人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试同步测试题

第五章 三角函数 综合培优提升卷

一、单选题

1．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，给出下列命题：

①，都有成立；

②存在常数恒有成立；

③的最大值为；

④在上是增函数.

以上命题中正确的为（    ）

A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①②④

3．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（    ）

A．4 B． C．2 D．

4．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称 （弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

5．对于函数，给出下列四个命题：

①该函数的值域为；

②当且仅当时，该函数取得最大值；

③该函数是以为最小正周期的周期函数；

④当且仅当时，.

上述命题中正确命题的个数为

A． B． C． D．

6．若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到的图象，则函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

8．已知函数.若存在满足，且 ，则的最小值为

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知函数（其中）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则下列判断正确的是（    ）

A．函数中

B．直线是函数图象的一条对称轴

C．点是函数的一个对称中心

D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为

10．如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（    ）

A．转动后点距离地面

B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的

C．第和第点距离地面的高度相同

D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为

11．对于函数，下列四个结论正确的是（    ）

A．是以为周期的函数

B．当且仅当时，取得最小值-1

C．图象的对称轴为直线

D．当且仅当时，

12．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ）

A．

B．函数在上为增函数

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．是函数图象的一个对称中心

三、填空题

13．函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)

①图象C关于直线x＝对称；

②图象C关于点对称；

③函数f(x)在区间内是增函数；

④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．

14．已知函数，，若，， ，则的取值范围是__________.

15．现有下列命题：

①存在，使得；

②存在，使得；

③对于任意的，都有；

④.

其中，假命题是___________.（选填序号）

16．已知函数的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则当时，函数的最小值为______.

四、解答题

17．已知函数

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在区间上的最大最小值及相应的值.

18．已知函数.

（1）求满足的实数的取值集合；

（2）当时，若函数在的最大值为，求实数的值.

19．已知函数 .

(1) 求的最小正周期和单调递增区间；

(2) 若关于的方程在上有解,求实数的取值范围.

20．若 的最小值为 .

（1）求 的表达式；

（2）求能使 的值，并求当 取此值时，的最大值.

21．设函数，其中.已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.

22．设函数=Asin（A>0，>0，<≤）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．

（1）求的解析式；

（2）求函数 的值域．

参考答案

1．C

【解析】由题意，，所以，故①正确；

为偶函数，故②错误；当

时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有

成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为

，故④正确.

故选：C.

2．D

【解析】①，为奇函数，正确；

②，为周期函数，正确；

③，令，则，令，得，且为最大值，错误；

④当时，，所以在上为增函数，正确.

故选：D.

3．D

【解析】解：把代入

故选：

4．D

【解析】解：由题意，作出示意图得

点为弦的中点，则，设，设该圆的半径为，

∴，∵，∴，

由题意，“弦”指，“矢”指，

∵该弧田的面积为，

∴，

即，解得，或（舍去），

∴，解得，

∴，∴，

故选：D．

5．A

【解析】由题意可知，

对于命题③，，，则，所以，函数不是以为周期的周期函数，命题③错误；

由于，

所以，函数是以为周期的周期函数.

作出函数在区间上的图象如下图（实线部分）所示：

由图象可知，该函数的值域为，命题①错误；

当或时，该函数取得最大值，命题②错误；

当且仅当时，，命题④正确.

故选：A.

6．B

【解析】将函数图像上的每一个点都向左平移个单位，

得到的图像，

故本题即求的减区间，令，

解得，

故函数的单调递增区间为，

故选：B.

7．A

【解析】的周期，

，，

，

是奇函数，

关于对称，

，

解得：，

，

，

即，

，

，

，

当时，，

由图象可知若满足条件，，

解得：.

故选：A

8．B

【解析】由正弦函数的值域，可知，

因为，所以等号不可能同时成立，

所以 ，

解得，又因为，所以，

故选B.

9．ACD

【解析】解：函数（其中，，的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，

则，

，

进一步解得，，故A正确．

由于函数（其中，，的图象关于点成中心对称，

，

解得，

由于，

当时，．

．

对于B：当时，，故B不正确；

对于C：由，，解得，，

当时，对称中心为：，故C正确；

对于D：由于：，

则：，

函数的图象与有6个交点．

根据函数的交点设横坐标从左到右分别为、、、、、，

由，，解得，，

所以，，，

所以

所以函数的图象的所有交点的横坐标之和为，故D正确．

正确的判断是ACD．

故选：ACD．

10．AC

【解析】解：摩天轮转一圈，

在内转过的角度为，

建立平面直角坐标系，如图，

设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角，

以轴正半轴为始边，为终边的角为，

即点的纵坐标为，

又由题知，点起始位置在最高点处，

点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：

即

当时，，故A正确；

若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误；

第点距安地面的高度为

第点距离地面的高度为

第和第时点距离地面的高度相同，故C正确；

摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于，

即，

即，，

得，

或，

解得或，

共，故D错误．

故选：AC．

11．CD

【解析】解：函数的最小正周期为，

画出在一个周期内的图象，

可得当，时，

，

当，时，

，

可得的对称轴方程为，，

当或，时，取得最小值；

当且仅当时，，

的最大值为，可得，

综上可得，正确的有．

故选：．

12．BD

【解析】，

，
，故A不正确；

当时， 是函数的单调递增区间，故B正确；

当时，，，所以不是函数的对称轴，故C不正确；、

当时，，，所以是函数的一个对称中心，故D正确.

故选：BD

13．②③

【解析】因为f(x)＝3sin

对于①：由得：，

所以f(x)＝3sin的对称轴方程为：，

令，解得：，故①错误；

对于②：因为，

所以图象C关于点对称；故②正确；

对于③：令，

解得：，

所以f(x)的递增区间为，

当k=0时，是f(x)的一个递增区间，故③正确；

对于④：y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到，故④错误.

故答案为：②③

14．

【解析】解：记在区间上的最小值为，在区间的最大值为，由题意可知.

由，可得，

由，可得，

由，得解之，得或，

所以，的取值范围是.

故答案为：.

15．①④

【解析】①对任意，，故错误；

②取，则，

所以此时成立，故正确；

③任意的，，所以，故正确；

④取，，，故错误；

故答案为：①④.

16．

【解析】由题意可得，设函数的最小正周期为，则，得，

，此时，.

因为函数的图象关于直线对称，则，

，，，，则.

，，

因此，函数在区间上的最小值为.

故答案为：.

17．(1)；(2)当时，；当时，．

【解析】（1）

所以的最小正周期是

（2）因为，

所以，

所以

当时，

当时，

18．（1），（2）或.

【解析】（1），

由,得，.

（2），

令，则，

∴，

∵，由得，

∴.

①当，即时，，由，得

解得或（舍）

②当，即时，在处，由得.

因此或.

19．(1)，单调递增区间为.(2).

【解析】(1)

，

最小正周期，

函数的单调递增区间满足：，

解得的单调递增区间为.

(2)，所以，

，

所以的值域为.

而，所以，即.

点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：

第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．

第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．

第三步：求出所求函数的值域(或最值)．

20．（1）；（2）的最大值为

【解析】（1）

若，即，则当时，有最小值，；

若，即，则当时，有最小值，

若，即，则当时，有最小值，

所以；

（2）若，由所求的解析式知或

由或（舍）；由（舍）

此时，得，所以时，，此时的最大值为.

21．(Ⅰ) .

(Ⅱ) .

【解析】（Ⅰ）因为，

所以

由题设知，

所以，.

故，，又，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以.

因为，

所以，

当，

即时，取得最小值.

22．（1）=2 sin（2x+）；（2）（，]

【解析】解：（1）由题意可得：f（x）max＝A＝2，，

于是，

故f（x）＝2sin（2x+φ），

由f（x）在处取得最大值2可得：（k∈Z），

又﹣π＜φ＜π，故，

因此f（x）的解析式为．

（2）由（1）可得：，

故

，，

令t＝cos2x，可知0≤t≤1且，

即，

从而，

因此，函数g（x）的值域为．