高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用本章综合与测试单元测试达标测试

第八章 函数应用 核心素养优选卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．已知的值域为，则实数（    ）

A．4或0 B．4或 C．0或 D．2或

4．函数在区间上的所有零点之和为（    ）

A．0 B． C． D．

5．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（    ）

A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点

C．当时，有4个零点 D．当时，有3个零点

6．函数，若函数有3个不同的零点，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当点P沿着路径A—B—C—M(不包含A，M点)运动时，△APM的面积y关于点P经过的路程x的函数y＝f(x)的图像的大致形状为（    ）

A． B．

C． D．

8．一种放射性元素最初的质量为，按每年衰减．则这种放射性元素的半衰期为（    ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到，已知，）

A． B． C． D．

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，f（x）是减函数，则下列四个命题中正确的是（    ）

A．

B．直线为函数图象的一条对称轴

C．函数f(x)在区间[-2，7]上存在2个零点

D．若在区间[－4，0]上的根为，，则

10．关于函数，下列描述正确的有（    ）

A．函数在区间上单调递增

B．函数的图象关于直线对称

C．若，但，则

D．函数有且仅有两个零点

11．已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ）

A．函数的零点的个数为2

B．实数的取值范围为

C．函数无最值

D．函数在上单调递增

12．某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（    ）

A．60 B．80 C．100 D．120

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数不存在零点，则的取值范围是______．

14．设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是_________．

15．已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．

16．已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______.

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已逐步达到世界一流水平．设火箭推进剂的质量为M（单位：t），去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m（单位：t），火箭的飞行速度为v（单位：），初始速度为（单位：），已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：，其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度．假设，，

（参考数据：，，，）．

（1）若，当火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度（）、第二宇宙速度（）、第三宇宙速度（）时，求相应的M；（精确到小数点后一位）

（2）如果希望火箭飞行速度达到，但火箭起飞质量的最大值为，请问的最小值为多少？（精确到小数点后一位）

18．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.

（1）写出年利涧L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

19．已知二次函数的图象与直线只有一个交点，满足且函数是偶函数．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若对任意恒成立，求实数m的范围；

（3）若函数恰好三个零点，求k的值及该函数的零点．

20．2019年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产(百辆)新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完．

（1）求2019年的利润（万元）关于年产量(百辆)的函数关系式：（利润销售额成本）

（2）2019年生产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

21．已知函数，其中均为实数．

（I）若，求的范围；

（Ⅱ）若函数存在零点且，求的最小值．

22．已知，.

（1）解不等式；

（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.

参考答案

1．C

【解析】函数f(x)定义域是，

因函数，在上都是单调递增的，而，

当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，无零点，

于是得当时，函数在上连续且单调，

因函数在区间上有零点，则由零点存在定理有：，即，解得，

所以实数a的取值范围是.

故选：C

2．B

【解析】解：由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点

设的图象与函数，的图象关于原点对称

令，则，

故原题义等价于方程有零点，解得

又因为，当且仅当时取等号

．

故选：B．

3．B

【解析】解：由，

由，可得，或，或，

它的定义域为，值域为，

若，则，则函数的值域为，不满足条件.

若，则根据函数的定义域为，

此时，函数的零点为，，

若，当时，不满足题意.

若，当时，不满足题意.

所以，求得；

若，则函数的定义域为，

此时函数的零点为，，

同理可得，所以.

综上，或，

故选：B.

4．D

【解析】由得，作出和的图象，如图，它们关于点对称，

由图象可知它们在上有8个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以8个点的横坐标之和为．

故选：D．

5．C

【解析】由题意可知，，

当时：若，则，

①时，有，解得；

②时，有，解得，

若，则，

①时，有，解得，

②时，有，解得，

故当时，有4个零点，C正确，

当时：若，则，有，解得，

因为，所以不满足，舍去；

若，则，

①时，有，无解；

②时，有，解得，

故当时，有1个零点，D错误

故选：C

6．D

【解析】作出函数的图象，如图，作直线，只有当时，它们才可能是三个交点，

不妨设，则，所以，而，，

所以．

故选：D．

7．A

【解析】根据题意，当时，；

当时，，即

；

当时，

整理得y＝f(x)＝观察图像，A项合理.

故选：A．

8．B

【解析】设放射性元素的半衰期为年，所以，

所以，所以，所以，

所以，所以，所以，所以，

故选：B.

9．AB

【解析】在R上的偶函数满足，

令，则，即，A正确；

因，则有，即，

于是得直线是函数图象的一条对称轴，B正确；

因，则当时，，而，

则函数f(x)在区间[-2，7]上至少存在3个零点，C不正确；

由于函数f(x)的图象关于直线对称，则，即，D不正确.

故选：AB

10．ABD

【解析】函数的图像如图所示：

由图可得：函数在区间上单调递增，故正确；

函数的图像关于直线对称，故正确；

若，但，则当时，，故错误；

函数的图像与轴有且仅有两个交点，故正确.

故选.

11．ABC

【解析】因为函数，可得函数图像如图：

由图知函数有2个零点，故A选项正确；

函数没有最值，故C选项正确；

函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；

由于方程有4个不同的实数根，

令则有4个不同的实数根，

因为恒成立，

设两个不等的实根为，

由韦达定理知：，

则异号，由图可知：，

所以，解得，故B选项正确；

故选：ABC

12．ABC

【解析】由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，

，解得：，故每小时油耗为，

由题意得，解得：，

又，故，所以速度的取值范围为.

故选：ABC

13．

【解析】解：因为函数不存在零点，

即方程没有实数根，

即函数与没有交点，

由，，将两边同时平方可得，

且

，

即函数的值域为，所以

故答案为：

14．

【解析】作出函数的图象，设，如下图所示：

二次函数的图象关于直线对称，则，

由图可得，可得，解得，

所以，.

故答案为：.

15．

【解析】由可看到，

令，

作出的函数图象如图所示：

有三个不相等的实数根，，，

直线与的图象有三个交点，

设三个交点的横坐标从小到大分别为，，，

由二次函数的对称性可知，

令可得或（舍，

，．

即的取值范围是，

故答案为：．

16．

【解析】作出函数的图象如下图所示：

设，

当时，，

由图象可知，当时，直线与函数的图象有五个交点，

且点、关于直线对称，可得，同理可得，

由，可求得，

所以，

.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

17．

（1）答案见解析

（2）

18．（1）L(x)＝  （2）100

【解析】（1）当0<x<80，x∈N*时，

L(x)＝x2－10x－250

＝x2＋40x－250，

当x≥80，x∈N*时，

L(x)＝－51x－＋1 450－250

＝1 200－，

∴L(x)＝.

（2）当0<x<80，x∈N*时，

L(x)＝(x－60)2＋950，

∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950，

当x≥80，x∈N*时，

L(x)＝1 200－≤1 200－2

＝1 200－200＝1 000，

∴当x＝，即x＝100时，

L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950，

综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，

即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

19．（1）；（2）或；（3）7，零点为.

【解析】（1）因为是偶函数，所以

所以的图象关于对称，

又二次函数的图象与直线只有一个交点，

设

又因为解得，

所以．

（2）由（1）得

在区间单调递增

即

且

或

（3）令

由得即

函数有三个零点的一个零点为3

当时，由得

当时，；当时，，

函数的零点为

20．（1）；（2）生产百辆时，最大利润为万元.

【解析】（1）当时，；

当时，；

所以

（2）当时，，所以；当时，，当且仅当时取等号；因为，所以当时，即2019年生产量为百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.

21．（I）；（Ⅱ）

【解析】解：（I）因为，，

可得，

即为，

解得，则，

由，得，

即，

则；

故的取值范围为

（Ⅱ）因为存在零点，故设，显然，因为；

所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，又，所以

所以

22．（1）；（2）.

【解析】（1）不等式，即为.

当时，即化为，得，此时不等式的解集为，

当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.

综上，不等式的解集为.

（2）,即.

作出函数的图象如图所示，

当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.

所以实数的取值范围是.