专题1.2 充分、必要、充要条件与集合的关系（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题1.2 充分、必要、充要条件与集合的关系（特色专题卷）

【人教A版2019】

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2020秋•汕头期末）集合A，B的关系如图所示，则“x∈B”是“x∈A”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】由韦恩图可知：A⫋B，从而得出“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．

【解答】解：由韦恩图可知：A⫋B，

∴由“x∈A”可得到“x∈B”，但是由“x∈B”得不到“x∈A”，

∴“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，

故选：B．

2．（2021春•海安市校级期末）设集合A，B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“A∩∁UB＝∅”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】结合韦恩图进行判定A⊆B⇒A∩∁UB＝∅，而A∩∁UB＝∅⇒A⊆B，从而确定出A⊆B与A∩∁UB＝∅的关系．

【解答】解：由韦恩图可知

A⊆B⇒A∩∁UB＝∅，

反之也可得出A∩∁UB＝∅⇒A⊆B

∴“A⊆B”是“A∩∁UB＝∅”的充要条件

故选：C．

3．（2021•娄底模拟）若非空集合A，B，C满足A∩B＝C，B不是A的子集，则“x∈A”是“x∈C”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】本题即判断x∈C⇒x∈A和x∈A⇒x∈C是否成立，由A∩B＝C，且B不是A的子集易判．

【解答】解：∵因为A∩B＝C，所以x∈C⇒x∈A，

反之，若x∈A，因为B不是A的子集，∴x不一定属于B，

又因为A∩B＝C，故不能得到x∈C，

所以x∈A是x∈C的必要不充分条件．

故选：B．

4．（2021春•浦城县月考）已知集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}，则“x∈A”是“x∈B”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】变形集合B＝{x|x＝6z，z∈N}＝{x|x＝3•2z，z∈N}，即可判断出集合A，B的关系．

【解答】解：∵集合B＝{x|x＝6z，z∈N}＝{x|x＝3•2z，z∈N}，

集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，

∴B⫋A．∴“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．

故选：B．

5．（2020秋•公主岭市期末）集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B可以是（　　）

A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜1}

【分析】由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B⊈A，根据选项逐个判断即可．

【解答】解：由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B⊈A，

∵{x|﹣1＜x＜1}⊈A＝{x|﹣1≤x≤1}，

∴集合B可以是{x|﹣1＜x＜1}．

故选：B．

6．（2020秋•浦东新区校级月考）定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足（A﹣B）∪（B﹣A）⊆C，则A⊆（C﹣B）∪（B﹣C）是A∩B∩C＝∅的（　　）

A．充要条件 B．充分非必要条件 

C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件

【分析】作出示意图，由于（A﹣B）∪（B﹣A）⊆C，可知两个阴影部分均为∅，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可．

【解答】解：如图由于（A﹣B）∪（B﹣A）⊆C，可知两个阴影部分均为∅，

于是A＝Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，B＝Ⅲ∪Ⅳ∪Ⅴ，C＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅴ，

（1）若A∩B∩C＝∅，则Ⅴ＝∅，

所以A＝Ⅰ∪Ⅳ，

而（C﹣B）∪（B﹣C）＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，

所以A⊆（C﹣B）∪（B﹣C）成立，

（2）反之，若A⊆（C﹣B）∪（B﹣C），

则由于（C﹣B）∪（B﹣C）＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，A＝Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，

所以（Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ）⊆（Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ），

所以Ⅴ＝∅，

所以A∩B∩C＝∅，

故A⊆（C﹣B）∪（B﹣C）是A∩B∩C＝∅的充要条件，

故选：A．

7．（2020秋•鸠江区校级月考）已知P：4x﹣m＜0，q：1≤3﹣x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为（　　）

A．{m|m≥8} B．{m|m＞8} C．{m|m＞﹣4} D．{m|m≥﹣4}

【分析】分别解出p，q不等式，根据p是q的一个必要不充分条件，即可得出．

【解答】解：因为p：4x﹣m＜0，即p：x，且q：﹣1≤x≤2，

∵p是q的一个必要不充分条件，所以{x|﹣1≤x≤2}⫋{x|x}，故2，即m＞8．

故选：B．

8．（2018秋•承德期末）已知A＝{x|x＞2m2﹣4}，B＝{x|﹣2＜x＜6}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（　　）

A．﹣1＜m＜1 B．m C．﹣5≤m D．﹣1≤m≤1

【分析】利用“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，可知B⫋A，即2m2﹣4≤﹣2，解出m的范围即可．

【解答】解：∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，

∴B⫋A；

∴2m2﹣4≤﹣2；

∴﹣1≤m≤1；

故选：D．

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.命题“方程至少有一个实数根”为真命题的充分不必要条件有

A.  B.  C.  D.

【分析】

本题考查已知方程的根求参数范围考查充分必要条件的判断，属于中档题

由题意，“方程至少有一个实数根”讨论a与0关系，得到所求．

【解答】

解：由“方程至少有一个实数根”时，满足题意；

时，只要，即；

所以命题“方程至少有一个实数根”的等价命题为，

所以它的充分不必要条件为的真子集．

故选AB．

10.若“或”是“”的必要不充分条件，则实数k的值可以是     

A.  B.  C. 1 D. 4

【分析】

本题考查根据充分、必要条件求参数的范围，属于基础题．

由题意得，或，即可得参数k的取值范围．

【解答】

解：若“或”是“的必要不充分条件，

则或，

所以或，

解得或，

结合选项知实数k的值可以为，1，4．

故选ACD．  

11.p是q的必要条件的是

A. p：，q：

B. p：，，q：

C. p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形

D. p：，q：关于x的方程有唯一解

【分析】

根据充分条件，必要条件的定义判断即可．

本题考查了充分条件，必要条件的定义以及应用，属于基础题．

【解答】

解：对于A，p：，q：，推不出q，q推不出p，p是q的既不充分也不必要条件；

对于B，p：，：；但q推不出p，故p是q的充分不必要条件；

对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；

反之，若“四边形是正方形”成立“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要条件；

对于D，p：：关于x的方程有唯一解，故p是q的充分必要条件；

故选：CD．

12.已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是   

A.  B.  C.  D.

【分析】

本题考查集合间的运算，考查充分条件、必要条件，属于基础题．

解题时，先由求出m的取值范围，再利用充分不必要条件的定义求解即可．

【解答】

解：集合，集合，，

则由充分必要条件的判断方法知：A选项为的一个充要条件；B选项为的一个充分不必要条件；

C选项为的必要不充分条件；D选项为的一个充分不必要条件．

故选BD．

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围是____．

【分析】

根据“”是“”的充分不必要条件，得出，即可解得a的取值范围．

本题考查了利用充分、必要条件的定义求参数取值范围问题，需要转化为集合关系解答，属于基础题．

【解答】

解：“”是“”的充分不必要条件，

，

，

故实数a的取值范围是．

故答案为：．  

14.若“”是“”的充分条件，则          ．

【分析】

本题考查充分条件的定义，注意分析是方程x2的根，属于基础题．

根据题意，由充分条件的定义可得是方程的根，将代入方程计算可得c的值，即可得答案．

【解答】

解：因为“”是“”的充分条件，

所以是方程的根，所以，即．

故答案为：0．

15.已知集合，若“”是“不等式成立”的充分条件，则实数a的最大值为________________．

【分析】

本题考查充分条件设，由”是“不等式成立”的充分条件，可得，由此求得a的范围．

【解答】

解：，

设，

因为“”是“不等式成立”的充分条件，

所以，

所以，解得：，

所以a的最大值为3．

故答案为3．  

16.已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是__________．

【分析】

本题考查了方程的解法、集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

条件，条件，根据p是q的必要条件，可得因此，或，分类讨论即可得出．

【解答】

解：条件，

条件，

是q的必要条件，，

，或，，

时，满足题意，

时，

若，则，解得，

若，则，解得，

综上可得：m的取值集合是：．

故答案为：．

四． 解答题（共6小题，满分70分）

17.在；““是“”的充分不必要条件；这三个条件中任选一个，补充到本题第Ⅱ问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

Ⅰ当时，求；

Ⅱ若_______，求实数a的取值范围．

【答案】解：Ⅰ当时，集合，，

所以；

Ⅱ若选择，则，

因为，所以，

又，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是．

若选择，““是“”的充分不必要条件，则，

因为，所以，

又，

所以，且等号不能同时取得，

解得，

所以实数a的取值范围是．

若选择，，

因为，，

所以或，

解得或，

所以实数a的取值范围是{a|或}．

【解析】本题考查了一元二次不等式的解法，交集、并集的定义及运算，分类讨论的数学思想，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．

Ⅰ当时，得出集合A，然后根据并集的定义进行求解即可；

Ⅱ若选条件，可得出，然后建立不等式，解出a的范围．

选择条件可得出，然后建立不等式，解出a的范围．

选择条件，根据，建立不等式，解出a的范围．

18.设集合，．

用列举法表示集合A；

若是的充分条件，求实数m的值．

【答案】解：，

即或，

所以

若是的充分条件，则，

，

解得或，

当时，，满足；

当时，，同样满足，

所以或．

【解析】本题主要考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系．

解方程即可求出集合中的元素，进而求出集合

由题意可知：，根据集合A中的元素即可求解．

19.已知集合，集合．

若，求实数m的取值范围；

命题p：，命题q：，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】解：当时，，可得，满足，符合题意．

当时，若，则 或

解得：或无解，

综上所述：所以若，实数m的取值范围为：．

命题p：，命题q：，若p是q的充分条件，则，

所以，解得，

所以实数m的取值范围为．

【解析】本题考查了集合关系中的参数取值问题、交集及其运算和充分条件，是中档题．

分和两种情况求解即可；

若p是q的充分条件，则，所以，解出即可．

20.已知集合，集合

  若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围；

  是否存在实数m，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】解：根据题意，得．

由题意可知，

由，

则，

解得．

所以实数m的取值范围是．

假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，

所以，即，

则，且等号不能同时成立，此时不等式组无解．

故不存在实数m，使得是的必要不充分条件．

【解析】本题考查充分、必要、充要条件与集合的关系．

根据充分不必要条件可得进而求出结果；

假设存在实数m满足条件，则即，且等号不能同时成立，进而求出结果．

21.设集合，集合．

若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围；

若命题“中只有一个整数”是真命题，求实数m的取值范围．

【答案】解：因为“”是“”的必要条件，

所以““是““的充分条件，

所以，

故或，

解得，

综上可知，实数m的取值范围为；

因为，

所以或，

又中只有一个整数，

故，即，解得，

又这个整数必定是，

故，

所以，

所以实数m的取值范围为．

【解析】本题考查了集合关系中的参数取值问题．

“”是“”的必要条件，等价于，据此列式可得；

由中只有一个整数可得，这个整数只能是，建立m的不等式，求解即可．

22.已知命题p：方程有两个正根为真命题．

求实数m的取值范围；

命题q：，是否存在实数a使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数a取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】解：命题p：方程有两个正根为真命题．

由可得，

所以

解得

是的充分不必要条件

是p的充分不必要条件

设集合，集合，

即，

当时，，解得，符合题意；

当时，，无解

综上所述，实数a取值范围为．

【解析】本题考查一元二次方程和必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于中档题．

解方程，再由其两根均为正数列不等式求解即可；

由是的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，分和两种情况即可求解．