高中人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质本章综合与测试练习

第三章 函数的概念与性质 综合培优提升卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．已知二次函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且函数图象截x轴所得的线段长为8，则函数y＝f(x)的零点为(　　)

A．2，6 B．2，－6

C．－2，6 D．－2，－6

2．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

3．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．

A． B． C． D．

4．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

5．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（    ）．

A． B．

C． D．

6．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为

A． B． C． D．

7．设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）

C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）

8．若函数的值域为，则的取值范围是

A． B． C． D．

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．设函数的定义域为，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数为的“p界函数”，若给定函数，，则（    ）

A． B．

C． D．

10．几位同学在研究函数时给出了下面几个结论，其中正确的是（    ）

A．函数的值域为

B．若，则一定有

C．在上单调递增

D．若规定，且对任意的正整数n都有，则对任意的恒成立

11．已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（     ）

A．在上为减函数 B．的最大值是1

C．的图象关于直线对称 D．在上

12．德国数学家狄里克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805～1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（          ）

A． B．的值域为

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

14．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则______．

15．已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.

16．已知函数，则不等式的解集为______.

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．(1)已知，求；

(2)如果，则当且时，求；

(3)已知是一次函数，且满足，求；

(4)已知函数的定义域为，且，求．

18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

19．函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.

（1）求，的值；（2）判断的单调性并加以证明；（3）求在，上的值域.

20．设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且x>1时，f(x)>0.

(1)求f()的值；

(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；

(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.

21．已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设，

(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式;

(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;

(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小.

22．已知函数，且．

（）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．

（）证明函数为上是增函数．

（）求函数在区间上的最大值和最小值．

参考答案

1．C

【解析】由于函数满足，所以为二次函数)的对称轴，根据二次函数图象的性质，图象与轴的交点必关于对称．而两交点间的距离为8，则必有.故交点坐标为 和，则函数的零点为

－2，6.

故选C.

2．D

【解析】由f(x)为奇函数可知，

＝<0.

而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.

当x>0时，f(x)<0＝f(1)；

当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．

又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．

所以0<x<1，或－1<x<0. 选D

3．D

【解析】 是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.

4．C

【解析】因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

5．A

【解析】由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.

点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行

6．B

【解析】是定义在上的偶函数，

，即，

则函数的定义域为

函数在上为增函数，

故两边同时平方解得，

故选

7．B

【解析】

当时，，则

当时， ， ，有或，则，

综上可知：x0的取值范围是或.选B.

8．D

【解析】由值域为，可知取遍上的所有实数，

当时，能取遍上的所有实数，只需定义域满足.

当时，要保证能取遍上的所有实数，需，

解得，所以，

故选：D.

9．ACD

【解析】，，根据题意，令，所以，所以，，故A正确；

，，故B不正确；

，，故C正确；

，，故D正确.

故选：ACD．

10．BCD

【解析】当时，，且在上单调递增，

当时，，且在上单调递增，

当时，以．

对任意的，，所以是奇函数，故A错误，B，C正确，

因为，，……，

所以，故D正确．

故选：BCD．

11．BCD

【解析】因为当时，，则函数在上递减，

又函数是偶函数，所以在上为增函数；故A错；

因为函数是偶函数，是奇函数，

所以，，则，

所以，则，即，

所以以为周期；

则，所以关于直线对称，

因此当时，；

当时，，则，又，所以；

因为偶函数关于轴对称，所以当时，；

综上，当时，；

又是以为周期的函数，所以，，则，故B正确；

因为，函数为偶函数，

所以，因此，所以的图象关于直线对称；即C正确；

因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数，

所以在上也满足恒成立；故D正确；

故选：BCD.

12．ABCD

【解析】为无理数    ，正确；

有理数和无理数构成了全体实数    的值域为，正确；

若为有理数，则为有理数，则

若为无理数，则为无理数，则

的图象关于直线对称，正确；

同理可证得

的图象关于直线对称，正确.

故选：

13．

【解析】因为，不等式恒成立，则，

，

作出函数的图象如图：

由图知：的最大值为，

所以，

所以实数的取值范围是，

故答案为：

14．1

【解析】由题知，奇函数的周期为4，，

，，又，则，

，，

则，

故答案为：1

15．

【解析】由题易知，即，

所以，

又，

所以.

下证时，在上最大值为3.

当时，，;

当，若，即，

则，满足;

若，即，

此时，

而，满足;

因此，符合题意.

16．；

【解析】解：因为

当时，，在上单调递增，

因为

所以，解得，即

故答案为：

17．(1) (或)； (2) ； (3) ； (4) 。

【解析】解：(1) ，

当时，，

当时，，

∴(或)．

(2)∵，

∴．

(3)设则，

，

故，

∴，，

∴.

(4)∵  ①

用替换①式中的x得②

把②代入①式可得，

即.

18．（1）

（2）3333辆/小时

【解析】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b

再由已知得，解得

故函数v（x）的表达式为

（2）依题并由（1）可得

当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200

当20≤x≤200时，

当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．

所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．

综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

答：（1）函数v（x）的表达式

（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

19．（1）f (1)=1，f (4)=3；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）.

【解析】（1）可令时，=-；

令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）；

（2）函数在上为增函数.

证明：当时，有，

可令，即有，则，

可得，

则在上递增；

（3）由在上为增函数，可得在递增，

可得为最小值，为最大值，

由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，

则的值域为.

20．（1）-1 ； （2）见解析； （3）{x|}．

【解析】(1)对于任意x，y∈R都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，

∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.

当x＝2，y＝时，有f(2×)＝f(2)＋f()，

即f(2)＋f()＝0，又f(2)＝1，∴f()＝－1.

(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：

设0<x1<x2，则f(x1)＋f()＝f(x2)，

即f(x2)－f(x1)＝f()．

∵>1，故f()>0，

即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

(3)由(1)知，f()＝－1，∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f()

＝f( (8x－6))＝f(4x－3) 

∴f(2x)>f(4x－3)，

∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴

解得解集为{x|}．

21．(1).(2).(3) F(m)+F(n)>0.

【解析】(1)∵，

∴b=a+1.

∵f(x)≥0对任意实数x恒成立，

∴，

解得a=1．

∴f(x)=x2+2x+1.

故．

(2)由(1)知f(x)=x2+2x+1，

∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1．

由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数可得或，

解得k≤-2或k≥6．

故k的取值范围为．

(3)∵f(-x)=f(x)，

∴f(x)为偶函数，

∴b=0．

又a>0,

∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数．

对于F(x),当x>0时，；

当x<0时,，

∴,且F(x)在区间[0,+∞)上为增函数，

∴在上为增函数．

由mn<0,知m,n异号,不妨设m>0,n<0,

则有m>-n>0，

∴，

∴．

22．（）在定义域上为奇函数；（）见解析；（）在上最大值为，最小值为.

【解析】（1）先将f（1）=2代入，求出a的值代入后再判断函数的奇偶性，并用定义证明；（2）利用定义法求函数的单调性；（3）结合第（2）问单调性的结果，判断该函数在[2，5]上的单调性，再求最值．

（）∵，

，

∴，

∴，

，

∴在定义域上为奇函数．

（）证明：设，

∵，，，，

∴，

，

∴在为增函数．

（）∵在单调递增在上，

，

．