高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率本章综合与测试单元测试习题

第五章 统计与概率 核心素养定心卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（    ）．

A． B． C． D．

2．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与19s之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13s且小于14s;第二组，成绩大于等于14s且小于15s；……；第六组，成绩大于等于18s且小于等于19s.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17s的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15s且小于17s的学生人数为，平均成绩为，则从频率分布直方图中可分析出，，的值分别为（    ）

A．90%，35，15.86 B．90%，45，15.5

C．10%，35，16 D．10%，45，16.8

3．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ）

A． B．

C． D．

4．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（    ）

A．成绩在分的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000

C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分

5．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：

其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A．中位数 B．平均数

C．方差 D．极差

7．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 的长方体框架，一个建筑工人欲从处沿脚手架攀登至 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（　　）

A． B． C． D．

8．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（    ）

A．如果，那么，

B．如果与互斥，那么，

C．如果与相互独立，那么，

D．如果与相互独立，那么，

10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ）

A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为

B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为

C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为

D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是

11．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（    ）

A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨

B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌

C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大

D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快

12．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 则其中正确命题的序号是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是______．

14．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为________．

15．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.

①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.

16．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为____

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．某果园的果农现从该果园的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量（单位：g）分别在，，，，，中，其频率分布直方图如图所示．

（1）已知按分层随机抽样的方法从质量在，的蜜柚中抽取了5个，现从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚的质量均小于2000g的概率．

（2）以各组数据的中间值为代表，以频率代表概率，已知该果园有5000个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案：

方案一：所有蜜柚均以30元/kg收购；

方案二：低于2250g的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250g的以80元/个收购．

请你任选择一种方案计算收益．

18．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.

（1）记事件为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”.求；

（2）记事件为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：.

19．若一正四面体的四个面分别写上数字1，2，3，4，设m和n是先、后抛掷该正四面体得到的底面上的数字，用X表示函数零点的个数．

（1）求的概率；

（2）求在先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率．

20．某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；

（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？

（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.

21．甲､乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队人.随机播放一首歌曲， 参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分， 假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.

(1)若比赛前随机从两队的个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率;

(2)用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望;

(3)求两队得分之和大于4的概率.

22．某校设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关,第二关,第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得5个学豆,10个学豆,20个学豆的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部学豆归零,游戏结束.设选手甲第一关,第二关,第三关闯关成功的概率分别为,,,选手选择继续闯关的概率均为,且各关之间闯关成功与否互不影响.

(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率;

(2)求该选手所得学豆总个数不少于15的概率.

参考答案

1．B

【解析】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:：

、、，齐王获胜三局；

、、，齐王获胜两局；

、、，齐王获胜两局；

、、，齐王获胜两局；

、、，田忌获胜两局；

、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为

故选：B

2．A

【解析】由频率分布直方图可得，

，，

第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，

第四组的频率为，第五组的频率为，第六组的频率为，

则，

即.

故选:A

3．A

【解析】由题意，可得，

设收集的48个准确数据分别记为，

则

，

，所以．

故选:A．

4．D

【解析】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；

由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；

由频率分布直方图可得：平均分等于，故C正确；

因为成绩在的频率为，由的频率为，所以中位数为，故D错误．

故选D．

5．A

【解析】由表知空气质量为优的概率是，

由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，

所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率，

故选：A

6．A

【解析】设9位评委评分按从小到大排列为．

则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，

中位数仍为，A正确．

②原始平均数，后来平均数

平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确

③

由②易知，C不正确．

④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．

7．B

【解析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，

所以一共要走次向上，次向右，次向前，一共次，

所以最近的行走路线共有：，

因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是次向右和次向前全排列，

接下来，就是把次向上插到次不向上之间的空当中，个位置排三个元素，也就是，

则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有种，

所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率，故选B．

8．A

【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，

则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；

新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；

新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；

故选A.

点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.

9．BD

【解析】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；

B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；

C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；

D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.

故选：BD.

10．AC

【解析】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确；

对于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确；

对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确；

对于D,易得,即,

即,∴,又,

∴,∴,故D错误

故选AC

11．ABD

【解析】对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；

对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；

对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；

对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.故选ABD.

12．ABD

【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，

①从中任取3球，恰有一个白球的概率是故正确；

②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故正确；

③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；

④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为，故正确.

故选：ABD.

13．

【解析】解：设事件表示“甲射击一次命中目标”，事件表示“乙射击一次命中目标”，则，相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：

①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中，

此时的概率为；

②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率为．

故停止射击时，甲射击了两次的概率是．

故答案为：.

14．9

【解析】由事件A，B互为对立事件，其概率分别P(A)＝，

P(B)＝，且x>0，y>0，所以P(A)＋P(B)＝＋＝1，

所以

，

当且仅当x＝6，y＝3时取等号，所以x＋y的最小值为9.

故答案为：9

15．①④

【解析】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，

事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”，

“取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”，

①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；

②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；

③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；

④，（C），（E），，

从而（C）（E），故④正确；

⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．

故答案为：①④．

16．

【解析】这位考生三门科目考试成绩都不是A的概率为，

所以这位考生至少得1个A的概率为

故答案为：

17．

（1）

（2）选方案一，收益为元；选方案二，收益为元．

18．（1）；（2）证明见解析.

【解析】解：（1）记这3个红球为，2个白球记为，则从袋中一次摸出2个球的所有基本事件为：，，，，，，，，，共10个，其中满足事件的基本事件有6个，所以.

（2）从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25个，满足事件的基本事件有12个，所以.

从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个，满足事件的基本事件有12个，所以.

因此：，

又，所以.

19．（1）；（2）．

【解析】（1）由题意，设基本事件空间为，则

，则Q中共有16个基本事件；

设函数零点的个数为0个时为事件A，则

且，即

，则A中有9个基本事件；

所以的概率．

（2）设先后两次出现的点数中有数字3为事件D，则

，故D中有7个基本事件，

设先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的事件为E，则

，E中有3个基本事件，

所以先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率为．

20．（1），；（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；（3）.

【解析】解：（1）由题设可知，，.

（2）因为第1，2，3组共有人，

利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，

所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人.

（3）设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：

，

共15种可能.

其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，

所以至少有1人年龄在第3组的概率为.

21．(1);(2)分布列见解析，;(3)

【解析】(1)个选手中抽取两名选手共有种结果，

抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，

共有:种结果

用表示事件:“从两队的个选手中抽取两名选手，

求抽到的两名选手在同一个队.”

故从两队的个选手中抽取两名选手进行示范，

抽到的两名选手在同一个队的概率为

(2)由题意知，的可能取值为，且

的分布列为:

的数学期望.

(3)用表示事件:“两队得分之和大于”，

包括:两队得分之和为，两队得分之和为，

用表示事件:“两队得分之和为”，

包括甲队分乙队分和乙队分甲队分.

用表示事件:“两队得分之和为”，甲队分乙队分，

22．(1)  (2)

【解析】(1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则，互斥.

，，，

所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为.

(2)由题意得该选手所得学豆总个数可能为0，5，15，35，

且“该选手所得学豆总个数为15”的概率为，

“该选手所得学豆总个数为35”的概率为.

所以“该选手所得学豆总个数不少于15”的概率为.