x）﹣6＝0，整理得x2+（1﹣m）x+6﹣2m＝0，
由Δ≥0，得（1﹣m）2﹣4×（6﹣2m）≥0，即m2+6m﹣23≥0，解得m≥42-3或m≤﹣42-3（舍去），故C错误，D正确．
故选：ABD．
11．（2021春•盐城期末）若不等式m＜n与1m＞1n（m，n为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（ ）
A．m＜n＜0B．0＜m＜nC．m＜0＜nD．mn＞0
【分析】由已知两个不等式，作差检验即可．
【解答】解：由1m＞1n，可得1m-1n=n-mmn＞0，
又∵m＜n，∴n﹣m＞0，
∴m•n＞0，即m，n同号，
∴m＜n＜0或0＜m＜n，
故选：ABD．
12．（2020秋•蓬江区期末）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣4x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】把每个选项中的数代入关于x的一元二次不等式x2﹣4x+a≤0验证即可．
【解答】解：当a＝0时一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x≤0，解得0≤x≤4，有5个整数解，∴A错；
当a＝1时一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x+1≤0解得2-3≤x≤2+3，有3个整数解“1，2，3”，∴B对；
当a＝2时一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x+2≤0，解得2-2≤x≤2+2，有3个整数解“1，2，3”，∴C对；
当a＝3时一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，有3个整数解“1，2，3”，∴D对；
故选：BCD．
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021春•吕梁期末）比较大小：10-6 7-3．
【分析】利用平方求出(10+3)2＜(6+7)2，得到10+3＜7+6，再移项即可求解．
【解答】解：∵(10+3)2=13+230，(6+7)2=13+242，
∴(10+3)2＜(6+7)2，∴10+3＜7+6，
∴10-6＜7-3．
故答案为：＜．
14．（2021•山东模拟）a，b均为正实数，求2a+ba+2b+a+b2a+b的最小值为 ．
【分析】利用换元法设a+2b＝x＞0，2a+b＝y＞0，代入所求式子整理后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：设a+2b＝x＞0，2a+b＝y＞0，
解得：a=2y-x3，b=2x-y3，
所以2a+ba+2b+a+b2a+b=yx+13(x+y)y=yx+x3y+13≥2xy×x3y+13=1+233，
当且仅当yx=x3y时，等号成立．
所以2a+ba+2b+a+b2a+b的最小值为1+233．
故答案为：1+233．
15．（2021•鸡冠区校级三模）已知1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，则z＝3a﹣b的取值范围是 ．
【分析】根据条件可求出∴﹣2≤2a﹣2b≤4，进而可得出z＝3a﹣b的取值范围．
【解答】解：∵1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，
∴﹣2≤2a﹣2b≤4，
∴﹣1≤3a﹣b≤7，
∴z＝3a﹣b的取值范围是：-1≤3a﹣b≤7．
故答案为：-1≤3a﹣b≤7．
16．（2021秋•嘉兴月考）若正实数x，y满足x+2x+y+6y=10，则5y-2x的最大值是 4 ．
【分析】由题意可将已知式变形，再利用基本不等式即可求得．
【解答】解：由题意可得10＝x+(4x-2x)+y+(5y+1y)=(x+4x)+(y+1y)+(5y-2x)，
所以有5y-2x=10-(x+4x)-(y+1y)≤10-2x⋅4x-2y⋅1y=4，
当且仅当x＝2且y＝1时，5y-2x取得最大值4．
故答案为：4．
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2020秋•湖北期末）在①{1，a}⊆{a2﹣2a+2，a﹣1，0}，②关于x的不等式1＜ax+b≤3的解集为{x|3＜x≤4}，③一次函数y＝ax+b的图象过A（﹣1，1），B（2，7）两点，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
问题：已知_____，求关于x的不等式ax2﹣5x+a＞0的解集．
【分析】根据集合的关系，求得a的值，把a值代入一元二次不等式，即可求得答案．
【解答】解：选①，若1＝a2﹣2a+2，解得a＝1，不符合条件，
若1＝a﹣1，解得a＝2，则a2﹣2a+2＝2符合条件．
将a＝2代入不等式整理得（x﹣2）（2x﹣1）＞0，
解得x＞2或x＜12，故原不等式的解集为：{x|x＞2或x＜12}．
选②：
因为不等式1＜ax+b≤3的解集为{x|3＜x≤4}，
所以3a+b=14a+b=3，解得：a＝2，b＝﹣5，
将a＝2代入所要求不等式整理得：（x﹣2）（2x﹣1）＞0，
解得：x＞2或x＜12，
所以不等式的解集为{x|x＞2或x＜12}．
选③：
由题意得：-a+b=12a+b=7，解得：a＝2，b＝3，
将a＝2代入所要求不等式整理得：（x﹣2）（2x﹣1）＞0，解得：x＞2或x＜12，
所以不等式的解集为{x|x＞2或x＜12}．
18．（2020秋•天河区期末）（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；
（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．
【分析】（1）不等式化为x2﹣3x+2＜0，求解集即可；
（2）利用作差法判断大小即可．
【解答】解：（1）不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3可化为x2﹣3x+2＜0，
即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，
所以该不等式的解集为{x|1＜x＜2}；
（2）x≥1时，x﹣1≥0，
所以（2x3+1）﹣（2x+x4）＝（2x3﹣2x）﹣（x4﹣1）
＝2x（x2﹣1）﹣（x2﹣1）（x2+1）
＝（x2﹣1）（2x﹣x2﹣1）
＝﹣（x+1）（x﹣1）3≤0，
所以2x3+1≤2x+x4．
19．（2020秋•顺义区期末）已知不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M．
（1）若1∈M，求实数a的取值范围；
（2）若M={x|12＜x＜2}，求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．
【分析】（1）根据不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M，把x＝1代入求出a的取值范围．
（2）由题意知12和2是方程ax2﹣5x+2＝0的两个根，由根与系数的关系求出a的值，再求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．
【解答】解：（1）不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M，
由1∈M，所以a•12﹣5•1+2＜0，解得a＜3；
所以a的取值范围是{x|x