专题4.4 函数的应用（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题4.4 函数的应用（特色专题卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021秋•河南月考）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（　　）
A．80+20n≥300 B．80+20n≤300
C．80+20（n﹣1）≤300 D．80+20（n﹣1）≥300
【分析】经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，即B≥A，即可列出不等式．
【解答】解：∵经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，即B≥A，
又∵方案A为一次性投资300万，方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万，
∴80+20（n﹣1）≥300．
故选：D．
2．（2021秋•大东区校级月考）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A．x=y-52x=y+5 B．x=y-512x=y+5
C．x=y+52x=y-5 D．x=y+512x=y-5
【分析】由绳索比竿长5尺，可得x＝y+5①，由将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，可得12x=y-5②，联立①②，即可求解．
【解答】解：∵绳索比竿长5尺，
∴x＝y+5①，
∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，
∴12x=y-5②，
由①②得符合题意的方程组x=y+512x=y-5．
故选：D．
3．（2021秋•洛阳期中）据中国地震台网测定，2021年9月16日4时33分，四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震．已知地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此测算，2021年3月20日17时09分在日本本州东岸近海发生的7.0级地震所释放出的能量，约是该次泸县地震所释放出来的能量的多少倍？（精确到1；参考数据：10≈3.16）（　　）
A．19 B．23 C．32 D．41
【分析】设泸县发生里氏6.0级地震释放出的能量为E1，泸县发生里氏6.0级地震释放出的能量为E2，则可推得lgE1=4.8+1.5×6lgE2=4.8×1.5×7，再结合指数函数和对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：设泸县发生里氏6.0级地震释放出的能量为E1，泸县发生里氏6.0级地震释放出的能量为E2，
则lgE1=4.8+1.5×6lgE2=4.8×1.5×7，即E2E1=1015.31013.8=101.5=10×10=10×3.16=31.6≈32．
故选：C．
4．（2021秋•南宁月考）某知名连锁加盟奶茶店进驻学校附近，准备在开业那天开始举行一场为期7天的促销活动，品牌方承诺7天的活动期间第x天的参与人数y与第x天满足的关系是：第x天的参与人数y与[5xx2]（[t]表示不大于t的最大整数）成正比，已知第1天有100人进店购买，则第4天进店购买的人数为（　　）
A．740 B．760 C．780 D．800
【分析】由题意可设比例系数为k，由第1天有100人进店购买，解出k＝20，再将x＝4代入上式函数，即可求解．
【解答】解：由题意可设比例系数为k，
∵第1天有100人进店购买，
∴100=k[5112]，
∴k＝20，
∴y=20[5442]=20×39=780，
故第4天进店购买的人数为780．
故选：C．
5．（2021秋•潍坊月考）某投资机构从事一项投资，先投入本金a（a＞0）元，得到的利润是b（b＞0）元，收益率为ba（%），假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投资x（x＞0）元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（　　）
A．a≥b B．a≤b C．a＞b D．a＜b
【分析】设此人第n次投资后的总收益为f（n），求出第n+1次投资后的总收益f（n+1），作差，通过该项投资的总收益率是增加的，即可确定答案．
【解答】解：设此人第n次投资后的总收益为f（n），
则f(n)=b+(n-1)xa+(n-1)x（n∈N*），
所以第n+1次投资后的总收益为f（n+1）=b+nxa+nx（n∈N*），
故f（n+1）﹣f（n）=b+nxa+nx-b+(n-1)xa+(n-1)x=(a-b)x(a+nx)[a+(n-1)x]，
因为该项投资的总收益率是增加的，
又a＞0，b＞0，
所以a＞b．
故选：C．
6．（2021秋•江苏月考）航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K•E•Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式v＝V0ln（1+Mm0）．其中，V0是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m0是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V0＝2km/s，则当火箭的最大速度v可达到10km/s时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（　　）倍
A．e5 B．e5﹣1 C．e6 D．e6﹣1
【分析】由题中的函数关系，将V0＝2km/s，v＝10km/s代入，利用对数的运算求出M=m0(e5-1)，然后求解即可．
【解答】解：由题意可知，V0＝2km/s，v＝10km/s，
代入v＝V0ln（1+Mm0），可得10=2ln(1+Mm0)，
所以ln(1+Mm0)=5，
解得1+Mm0=e5，
所以M=m0(e5-1)，
则M+m0=e5m0，
所以M+m0m0=e5，
则火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的e5倍．
故选：A．
7．（2021秋•相城区校级月考）2020年11月，我国发射了全球首颗6G试验卫星，即“电子科技大学号”卫星．6G通信技术，其信息传递的数学公式便是香农定理：C=Blog2(1+SN)．意思是：在受噪声干扰的信道中，信道容量（即最大信息传递速率）C（单位bit/s）取决于信道带宽B（HZ），平均信号功率S（瓦）、平均噪声功率N（瓦）的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，将信噪比SN从1000提升至2000，若要信道容量C变为原来的2倍，则信道带宽B需增加大约（附：lg2≈0.3）（　　）
A．34 B．45 C．911 D．910
【分析】分别求出C1，C2，然后利用C2＝2C1以及对数的运算，化简求解B2B1，从而得到B2=2011B1，再求解B2-B1B1即可．
【解答】解：当SN=1000时，C1＝B1log2（1+1000），
当SN=2000时，C2＝B2log2（1+2000），
若C2＝2C1，
则B2log2（1+2000）＝2B1log2（1+1000），
所以B2B1=2log2(1+1000)log2(1+2000)≈2log21000log22000=2×lg1000lg2lg20002=2lg1000lg1000+lg2=2lg103lg2+lg103=2×33+lg2≈63+0.3=2011，
即B2B1=2011，
所以B2=2011B1，
因为B2-B1B1=2011B1-B1B1=911，
所以信道带宽B需增加大约911．
故选：C．
8．（2021秋•顺义区校级月考）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y=0.1t，0≤t≤10(12)t10-a，t＞10（a为常数），函数图象如图所示．如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（　　）

A．9：00 B．8：40 C．8：30 D．8：00
【分析】利用函数的图象，求出函数的解析式，然后令y≤0.25，求出t的范围，即可得到答案．
【解答】解：根据函数的图象可知，函数图象过点（10，1），
则有(12)1-a=1，解得a＝1，
所以y=0.1t，0≤t≤10(12)t10-1，t＞10，
令y≤0.25，则0.1t≤0.25或(12)t10-1≤0.25，
解得0＜t≤2.5或t≥30，
所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00．
故选：A．

二． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021春•沈阳期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款A0元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为r，设小明每个月所要还款的钱数为x元，则下列说法正确的是（　　）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法”
B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法”
C．小明第一个月还款的现值为x1+r元
D．x=A0r(1+r)12(1+r)12-1
【分析】因为小明每月还款钱数相等，所以小明选择为“等额本息还款法”，所以x=A0[r(1+r)12](1+r)12-1，由题意可知小明第一个月还款的现值为x1+r．
【解答】解：因为小明每月还款钱数相等，
所以小明选择为“等额本息还款法”，
故选项A错误，选项B正确，
设小明第一个月还款的现值为M，则M（1+r）＝x，
所以M=x1+r，故选项C正确，
根据“等额本息还款法”每月还款额公式，可得x=A0[r(1+r)12](1+r)12-1，故选项D正确，
故选：BCD．
10．（2021•高州市二模）古希腊时期，人们把宽与长之比为5-12(5-12≈0.618)的矩形称为黄金矩形，把这个比值5-12称为黄金分割比例．如图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若与K间的距离超过1.5m，C与F间的距离小于11m，则该古建筑中A与B间的距离不可能是（　　）
（参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034）

A．30.3m B．30.1m C．27m D．29.2m
【分析】利用题中的条件，可设AB＝x，又由矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，分别表示出|BC|，|CF|，|FG|，|GJ|，|JK|，|KM|，即可解出．
【解答】解：设AB＝x，a≈0.618，
∵矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，
∴|BC|＝ax，|CF|＝a2x，|FG|＝a3x，|GJ|＝a4x，|JK|＝a5x，|KM|＝a6x，
由题意可得a6x＞1.5a2x＜11，解得26.786＜x＜28.796．
故选：ABD．
11．（2021春•葫芦岛期末）在庄子的《在宥》中，“鸿蒙”是创造天地元气的上古真神．在后世的神话传说中，“鸿蒙”二字引申为一个上古时期，或者说是天地开辟之前的混沌时期．我国民族品牌华为手机搭载的最新自主研发的操作系统亦命名鸿蒙．刚参加工作的郭靖准备向银行贷款5000元购买一部搭载鸿蒙系统的华为Mate40Pro5G手机，然后他分期还款．郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为0.5%，设郭靖每个月还款数为x，则下列说法正确的是（　　）
A．郭靖选择的还款方式“等额本金还款法”
B．郭靖选择的还款方式“等额本息还款法”
C．郭靖每个月还款的钱数x=5000×0.5%×(1+0.5%)24(1+0.5%)24-1
D．郭靖第3个月还款的现值为x(1+0.5%)3
【分析】根据已知条件，结合现值的概念和“等额本息还款法”的公式，即可求解．
【解答】解：∵郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱数都相等，
∴郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故B选项正确，
∵郭靖分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为0.5%，
∴由“等额本息还款法”的公式可得，x=5000×0.5%×(1+0.5%)24(1+0.5%)24-1，故C选项正确，
设郭靖第三个月还款的现值为y，则y•（1+0.5%）3＝x，
故y=x(1+5%)3，故D选项正确．
故选：BCD．
12．（2021春•河北期末）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M=lgAmaxA0（其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E＝104.8×101.5M，其中M为地震震级．下列说法正确的是（　　）
A．若地震震级M增加1级，则最大振幅Amax增加到原来的10倍
B．若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍
C．若最大振幅Amax增加到原来的100倍，则放出的能量E也增加到原来的100倍
D．若最大振幅Amax增加到原来的100倍，则放出的能量E增加到原来的1000倍
【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式和指数函数的公式，即可求解．
【解答】解：∵M'=M+1=lgAmaxA0+1=lg10AmaxA0=lgA'maxA0，
∴A'max＝10Amax，故A选项正确，
E'＝104.8×101.5（M+1）＝104.8×101.5M+1.5＝104.8×101.5M×101.5＝101.5E，故B选项错误，
M'=lg100AmaxA0=2+lgAmaxA0=2+M，E'＝104.8×101.5（M+2）＝104.8×101.5M+3＝103E，
故C选项错误，D选项正确．
故选：AD．

三． 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021秋•浙江月考）某口罩批发商在疻情期间销售口罩，口罩规格为每包100只，每包成本价10元．经过一段时间，批发商发现当以每包12元出售，每天销量800包，若每包口罩的批发价每涨1元，销售量就减少40包．当定价每包 　　元时，批发商可获得利润最大．
【分析】设每包口罩的批发价涨x元，批发商获得的利润为y元，由题意写出y关于x的函数值，再由二次函数求最值．
【解答】解：设每包口罩的批发价涨x元，批发商获得的利润为y元，
则y＝（12+x﹣10）（800﹣40x）＝﹣40x2+720x+1600．
当x＝9时，y取得最大值．
即当定价每包21元时，批发商可获得利润最大．
故答案为：21．
14．（2021秋•广州月考）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后物体的温度θ（单位：℃）．可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有52℃的物体，放在12℃的空气中冷却，2min以后物体的温度是32℃，则再经过6min该物体的温度可冷却到 　　．
【分析】由冷却2min的数据，计算出e﹣2k的值，再代入冷却6min的数据，进行运算，即可求解．
【解答】解：由题意可知，32＝12+（52﹣12）e﹣2k，解得e-2k=12，
再经过6min该物体的温度冷却到θ＝12+（32﹣12）e﹣4k＝12+20•（e﹣2k）3＝12+20×18=14.5°C．
故答案为：14.5°C．
15．（2021秋•洮北区校级月考）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为V升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为 　　．
【分析】根据题意列出不等式，即可求出V的取值范围．
【解答】解：第一次操作后，剩下的纯药液为V﹣10，
第二次操作后，剩下的纯药液为V-10-V-10V×8，
∵第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，
∴V-10-V-10V×8≤V⋅60%，解得5≤V≤40，
∵V≥10，
∴10≤V≤40，
故V的取值范围为[10，40]．
故答案为：[10，40]．
16．（2021春•岳阳期中）有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数I（t），（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=K1+e-0.23(t-53)，其中K为最大确诊病例数．当I（t0+1）＝0.95K时，标志着已初步制疫情（其中ln19≈3），则t0约为 　　．（结果保留整数）
【分析】将t＝t0+1代入函数I(t)=K1+e-0.23(t-53)，化简求出e0.23(t0-52)=19，两边取对数，即可求解．
【解答】解：∵I(t)=K1+e-0.23(t-53)，
∴I（t0+1）=K1+e-0.23(t0+1-53)=0.95K，
∴11+e-0.23(t0-52)=0.95，即 1＝0.95+0.95e-0.23(t0-52)，
∴e-0.23(t0-52)=119，即e0.23(t0-52)=19，两边取对数可得，ln19＝0.23（t0﹣52），
∴t0=ln190.23+52≈30.23+52≈65．
故答案为：65．

四． 解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021秋•上蔡县校级月考）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x（0＜x＜1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x．
（1）为使日利润有所增加，求x的取值范围；
（2）当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大，并求出最大日利润．
【分析】（1）先求得日利润y＝2 000（﹣4x2+3x+10）（0＜x＜1），根据日利润有所增加，可得y＞（60﹣40）×1 000，即可求解．
（2）根据（1）的日利润函数，利用二次函数的性质，即可求解．
【解答】解析（1）设增加成本后的日利润为y元，
y＝[60×（1+0.5x）﹣40×（1+x）]×1 000×（1+0.8x）
＝2 000（﹣4x2+3x+10）（0＜x＜1），
要保证日利润有所增加，则y＞（60﹣40）×1 000，且0＜x＜1，即﹣4x2+3x＞0，解得0＜x＜34，
所以为保证日利润有所增加，x范围是(0，34)．
（2）由（1）知日利润y＝2 000（﹣4x2+3x+10）=-8000(x-38)2+21125，
则在对称轴x=38∈(0，34)，日利润取到最大值，为21125元，
故x=38时，日利润取到最大值，为21125元．
18．（2021秋•海淀区校级期中）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．
在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m．
已知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系分别为s甲=1100v2-110v，s乙=1200v2-120v．
试判断甲、乙两车有无超速现象．
【分析】根据已知条件，结合所给函数，求出两车的车速，即可求解．
【解答】解：对甲车，令1100v2-110v=6，解得v＝30或v＝﹣20（舍去），甲车车速在限速以内，
对乙车，令1200v2-120v=10，解得v＝50或v＝﹣40（舍去），乙车车速超过限速．
故甲车车速在限速以内，乙车车速超过限速．
19．（2021秋•天宁区校级月考）某市近郊有一块400m×400m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建一个总面积为3000m2的矩形场地（如图所示）．图中，阴影部分是宽度为2m的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为Sm2．
（1）求S关于x的关系式，并写出x的取值范围；
（2）当x为何值时S取得最大值，并求最大值．

【分析】（1）设矩形场地的另一条边的长为y，可得xy＝300，2a+6＝y，即可得出面积关系式．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）设矩形场地的另一条边的长为y，则xy＝3000，即y=3000x，且7.5＜x＜400，
S＝（x﹣4）a+（x﹣6）a＝（2x﹣10）a，
∵2a+6＝y，
∴a=y2-3=1500x-3，
∴S=(2x-10)⋅(1500x-3)=3030-(15000x+6x)，（7.5＜x＜400）．
（2）S＝3030-(15000x+6x) ≤3030-26x⋅15000x=3030-2×300=2430，
当且仅当15000x=6x，即x＝50，满足7.5＜x＜400，等号成立，
故当x＝50m时，S取得最大值，其最大值为2430m2．
20．（2021春•玉溪期末）在刚刷完漆的室内放置空气净化器，净化过程中有害气体含量P单位：mg/L）与时间t（单位：h）的关系为：P＝P0e﹣kt，其中P0，k是正的常数，如果在前5h消除了10%的有害气体，那么：
（1）10h后还剩百分之几的有害气体？
（2）有害气体减少50%需要花多少时间？（精确到1h）
（参考数据：ln2≈0.6931，ln0.9≈﹣0.1054）
【分析】（1）根据已知条件，可推得P=P0e-5k=P0(1-10%)，则e﹣5k＝90%，再将t＝10代入P＝P0e﹣kt中，即可求解．
（2）根据题意可得，P0e-kt=P050%，结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得，P=P0e-5k=P0(1-10%)，则e﹣5k＝90%，
故当t＝10时，P=P0e-10k=P0(e-5k)2=P0(90%)2=P081%，
故10个小时后还剩81%的有害气体．
（2）根据题意可得，P0e-kt=P050%，
则(e-5k)15t=12，即0.915t=12，
故t=5log0.90.5=5-ln2ln0.9≈33，
故有害气体减少50%需要花33小时．
21．（2021秋•沙市区校级期中）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的关系如下：当0≤x≤4时，y=88-x；当4＜x≤10时，y＝4-12x．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．
【分析】（1）由一次喷洒4个单位的去污剂，可得空气中释放的浓度为4y=328-x，0≤x≤416-2x，4＜x≤10，分0≤x≤4，4＜x≤10两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，
所以空气中释放的浓度为4y=328-x，0≤x≤416-2x，4＜x≤10，
当0≤x≤4时，令328-x≥4，解得x≥0，所以0≤x≤4，
当4＜x≤10时，令16﹣2x≥4，解得x≤6，所以4＜x≤6，
综上所述，可得0≤x≤6，即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达6天．
（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，浓度g(x)=2(4-12x)+8a8-(x-6)=8-x+8a14-x=14-x+8a14-x-6，
因为14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，
所以g(x)=14-x+8a14-x-6≥2(14-x)×8a14-x-6=42a-6，当且仅当14-x=8a14-x，即x=14-22a时，等号成立，
令42a-6≥4，解得a≥258，
所以a的最小值为258．
22．（2021秋•新郑市月考）2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产x万件，需另投入成本为C（x）．当年产量不足60万件时，C(x)=12x2+380x（万元）；当年产量不小于60万件时，C(x)=410x+81000x-3000（万元）．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润＝销售收入﹣总成本）
（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．
【分析】（1）由利润＝销售收入﹣总成本写出分段函数的解析式即可；
（2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可．
【解答】解：（1）当0≤x＜60，x∈N+时，
L(x)=400×10000x10000-12x2-380x-150=-12x2+20x-150．
当x≥60，x∈N+时，
L(x)=400×10000x10000-410x-81000x+3000-150=2850-(10x+81000x)．
∴L(x)-12x2+20x-150，0≤x＜60，x∈N+2850-(10x+81000x)，x≥60，x∈N+．
（2）当0≤x＜60，x∈N+时，L(x)=-12(x-20)2+50，
故当x＝20时，L（x）取得最大值L（20）＝50（万元）
当x≥60，x∈N+时，L(x)=2850-(10x+81000x)≤2850-2×10×90=1050
当且仅当10x=81000x，即x＝90时等号成立．
即x＝90时，L（x）取得最大值1050万元．
综上，所以即生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1050万元．