人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数本章综合与测试单元测试课时训练

第三章 函数 核心素养定心卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

2．已知是上的偶函数，是上的奇函数，它们的部分图像如图，则的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

3．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ）

A．

B．

C．

D．

4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B．

C． D．，且

5．函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数是奇函数，，且与图象的交点为，，……，，则（    ）

A．0 B． C． D．

7．已知函数，函数的定义域为且满足．当时，．若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，.下面说法错误的是（    ）

A．当时，；

B．函数的值域是；

C．函数与函数的图象有4个交点；

D．方程根的个数为7个.

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．几位同学在研究函数时给出了下面几个结论，其中正确的是（    ）

A．函数的值域为

B．若，则一定有

C．在上单调递增

D．若规定，且对任意的正整数n都有，则对任意的恒成立

10．已知函数，下列选项正确的是（    ）

A．图象关于点成中心对称

B．若有三个不同的解，则

C．对任意实数，函数在上单调递增

D．当时，若过点可以做函数的三条切线，则

11．已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有.设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（    ）

A．的图象关于直线轴对称

B．在内至少有个零点

C．的图象关于点中心对称

D．在上的值域为

12．已知，（常数），则（    ）

A．当时，在R上单调递减

B．当时，没有最小值

C．当时，的值域为

D．当时，，，有

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

14．已知定义在上的函数满足，当时，，则___________.

15．设，，若，且的最大值是，则___________.

16．已知，点，，，则的面积的取值范围是______________．

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．已知函数是昰义在上的奇函数，且.

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义证明在上是增函数；

（3）解不等式：.

18．已知函数（）是定义在上的奇函数，且.

（1）求，的值；

（2）判断函数在的单调性，并证明.

19．定义在上的奇函数，已知当时，．

（1）求在上的解析式；

（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

20．已知函数，常数.

（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；

（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.

21．已知函数的定义域为，且满足，．又当时，.

（1）求，，的值；

（2）若有成立，求x的取值范围.

22．已知函数.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）若对任意的，不等式均成立，求实数a的取值范围.

参考答案

1．D

【解析】因为是奇函数，在上是增函数，所以在上也是增函数，

因为是奇函数，所以，

当时，由；

当时，由

故选：D

2．C

【解析】又是上的偶函数，是上的奇函数，

∴ ，，

∴

∴ 函数为奇函数，其图象关于原点对称，A,B错，

由图可得当时，，，

∴ ，D错，

故选：C.

3．A

【解析】因为函数是偶函数，

所以

因为时，是增函数，

所以，

所以.

故选：A

4．B

【解析】解：对于A选项，，为偶函数，故错误；

对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；

对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；

对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.

故选：B

5．A

【解析】对任意，恒成立，即恒成立，即知．

设，，则，．

∵，∴，

∴，

∴，故的取值范围是．

故选：A.

6．C

【解析】令，则，则，

即，故函数的图象关于对称，又∵关于对称，

∴两个函数图象的交点都关于对称，设关于对称的两个点的纵坐标分别为，，则，

即．

故选：C

7．D

【解析】解：当时，，可得在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的值域为，在上的值域为，

所以在上的值域为，

因为，所以，

所以在上的值域为，

当时，为增函数，则在上的值域为，

所以，解得，

当时， 为减函数，则在上的值域为，

所以，解得，

当，为常函数，值域为，不符合题意，

综上，的取值范围为或，

故选：D

8．C

【解析】解：作出函数的图像如图所示，显然A，B均正确；

在同一坐标系内作函数的图像(坐标系内第一象限的射线部分)，

作出的图像(图像中的折线部分)，可以得到C错误，D正确.

故选：C.

9．BCD

【解析】当时，，且在上单调递增，

当时，，且在上单调递增，

当时，以．

对任意的，，所以是奇函数，故A错误，B，C正确，

因为，，……，

所以，故D正确．

故选：BCD．

10．ABD

【解析】对于选项A，由于，所以图像关于点成中心对称，故A正确；

对于选项B，由韦达定理有，

则，故B正确；

对于选项C，，若，当时，，因此在区间上单调递减，故C不正确；

对于选项D，当时，，则，设切点为，

因此切线方程为，

将代入切线方程整理有，

令，由题意可知，要有三条切线，即有三个零点，

，

时，；时，或.

所以在和上单调递增，在上单调递减.

所以，，

因此要使有三个零点，则，故D正确.

故选：ABD.

11．ACD

【解析】由为奇函数，，

且，

故函数关于直线对称，且周期，

故函数关于直线对称，且关于点中心对称，故A、C选项正确；

即，故在内至少有个零点，B选项错误；

又，故函数为奇函数，

当时，的值域为，

所以当时，的值域为，

当时，，的值域为，

当时，，的值域为，

综上当时，的值域为，D选项正确；

故选：ACD.

12．BD

【解析】时，，，，在上不是减函数，A错；

由上面讨论知时，在上是减函数，无最小值．而时递减，也无最小值，因此无最小值，

当时，，是增函数，，但，不是的最小值，

综上，无最小值，B正确；

时，，，

时，是增函数，，，

∴的值域是，C错；

时，时，，而时，，

，因此，，使得．D正确．

故选：BD．

13．

【解析】因为，不等式恒成立，则，

，

作出函数的图象如图：

由图知：的最大值为，

所以，

所以实数的取值范围是，

故答案为：

14．

【解析】函数满足：，

可得：对，都有，∴ 函数的周期.

∴ ，

由得，

∴.

故答案为：.

15．4

【解析】令=d，由消去a得：，即，

而，，则，，，

依题意，解得.

故答案为：4

16．

【解析】如图，点，，都在曲线上，

分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为，，，

易得，，，．

设的面积为S，

则

．

又，则随t的增大而减小，，

所以，即面积的取值范围为．

故答案为：．

17．（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）在上为奇函数，且，

有，解得，，此时，∴为奇函数，故．

（2）证明：任取，

则，

而，且，即，

∴，在上是增函数.

（3）因为，又在上是增函数，

∴，解得∴不等式的解集为．

18．(1)，；(2)单调递增，证明见解析.

【解析】(1)因函数是上的奇函数，于是有，解得，即有，

，解得，此时是上的奇函数，

所以，；

(2)函数在上单调递增，

，，而，，，

于是得，即，

所以函数在上单调递增.

19．（1）；（2）．

【解析】解：（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，

所以，解得，

又由当时，，

当时，则，可得，

又是奇函数，所以，

所以当时，．

（2）因为，恒成立，

即在恒成立，可得在时恒成立，

因为，所以，

设函数，根据基本初等函数的性质，可得函数在上单调递减，

因为时，所以函数的最大值为，

所以，即实数的取值范围是．

20．（1）证明见解析；单调增区间为，；（2）.

【解析】（1）证明：当时，.

的定义域为.

当时，

.

∴，

∴是奇函数，

是由和复合而成，

单调递减，

在 和单调递减，

所以在 和单调递增，

所以的单调增区间为，.

（2）由，

得，

令，

若使题中不等式恒成立，只需要.

由（1）知在上是增函数，单调递减，

所以在上是增函数，

所以.

所以的取值范围是.

21．（1），，；（2）.

【解析】解：（1）因为，，

令，，则，即，解得，

令，，则，解得，

令，，则，解得，

所以，，

（2）当时，.

所以函数在上单调递增，

因为，所以又因为，

所以，又因为，

所以，即

又因为函数在上单调递增，

所以，解得

所以x的取值范围：

22．（1）奇函数；（2）.

【解析】（1）由题可知：函数的定义域为

∵，

∴，

所以函数为奇函数

（2）由（1）可知：函数为奇函数

∵在单调递减，

所以在恒成立，

当时，恒成立，

当时，则，

又在单调递减

所以，则

当时，则，

由（当且仅当时取等号）

所以，故

所以