专题2.3 一元二次函数、方程和不等式（基础巩固卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题2.3 一元二次函数、方程和不等式（基础巩固卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一、    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2021秋•上高县校级月考）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　）

A．a2＜cd B．a﹣c＜b﹣d C．ac＞bd D．

【分析】举反例可判断选项A、B、C错误；利用作差法证明选项D正确．

【解答】解：当a＝3，c＝﹣2，d＝﹣3时，a2＞cd，故选项A错误；

当a＝3，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时，a﹣c＞b﹣d，故选项B错误；

当a＝3，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时，ac＜bd，故选项C错误；

因为a＞b＞0＞c＞d，所以0，

故0，D选项正确．

故选：D．

2．（2021春•绵阳期末）已知a＜0＜b，下列不等式错误的是（　　）

A． B．a+c＜b+c C．a2＜ab D．ac2≤bc2

【分析】由不等式的性质可依次判断选项．

【解答】解：∵a＜0＜b，∴0，故A对，

∵a＜b，∴a+c＜b+c，故B对，

∵a＜b，且c2≥0，∴ac2≤bc2，故D对，

∵a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，故a2＞ab，故C错，

故选：C．

3．（2021春•贵溪市校级期末）已知不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣2＜x＜4}，则a+b＝（　　）

A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．2

【分析】先得到方程x2+ax+b＝0的两根分别为﹣2、4，再利用根与系数的关系即可求解．

【解答】解：∵不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣2＜x＜4}，

∴方程x2+ax+b＝0的两根分别为﹣2、4，

∴，∴，

∴a+b＝﹣10，

故选：A．

4．（2021•东湖区校级开学）若0＜m＜1，则不等式（x﹣m）（x）＜0的解集为（　　）

A．{x＜m} B．{x|x或x＞m} C．{x|x＞m或x} D．{x|m}

【分析】由0＜m＜1可得m，从而即可确定不等式（x﹣m）（x）＜0的解集．

【解答】解：由0＜m＜1，得m，所以（x﹣m）（x）＜0，解得m＜x，

所以不等式（x﹣m）（x）＜0的解集为{x|x＜x}．

故选：D．

5．（2021春•吉安县期中）已知正实数x、y满足1，则x+y的最小值为（　　）

A．14 B．16 C．18 D．20

【分析】利用乘“1”法，根据基本不等式的性质即可求得答案．

【解答】解：∵x＞0，y＞0，1，

∴x+y＝（x+y）（）＝1010+216，

当且仅当y＝3x时等号成立，

故x+y的最小值为16，

故选：B．

6．（2021春•绵阳期末）若关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则实数a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3

【分析】由已知可得﹣3和1是方程ax2﹣2x+b＝0的两根，再由根与系数的关系求解．

【解答】解：∵关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，

∴﹣3和1是方程ax2﹣2x+b＝0的两根，

由根与系数的关系可得：，则a＝﹣1．

故选：B．

7．（2021春•广东期末）已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2（2x+1）+（3y+2）＝8，再将式子换元，由基本不等式换“1”法求解即可．

【解答】解：由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2（2x+1）+（3y+2）＝8，

令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，

所求

，

即，

即，当且仅当时取等号，

所以答案为，

故选：A．

8．（2021春•瑶海区月考）设a，b两个实数，能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（　　）

A．a+b＞1 B．a+b＝2 C．ab＞1 D．a+b＞2

【分析】可举反例说明选项ABC都错误，从而只能选D．

【解答】解：a＝1，b＝1时，a+b＞1，a+b＝2，∴AB都错误；

a＝﹣2，b＝﹣1时，ab＞1，∴C错误；

a+b＞2时，a，b中至少有一个大于1，即D正确．

故选：D．

二、    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2021春•万州区校级月考）使不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个非充分而条件是（　　）

A．x＜0 B．x≥0 C．x∈{﹣1，3，5} D．x或x≥3

【分析】首先解不等式的解即2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个充分必要条件，而所有不包含于这个解集的集合都是不充分条件，可按照排除法即可得到答案．

【解答】解：因为容易解得：2x2﹣5x﹣3≥0成立的充要条件是x或x≥3

所以对于A当x时不能推出2x2﹣5x﹣3≥0．非充分．

对于B当x＝2时不能推出2x2﹣5x﹣3≥0．非充分．

对于D当x＝2时不能推出2x2﹣5x﹣3≥0．非充分．

故选：ABD．

10．（2021春•渝中区校级期末）已知正数a，b满足a+2b＝1，则（　　）

A．ab有最大值 B．有最小值8 

C．有最小值4 D．a2+b2有最小值

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，，当且仅当，时取等号，则A正确；

对于B，，当且仅当时取等号，B错误；

对于C，，当且仅当时取等号，则C正确；

对于D，，故最小值为，则D正确；

故选：ACD．

11．（2021春•杭州期末）已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，则（　　）

A．b＜0 B．a+b+c＞0 C．c＞0 D．a+b＝0

【分析】根据不等式ax2+bx+c≥0的解集判断a＜0，求出a、b、c的关系，再判断选项中的命题是否正确．

【解答】解：不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，

所以a＜0且，

解得b＝﹣a，c＝﹣2a；

所以a+b＝0，选项D正确；

设二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且a＜0，

且函数的零点是﹣1和2，所以f（1）＝a+b+c＞0，选项B正确；

因为c＝﹣2a＞0，所以选项C正确；

因为b＝﹣a＞0，所以选项A错误．

故选：BCD．

12．（2021•沙坪坝区校级开学）下列不等式中解集为R的有（　　）

A．﹣x2+2x+1＜0 B． 

C．x2+6x+10＞0 D．2x2﹣3x+4＜0

【分析】找出特殊值直接判断A，D错误，利用△＜0判断B，C正确．

【解答】解：对于A：当x＝1时，不等式不成立，∴A不正确，

对于B：∵﹣x2+2x0，∴x2﹣2x0，∵△＝4﹣40，∴B正确，

对于C：∵△＝36﹣4×1×10＝﹣4＜0，∴C正确，

对于D：当x＝0时，不等式不成立，∴D不正确．

故选：BC．

三、    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2021春•修水县期末）与的大小关系为 　　．

【分析】易知1＞0，0，从而转化为比较（1）2与（）2的大小，利用作差法比较即可．

【解答】解：∵1＞0，0，

且（1）2﹣（）2＝4﹣20，

∴1，

故答案为：1．

14．（2021•河北区学业考试）已知x＞0，则x1的最小值是 　　．

【分析】先检查知满足基本不等式求最值的要求，利用基本不等式求最值即可．

【解答】解：∵x＞0，

∴x1≥21＝3，

（当且仅当x，即x＝2时，等号成立）

故答案为：3．

15．（2021•成都开学）已知正实数x，y满足x+y＝2，则的最小值为 　　．

【分析】根据题意构造，再使用均值不等式，可以得出结果．

【解答】解：（）（）2，当且仅当y2＝2x2时取等号，

故答案为：．

16．（2021•东湖区校级开学）已知关于x的不等式ax2+bx+1＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则a+2b＝　　．

【分析】根据ax2+bx+1＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则ax2+bx+1＝0的解是x＝﹣1或x＝2，代入解出即可．

【解答】解：∵ax2+bx+1＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，

∴ax2+bx+1＝0的解是x＝﹣1或x＝2，

代入得，解之得a，b，

则a+2b，

故答案为：．

四、    解答题（共6小题，满分70分）

17．（2021春•青铜峡市校级期末）已知x，y都是正数，且x+y＝1．

（1）求的最小值；

（2）求的最小值．

【分析】（1）利用“1”的代换将式子变形，再利用基本不等式求出最小值即可；

（2）先将所求式子中的1用x+y代换，展则1，从而利用基本不等式求出最小值即可．

【解答】解：（1）由x＞0，y＞0，x+y＝1，得（x+y）（）＝55+29，

当且仅当x，y时等号成立，所以的最小值为9．

（2）1，又x＞0，y＞0，所以22，

所以1+2＝3，当且仅当x，y时等号成立，

所以的最小值为3．

18．（2021•巴林右旗校级开学）回答下列问题：

（1）若不等式ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1}，求a，b的值；

（2）求关于x的不等式ax2+3x+2＞﹣ax﹣1（其中a＞0）的解集．

【分析】（1）将x＝1代入ax2+3x+2＝0求出a的值，再利用根与系数的关系求出b的值．

（2）把不等式ax2+3x+2＞﹣ax﹣1化为（ax+3）（x+1）＞0，讨论a的取值，从而求出对应不等式的解集．

【解答】解：（1）∵不等式ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1}，

∴方程ax2+3x+2＝0两根为b，1且a＜0，

将x＝1代入ax2+3x+2＝0，得a＝﹣5，

∵b×1，∴b．

（2）不等式ax2+3x+2＞﹣ax﹣1可化为ax2+（a+3）x+3＞0，

即（ax+3）（x+1）＞0，

当0＜a＜3时，1，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x}，

当a＝3时，1，不等式的解集为{x|x≠﹣1}，

当a＞3时，1，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x}，

综上所述，原不等式解集为

①当0＜a＜3时，{x|x或x＞﹣1}，

②当a＝3时，{x|x≠﹣1}，

③当a＞3时，{x|x＜﹣1或x}．

19．（2020秋•大兴区期末）已知关于x的不等式x2﹣2x﹣1＞a（a∈R）．

（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数a的范围．

【分析】（Ⅰ）a＝1时不等式化为x2﹣2x﹣2＞0，求不等式的解集即可．

（Ⅱ）利用判别式△＜0，即可求出实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，不等式为x2﹣2x﹣1＞1，可化为x2﹣2x﹣2＞0，

计算△＝4+8＝12，且不等式对应方程的两个根为1和1，

所以该不等式的解集为{x|x<1}．

（Ⅱ）不等式化为x2﹣2x﹣1﹣a＞0，因为不等式的解集为R，

所以△＜0，即4﹣4×（﹣1﹣a）＜0，解得a＜﹣2，

所以实数a的取值范围是{x|x<﹣2}．

20．（2021春•南昌期末）已知正数a、b满足a+b﹣ab＝0．

（1）求4a+b的最小值；

（2）求的最小值．

【分析】（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（），展开后结合基本不等式即可求解；

（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求．

【解答】解：（1）因为a+b﹣ab＝0，所以．又因为a、b是正数，所以，

当且仅当2a＝b＝3时等号成立，故4a+b的最小值为9．

（2）因为且a、b为正数，所以a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，

则，

当且仅当、b＝4时等号成立，故的最小值为16．

21．（2021春•广安期末）已知关于x的不等式2kx2+kx0，k≠0．

（1）若k，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．

【分析】（1）将k值代入不等式，解不等式即可，

（2）根据条件，由k≠0，可得，然后求出k的取值范围．

【解答】解：（1）因为，关于x的不等化为，即2x2+x﹣3＜0，解集为，

（2）∵关于x的不等式的解集为R，

∵k≠0，∴，解得﹣3＜k＜0，

综上，故k的取值范围为{ k|﹣3＜k＜0}．

22．（2021春•如皋市月考）已知实数x＞0，y＞0．

（1）若x+y+xy＝3，求2xy的最大值与x+y的最小值；

（2）若x＞y，求xy的最小值．

【分析】（1）由已知结合基本不等式x+y，及不等式的性质即可求解；

（2）先进行换元t＝x﹣y，t＞0，然后把x＝t+y代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．

【解答】解：（1）x＞0，y＞0，x+y+xy＝3，

又x+y，当且仅当x＝y＝1时取等号，

所以xy+23，

解得，0≤xy≤1，

所以2xy的最大值2，

又xy，

所以，当且仅当x＝y＝1时 取等号，

解得，x+y≥2，即x+y的最小值2；

（2）因为x＞y，令t＝x﹣y，t＞0，

则x＝t+y，

xy，

＝ty2y2，

4，

当且仅当ty且，即x，y时取等号，

所以求xy的最小值4．