专题5.3 三角函数的应用（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份专题5.3 三角函数的应用（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版），共23页。试卷主要包含了记录表等内容，欢迎下载使用。
专题5.3 三角函数的应用（特色专题卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021秋•海淀区期中）如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m．若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为2.2m时，下列描述正确的是（　　）
（参考数据：7π≈21.991）

A．点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m
B．点A在轮子的右下位置，距离地面约为0.15m
C．点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.26m
D．点A在轮子的右下位置，距离地面约为0.04m
【分析】由已知求出轮子滚动的水平距离为2.2m时点A转到的角的大小，即可求得答案．
【解答】解：已知轮子的半径r＝0.3m，轮子滚动一周的水平距离为2πr＝0.6πm，
又7π≈21.991，∴0.7π≈2.2，
∴0.7π﹣0.6π＝0.1π，
又0.1π0.6π=16周，∴16×2π=13π，
故A在轮子左下位置，可得轮子距地面距离h＝0.3﹣0.3cos60°=0.3×12=0.15m．
∴点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m．
故选：A．
2．（2021秋•海淀区校级月考）如图所示，有一半径为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4圈，且水轮上的点P在t＝0时刻刚刚从水中浮现，则5秒钟后点P与水面的距离是（　　）（结果精确到0.1米）

A．9.3米 B．9.9米 C．15.3米 D．15.9米
【分析】利用三角函数模型设出解析式，根据条件求解．
【解答】解：设水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间t（秒）满足函数关系式y＝Asin（ωt+φ）+6，
因为水轮半径为10，水轮的圆心与水面的距离为6米，
故P离水面的最大距离为16，
所以A＝10，
因为水轮每分钟旋转4圈，
所以T=604=15s，
所以ω=2π15，
此时解析式y＝10sin（2π15t+φ）+6，
因为t＝0时，y＝0，
代入得10sinφ+6＝0，
所以sinφ=-35．
当t＝5s时，y＝10sin（2π15×5+φ）≈15.9．
故选：D．
3．（2021秋•海淀区校级月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深值
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
已知港口的水的深度随时间变化符合函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B．现有一条货船在吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0.25m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最多能停放（　　）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
【分析】由已知表格中数据求得f（x），再由题意可得f（x）大于等于6，由此结合卸货时间即可得答案．
【解答】解：由表格中的数据可知，f（x）max＝7，f（x）min＝3，
则A=f(x)max-f(x)min2=7-32=2，B=f(x)max+f(x)min2=7+32=5，
由T＝12，∴ω=2πT=π6，
故f（x）＝2sin（π6x+φ）+5，
当x＝3时，f（x）＝7，则2sin（π2+φ）+5＝7，
∴2cosφ＝2，即cosφ＝1，得φ＝0．
∴f（x）＝2sinπ6x+5．
货船需要的安全水深为4+2＝6米，
由f（x）＝2sinπ6x+5＝6，得sinπ6x=12，即π6x=π6+2kπ或π6x=5π6+2kπ，k∈Z．
∴x＝12k+1或x＝12k+5，k∈Z．
又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，∴当k＝1时，x＝13，
即该船应在13点入港并开始卸货，4小时后为17点，此时水深为6米，
货船需要离港，则其在港口最多能停放4小时．
故选：A．
4．（2020春•焦作期中）如图为一直径为6m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点P到水面的距离y（m）与时间x（s）满足关系式y＝Asin（ωx+φ）+2（A＞0，ω＞0，y＜0表示P在水面下），则有（　　）

A．ω=π15，A＝3 B．ω=2π15，A＝3 C．ω=π15，A＝6 D．ω=2π15，A＝6
【分析】根据题意求出A的值，利用转速求周期和ω的值．
【解答】解：由题意知，水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2m，
所以A＝3；
又水轮每分钟旋转2圈，所以转一圈需要30秒，
所以T＝30=2πω，
解得ω=π15．
故选：A．
5．（2019秋•丰台区期末）音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=11000sinωt．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（　　）

A．200 B．400 C．200π D．400π
【分析】由y与t的函数关系以及函数图象求出T的值，再求ω的值．
【解答】解：由y与t的函数关系为y=11000sinωt，且14T=1800，
所以T=1200，所以ω=2πT=400π．
故选：D．
6．（2018春•厦门期末）如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式h＝2sin（t+π3）确定，下列结论正确的是（　　）

A．小球的最高点和最低点相距2厘米
B．小球在t＝0时的高度h＝1
C．每秒钟小球往复运动的次数为2π
D．从t＝1到t＝3，弹簧长度逐渐变长
【分析】由函数h＝2sin（t+π3）的图象与性质，对选项中的命题分析、判断正误即可．
【解答】解：由函数h＝2sin（t+π3）知，
小球的最高点和最低点相距4厘米，∴A错误；
小球在t＝0时的高度h＝2sinπ3=3，∴B错误；
由周期T＝2π，频率是f=12π，
∴每秒钟小球往复运动的次数为12π，C错误；
从t＝1到t＝3，1+π3≤t+π3≤3+π3，
∴弹簧长度逐渐变长，D正确．
故选：D．
7．（2017•庐阳区校级模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+π6）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则对于区间[0，π]内的任意实数x1，x2，f（x1）﹣f（x2）的最大值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据函数f（x）的部分图象求出A、ω的值，写出f（x）的解析式，再求x∈[0，π]时f（x）的最大、最小值即可．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+π6）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象知，
f（0）＝Asinπ6-1＝0，解得A＝2，
∴f（x）＝2sin（ωx+π6）﹣1；
又f（π3）＝2sin（π3ω+π6）﹣1＝1，
∴sin（π3ω+π6）＝1，
根据五点法画图知，
π3ω+π6=π2，解得ω＝1，
∴f（x）＝2sin（x+π6）﹣1；
当x∈[0，π]时，x+π6∈[π6，7π6]，
∴sin（x+π6）∈[-12，1]，
∴2sin（x+π6）∈[﹣1，2]，
∴2sin（x+π6）﹣1∈[﹣2，1]，
即f（x）∈[﹣2，1]；
∴对于区间[0，π]内的任意实数x1，x2，
f（x1）﹣f（x2）的最大值为1﹣（﹣2）＝3．
故选：B．
8．（2021•全国Ⅰ卷模拟）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点A（3，﹣33）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜π2），当t＝100时，|PA|＝（　　）

A．6 B．62 C．63 D．3（6-2）
【分析】利用点A的坐标求出圆的半径R，根据周期公式求出ω，通过三角函数解析式求出φ，再利用正弦函数的性质求出点P的坐标，即可求出|PA|的值．
【解答】解：由题意知，R=32+(-33)2=6，T＝120，
所以ω=2πT=π60，
把点A（3，﹣33）对应的t＝0，y＝﹣33代入y＝6sin（π60t+φ），
可得﹣33=6sinφ，解得sinφ=-32，
又|φ|＜π2，所以φ=-π3，所以y＝6sin（π60t-π3）；
当t＝100时，y＝6sin（π60×100-π3）＝6sin4π3=-33，
此时P的坐标为（﹣3，﹣33），
所以|PA|＝6．
故选：A．

二． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021•唐山开学）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的．已知纯音的数学模型是函数y＝Asinωt．我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x，则（　　）
A．f（x）的最大值为32
B．2π为f（x）的最小正周期
C．x=π2为曲线y＝f（x）的对称轴
D．（π，0）为曲线y＝f（x）的对称中心
【分析】对于AC，求得f′（x），在一个周期[0，2π]上，令f′（x）＞0确定增区间，f′（x）＜0确定减区间，从而判断A，C．
对于B，分别分析y＝sinx的最小正周期与y=12sin2x的最小正周期，可判断B，
对于D，把x＝π代入函数得f（π）＝0判断D．
【解答】解：A：f(x)=sinx+12sin2x=sinx+sinxcosx，
则f′（x）＝cosx+cos2x﹣sin2x＝2cos2x+cosx﹣1，
令f′（x）＝0，解得cosx=12或cosx＝﹣1，
当x∈（0，π3）或x∈（5π3，2π）时，12＜cosx＜1，此时f′（x）＞0，则f（x）在（0，π3），（5π3，2π）上单调递增，
当x∈（π3，5π3）时，﹣1≤cosx＜12，此时f′（x）≤0，但不恒为0，则f（x）在（π3，5π3）上单调递减，
则当x=π3时，函数f（x）取得最大值为f（π3）＝sinπ3+12sin2π3=334，故A错误，
B：∵y＝sinx的最小正周期是2π，y=12sin2x的最小正周期是2π2=π，
所以f(x)=sinx+12sin2x的最小正周期是2π，故B正确，
C：∵由A知，x=π3时，函数f（x）取得最大值，x=5π3时，函数f（x）取得最小值，∴C错误，
D：当x＝π时，f（π）＝sinπ+12sin2π＝0，∴D正确，
故选：BD．
10．（2021•深圳模拟）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（　　）

A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝﹣60cos（π15t）+68
C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为30
D．ヨt1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
【分析】A中，摩天轮离地面最近的距离为8米；
B中，高度h关于时间t的函数解析式是h＝﹣60cos（π15t）+68（t≥0）；
C中，在t1＜30，t2＜30时t1+t2＝30恒成立；
D中，根据高度h关于时间t的函数解析式，以及利用导数研究函数的单调性，即可求解．
【解答】解：对于A，最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，
所以摩天轮离地面最近的距离为128﹣120＝8（米），选项A错误；
对于B，以轴心Q为原点，与底面平行的直线为x轴，建立直角坐标系，
设t＝0分钟时，游客位于点P（0，﹣68），以OP为终边的角为-π2，
t＝15分钟时，旋转角度为π，所以周期T＝30，角速度为ω=2πT=π15，
在转动一周的过程中，高度h关于时间t的函数解析式是：
h＝60sin（ωt-π2）+68＝﹣60cos（π15t）+68（t≥0），选项B正确；
对于C，在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，在t1＜30，t2＜30时恒成立，
t1+t2的最小值是30，选项C正确；
对于D，h＝﹣60cos（π15t）+68（t≥0），令0≤π15t≤π，解得0≤t≤15，令π≤π15t≤30，解得15≤t≤30，
则h（t）在t∈[0，15]上单调递增，在t∈[15，20]上单调递减，
当t＝0时，h＝8，当t＝15时，hmax＝128，当t＝20时，h＝98＞90，
故h＝90在[0，20]只有一个解，选项D错误．
故选：BC．
11．（2021•南通模拟）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋．一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m．安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），如表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深．
时刻
水深/m
时刻
水深/m
时刻
水深/m
0：00
5.0
9：00
2.5
18：00
5.0
3：00
7.5
12：00
5.0
21：00
2.5
6：00
5.0
15：00
7.5
24：00
5.0
若选用一个三角函数f（x）来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（　　）
A．f(x)=2.5cos(π6x)+5
B．f(x)=2.5sin(π6x)+5
C．该货船在2：00至4：00期间可以进港
D．该货船在13：00至17：00期间可以进港
【分析】根据函数的周期算出ω=π6，由振幅的大小和平衡位置的水深得出A＝2.5，B＝5．再由x＝3时y＝7.5，达到最大值，建立关系式解出φ＝2kπ（k∈Z）从而得到函数的表达式为：y＝2.5sinπ6x+5（0≤x≤24），即可判断AB选项；根据安全间隙的规定解关于x的不等式，结合0≤x≤24，得1≤x≤5或13≤x≤17，即可判断CD选项．
【解答】解：由题意知，可得函数y＝f（x）的周期T＝12，振幅A＝2.5，B＝5，
∴ω=2π12=π6，
又∵x＝3时y＝7.5，达到最大值，
∴由7.5＝2.5sin（π6×3+φ）+5，得sin（π2+φ）＝1，
即cosφ＝1，得φ＝2kπ（k∈Z）．
∴函数的表达式为：f（x）＝2.5sinπ6x+5（0≤x≤24），故A错误，B正确；
由该船进出港时，水深应不小于4+2.25＝6.25（m），
∴当y≥6.25时，货船就可以进港，即2.5sinπ6x+5≥6.25，
∴sinπ6x≥12，得π6+2kπ≤π6x≤5π6+2kπ（k∈Z），即1+12k≤x≤5+12k（k∈Z），
结合0≤x≤24，得1≤x≤5或13≤x≤17，
即该船一天之内在港口内呆的时间段为凌晨1点到5点和下午13点到17点，停留的总时间为8小时，故C，D正确．
故选：BCD．
12．（2021秋•河北月考）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1﹣cosθ为角θ的正矢，记作 versinθ，定义1﹣sinθ为角θ的余矢，记作coversθ，则（　　）
A．函数f（x）＝versinx﹣coversx在[π4，π]上单调递增
B．若coversx-1versinx-1=2，则versin2x-covers2x-1=25
C．若g（x）＝versinx•coversx，则g（x）的最小值为0
D．若h（x）＝versin2x﹣coversx，则h（x）的最小值为-98
【分析】直接利用定义性函数和三角函数关系式的变换判断A、B、C、D选项．
【解答】解：对于A选项：因为f(x)=versinx-coversx=sinx-cosx=2sin(x-π4)，
所以f（x）在[π4，3π4]上单调递增，在[3π4，π]上单调递减，故A错误；
对于B选项：因为coversx-1versinx-1=-sinx-cosx=tanx=2，
所以 versin2x﹣covers2x﹣1＝﹣1﹣cos2x+sin2x＝﹣2cos2x+2sinxcosx=-2cos2x+2sinxcosxsin2x+cos2x=-2+2tanxtan2x+1=25，故B正确；
对于C选项：g（x）＝versinx⋅coversx＝（1﹣cosx）（1﹣sinx）＝1﹣（sinx+cosx）+sinxcosx，
令sinx+cosx=t∈[-2，2]，则sinxcosx=t2-12，
所以m(t)=t22-t+12=12(t-1)2，所以g（x）min＝m（1）＝0，故C正确；
对于D选项：因为h(x)=versin2x-coversx=-cos2x+sinx=2sin2x+sinx-1=2(sinx+14)2-98，
所以h(x)min=-98，故D正确．
故选：BCD．

三． 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021•思明区校级模拟）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则点P第一次到达最高点需要 　　秒．

【分析】求出点P距离水面的高度h和t的函数解析式，再求点P第一次到达最高点需要的时间．
【解答】解：设点P距离水面的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为h＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2），
由题意，hmax＝6，hmin＝﹣2，
∴A+B=6-A+B=-2，解得A＝4，B＝2，
∵T=2πω=60，∴ω=2πT=π30，则h＝4sin（π30t+φ）+2．
当t＝0时，h＝0，∴4sinφ+2＝0，则sinφ=-12，
又∵|φ|＜π2，∴φ=-π6．
h＝4sin（π30t-π6）+2．
令h＝4sin（π30t-π6）+2＝6，∴sin（π30t-π6）＝1，解得t＝20秒．
故答案为：20．
14．（2021•海安市开学）汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径．如图中的BC即是．已知某车在低速前进时，图中A处的轮胎行进方向与AC垂直，B处的轮胎前进方向与BC垂直，轴距AB为2.92米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC为 　　米．

【分析】由题意画出几何图形，求解直角三角形得答案．
【解答】解：如图，

由题意可知，AB＝2.92米，AB⊥AC，∠ABC＝60°，
∴BC=ABsin30°=2.9212=5.84米．
即该车的最小转弯半径BC为5.84米．
故答案为：5.84．
15．（2021秋•安徽月考）正割（secant）及余割（cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入．sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割secα=1cosα，余割cscα=1sinα．已知t＞0，且sec2x+tcsc2x≥16对任意的实数x（x≠kπ2，k∈Z）均成立，则t的最小值为 　　．
【分析】运用基本不等式求解，巧用“1”，sin2x+cos2x＝1，运用基本不等式化简（sec2x+tcsc2x）（sin2x+cos2x），即可求出t的范围．
【解答】解：sec2x+tcsc2x＝（sec2x+tcsc2x）（sin2x+cos2x）
=sin2xcos2x+t+1+cos2xsin2xt≥t+1+2t，当且仅当sin2xcos2x=cos2xsin2xt时，取等号，
∵sec2x+tcsc2x≥16
∴t+1+2t≥16
解得：t≥9或t≤﹣25（舍）
故答案为：9．
16．（2021春•广东期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示）．筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O，筒车的半径为r，筒车转动的周期为24s，如图2所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为h0，4s后盛水桶M在P1处距水面的距离为h1，若h1﹣h0=22r，则直线OP0与水面的夹角为 　　．

【分析】首先作出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角．
【解答】解：如图，过O作直线l与水面平行，过P0作P0A⊥l于A，过P1作P1B⊥1于B．

设∠AOP0=α，∠BOP1=β，β-α=424×2π=π3，
则 sinα=P0Ar，sinβ=P1Br，sinβ-sinα=P1Br-P0Ar=h1-h0r=22，
所以sin(α+π3)-sinα=22，整理得sin(α-π3)=-22，
则α-π3=-π4，即α=π12．
故答案为：π12．

四． 解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021春•郑州期中）为应对“新八国联军”在南海的挑衅，海军某部在一海滨区域进行实战演练，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时刻t（0≤t≤24）而周期性变化，为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.6
1.0
（1）从函数y＝ax+b和函数y＝Asin（ωx+φ）+b(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)中选择一个合适的函数模型，并求出函数解析式；
（2）如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内恰当的训练时间段（一般认为早上七点到晚上七点之间为白天）．
【分析】（1）作出y关于t的变化图象如下图所示，由图选择y＝Asin（ωx+φ）+b函数模型较为合适，求出A，ω，φ得到函数的解析式．
（2）由y=25sinπ6t+1≥45(0≤t≤24)，求解t的范围即可．
【解答】解：（1）作出y关于t的变化图象如下图所示，由图，
可知选择y＝Asin（ωx+φ）+b函数模型较为合适．
由图可知A=1.4-0.62=25，T＝12，b=1.4+0.62=1，则ω=2π12=π6，y=25sin(π6t+φ)+1，
由t＝0时，y＝1，
得π6×0+φ=2kπ，k∈Z，
所以φ＝2kπ，k∈Z，
又|φ|＜π2，所以φ＝0，
所以y=25sinπ6t+1(0≤t≤24)．
（2）由y=25sinπ6t+1≥45(0≤t≤24)，
得sinπ6t≥-12，则-π6+2kπ≤π6t≤7π6+2kπ，k∈Z，
得﹣1+12k≤t≤7+12k，k∈Z，
从而0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24．
所以在白天11时～19时进行训练较为恰当．

18．（2021•临汾模拟）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数y＝Acos（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，b＞0，﹣π＜φ＜π），画出函数图象，并求出函数解析式；
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
参考数据：3≈1.7．
【分析】（1）根据时间与水深关系表，即可计算；
（2）船底与水面的距离为4米，船底与洋底的距离2.2＝米，可知y≥6.2的时间段t，即可求解．
【解答】解：（1）水深和时间之间的对应关系，周期T＝12．
∴ω=2π12=π6，
可知A=6.5-2.52=2，
h=6.5+2.52=4.5．
∴f（t）＝2sin（π6t+φ）+4.5．
当t＝0时f（0）＝4.5．
即2sin（0×π6+φ）＝0．
∵﹣π＜φ＜π，结合已知条件，五点法作图可知，
φ＝0．
∴函数表达式为，f（t）＝2sinπ6t+4.5．（0≤t≤24）
（2）船底与水面的距离为4米，船底与洋底的距离2.2米，
∴y≥6.2，即2sinπ6t+4.5≥6.2
可得sinπ6t≥1.72．
∴2π3+2kπ≥π6t≥π3+2kπ，k∈Z．
解得：2≤t≤4或14≤t≤16．
故得该船2≤t≤4或14≤t≤16．能进入港口满足安全要求．
19．（2020秋•蓬江区期末）一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？

【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后结合题意和物理意义确定参数值即可求得函数的解析式；
（2）结合（1）中函数的解析式求解三角不等式即可确定有多长时间点P距水面的高度超过2米．
【解答】解：（1）如下图所示，标出点M与点N，设h＝Asin（ωt+φ）+k（t⩾0），
根据题意可知，OM＝1，ON＝OP0＝2，所以∠OP0M=∠NOP0=π6，
根据函数h＝Asin（ωt+φ）+k（t⩾0）的物理意义可知：
A=OP0=2，k=1，φ=-π6，
又因为函数 h=2sin(ωt-π6)+1(t⩾0)的最小正周期为T＝4，
所以 ω=2πT=π2，
所以可得：h=2sin(π2t-π6)+1(t⩾0)．

（2）根据题意可知，h=2sin(π2t-π6)+1＞2，即sin(π2t-π6)＞12，
当水轮转动一圈时，t∈[0，4]，可得：π2t-π6∈[-π6，11π6]，
所以此时π6＜πt2-π6＜5π6，
解得23＜t＜2，
又因为2-23=43 （秒）即水轮转动任意一圈内，有43秒的时间点P距水面的高度超过2米．
20．（2021春•恩施市校级月考）如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，-π2＜φ＜π2）．
（1）求d与时间t（单位：分钟）之间的关系式；
（2）某时刻t0（单位：分钟）时，盛水筒W在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为2米．再经过π3分钟后，问盛水筒W是否在水中？如果在，求距水面的距离，如果不在，说明理由．

【分析】（1）由图可知d的最大值为3，最小值为﹣1，由A+K=3-A+K=1，解得A，K的值，求得函数的周期，利用周期公式可求ω，依题意，可知当t＝0时，d＝0，可得sinφ=-12，结合-π2＜φ＜π2，可得φ的值，即可得解函数解析式．
（2）令2＝2sin（2t0-π6）+1，得sin（2t0-π6）=12，求解sin[2（t0+π3）-π6]的值，即可计算得解．
【解答】解：（1）由题意，d＝Asin（ωt+φ）+K，
由图可知d的最大值为3，最小值为﹣1，即A+K=3-A+K=1，解得A＝2，K＝1，
∵每π分钟转1圈，
∴函数的周期为T=2πω=π，可得ω＝2，可得d＝2sin（2t+φ）+1，
∵依题意，可知当t＝0时，d＝0，即0＝2sinφ+1，可得sinφ=-12，
由-π2＜φ＜π2，可得φ=-π6．
可得d＝2sin（2t-π6）+1．
（2）令2＝2sin（2t0-π6）+1，得sin（2t0-π6）=12，可得cos（2t0-π6）=-32，或32 （舍去），
所以sin[2（t0+π3）-π6]＝sin（2t0+π2）＝cos2t0＝cos[（2t0-π6）+π6]＝cos（2t0-π6）cosπ6-sin（2t0-π6）sinπ6=（-32）×32-12×12=-1．
所以再经过π3分钟，可得d＝2×（﹣1）+1＝﹣1＜0，
故盛水筒在水中．
21．（2020秋•福州期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|≤π2），求摩天轮转动一周的解析式H（t）；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．
【分析】（1）根据函数关系式H（t）＝Asin（ωt+φ）+B，求出A、B、φ和ω的值即可得解；
（2）令H（t）＝52，求出t∈（0，30）内的值即可；
（3）根据游客甲距离地面高度解析式H甲和乙距离地面高度解析式H乙，利用三角函数的图象计算h＝|H甲﹣H乙|的最大值即可．
【解答】解：（1）H关于t的函数关系式为H（t）＝Asin（ωt+φ）+B，
由B+A=145B-A=21，解得A＝62，B＝83，…1分
又函数周期为30，
所以ω=2π30=π15，
可得H（t）＝62sin（π15t+φ）+83，…2分
又H（0）＝62sin（π15×0+φ）+83＝21，
所以sinφ＝﹣1，φ=-π2，…3分
所以摩天轮转动一周的解析式为：H（t）＝62sin（π15t-π2）+83，0≤t≤30，…4分
（2）H（t）＝62sin（π15t-π2）+83＝﹣62cosπ15t+83，
所以﹣62cosπ15t+83＝52，cosπ15t=12，…6分
所以t＝5…8分
（3）由题意知，经过t分钟后游客甲距离地面高度解析式为H甲＝﹣62cosπ15t+83，
乙与甲间隔的时间为3036×6=5分钟，
所以乙距离地面高度解析式为H乙＝﹣62cosπ15（t﹣5）+83，5≤t≤30，…10分
所以两人离地面的高度差h＝|H甲﹣H乙|＝|﹣62cosπ15t+62cosπ15（t﹣5）|＝62|sin（π15t-π6）|，5≤t≤30，
当π15t-π6=π2，或3π2时，即t＝10或25分钟时，h取最大值为62米…12分
22．（2021春•东城区期末）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（t＝0），设∠QON＝φ，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为α．
（1）求h与t的函数解析式；
（2）当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）；
（3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h与t的函数解析式．
（参考数据：sinπ5≈0.60，sin3π10≈0.80，sin2π5≈0.86）

【分析】（1）设f（x）＝Asin（ωt﹣φ）+h，依据题意求出各参数后可得．
（2）在直角三角形AQN中计算可得．
（3）由周期变为原来的一半可得．
【解答】解：（1）由题意设f（x）＝Asin（ωt﹣φ）+h，
则A＝R=32，T＝80，
则ω=2πT=2π80=π40，
由题意sinφ=1.21.5=45，φ是锐角，所以φ=3π10，
f（t）=32sin（π40t-3π10）+h，
f（0）=32sin（-3π10）+h，h=65，
所以f（t）=32sin（π40t+3π10）+65．
（2）河水上涨0.3米，在Rt△OQN中，sin∠QON=1.2-0.31.5=35，
所以∠QON=π5=36°．
（3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半，即T＝40，
ω=2π40=π20，
所以h（t）=32sin（π20t-3π10）+65．