2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）

这是一份2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）2的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
2．（3分）据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为（　　）
A．37×105 B．3.7×105 C．3.7×106 D．0.37×107
3．（3分）计算m6÷m2的结果是（　　）
A．m3 B．m4 C．m8 D．m12
4．（3分）下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1
B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
C．两个正六边形一定位似
D．菱形的两条对角线互相垂直且相等
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
8．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）如图，等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直线l向右移动，直到AB与EF重合时停止．设xs时，三角形与正方形重叠部分的面积为ycm2，则下列各图中，能大致表示出y与x之间的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（　　）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若+|tanB﹣|＝0，那么△ABC的形状是　 　．
12．（3分）已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝　 　．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是　 　．

14．（3分）如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为　 　．

三、解答题：（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．
17．（6分）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．
18．（8分）深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了　 　名学生．
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AE交BC于点D，且．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．

20．（8分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式 　 　；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式 　 　．
（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？
（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
21．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
（1）求点F到直线CA的距离；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）并求出该图形的面积；
②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．

2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）2的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
【分析】根据相反数的概念作答即可．
【解答】解：根据相反数的定义可知：2的相反数是﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．
2．（3分）据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为（　　）
A．37×105 B．3.7×105 C．3.7×106 D．0.37×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于3700000人有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6．
【解答】解：3700000＝3.7×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．（3分）计算m6÷m2的结果是（　　）
A．m3 B．m4 C．m8 D．m12
【分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4．（3分）下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别得出各个几何体的左视图，进行判断即可．
【解答】解：选项A中的几何体的左视图为三角形，因此不符合题意；
选项B中的几何体其左视图为等腰三角形，因此选项B不符合题意；
选项C中的几何体的左视图是长方形，因此选项C不符合题意；
选项D中的几何体，其左视图为圆，因此选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义和画法，是正确解答问题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，根据相似三角形的性质定理计算即可．
【解答】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，
∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
∴＝，即＝，
解得，CE＝4，
则OE＝CE﹣OC＝3，
∴点B'的横坐标是3，
故选：B．

【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1
B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
C．两个正六边形一定位似
D．菱形的两条对角线互相垂直且相等
【分析】根据黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质判断即可．
【解答】解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，
当AC＞BC时，AC＝﹣1，当AC＜BC时，AC＝3﹣，本选项说法错误；
B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；
C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；
D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质，掌握相关的概念和性质定理是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答．
【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，
∴AD＝DE，AC＝CE＝9，
∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．
故选：B．

【点评】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
8．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．
【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，
∴∠CHB＝90°，
∵点M是BC的中点．
∴MH＝BC，
∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，
∴MH的最大值为3，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．
9．（3分）如图，等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直线l向右移动，直到AB与EF重合时停止．设xs时，三角形与正方形重叠部分的面积为ycm2，则下列各图中，能大致表示出y与x之间的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分别求出x≤2时与2≤x≤4时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可．
【解答】解：如图1，当x≤2时，重叠部分为三角形，面积y＝•x•x＝x2，
如图2，当2≤x≤4时，重叠部分为梯形，面积y＝×2×2﹣（x﹣2）2＝﹣（x﹣2）2+2，
所以，图象为两段二次函数图象，
纵观各选项，只有A选项符合．
故选：A．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（　　）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF＝∠PFB即可得出结论；
②先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC再判断出AE＝DE，即可得出结论；
③判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16；
④再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；
⑤判断出四边形BPGF是菱形，即可得出结论．
【解答】解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
故①正确；
②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
故②正确；
③当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16；
故③正确；
④由③知：CE＝＝＝20，
BE＝＝＝15，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
∴y＝
∴BP＝，
在Rt△PBC中，PC＝＝＝，
∴sin∠PCB＝＝，
故④不正确；
⑤如图，连接FG，

由①知BF∥PG，
∵BF＝PG＝PB，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，FG＝PB＝9，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108；
故⑤正确，
所以本题正确的有①②③⑤，共4个，
故选：B．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若+|tanB﹣|＝0，那么△ABC的形状是　锐角三角形　．
【分析】利用特殊角的三角函数值可得∠A和∠B的度数，进而可得答案．
【解答】解：由题意得：cos2A﹣＝0，tanB﹣＝0，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故答案为：锐角三角形．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值和非负数的性质，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
12．（3分）已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝　±4　．
【分析】根据二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，可知顶点的坐标为0，即可得到＝0，从而可以得到b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，
∴＝0，
解得b＝，
故答案为：±4．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是　3032π　．

【分析】矩形旋转一次，顶点A所经过的路径是以右下角的顶点为圆心，这个顶点到A的距离为半径的圆周长的，每转4次又回到开始位置，即可得出答案．
【解答】解：旋转1次，A旋转到左上角，A经过的路径为：2π•4×＝2π，
旋转2次，A旋转到右上角，A经过的路径为：2π+2π•5×＝π，
旋转3次，A旋转到右下角，A经过的路径为：π+2π•3×＝6π，
旋转4次，A旋转到左下角，A经过的路径为：6π+2π•0×＝6π，
即旋转4次，A又回到左下角，故每旋转4次，A经过的路径为6π，而2021＝4×505+1，
∴连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是6π×505+2π＝3032π，
故答案为：3032π．
【点评】本题考查矩形及弧长计算，关键是探索旋转中的规律：旋转4次，A又回到左下角，A经过的路径为6π．
14．（3分）如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为　　．

【分析】证明Rt△MED∽Rt△BDF，则＝＝，而EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，

∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE+∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
又∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，CF＝BC﹣BF＝3﹣，
∴ED＝4﹣，DF＝3﹣，
∴＝＝；
∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，
∴DB＝，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到图形折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，综合性强，难度适中．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为　4或2　．

【分析】如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．

∵DG⊥BF，BT⊥BF，
∴DG∥BT，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴四边形DGBT是平行四边形，
∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，
∵AD＝DB＝3，
∴BH＝DH＝3，
∵∠TBF＝∠BHF＝90°，
∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，
∴∠TBH＝∠F，
∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，
∴＝，
∴TH＝1，
∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，
∴BG＝4．
当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．

故答案为4或2．
【点评】本题考查三角函数定义，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
三、解答题：（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣3+1﹣2×
＝﹣1﹣3+1﹣
＝﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（6分）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．
【分析】先将分式进行化简，然后代入值即可求解．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
当a＝2时，原式＝＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简．
18．（8分）深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了　50　名学生．
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数；
（2）用总数减去A、B、D中的人数，即可求出C等级的人数，画出条形图即可；
（3）用九年级共有的学生数乘以D等级所占的比例，即可得出答案；
（4）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），
即本次抽样调查共抽取了50名学生，
故答案为：50；
（2）测试结果为C等级的学生数为：50﹣10﹣20﹣4＝16（名），
故答案为：16，补全条形图如下：

（3）700×＝56（名），
即估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
（4）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是男生的结果有2个，
∴抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AE交BC于点D，且．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接BE，证明△ABD∽△AEB，进而可得结论；
（2）连接OC，连接AO并延长交BC于点H，证明△AFB∽△OFA．进而可求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，
∵，∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABD＝∠AEB，
又∠C＝∠AEB，
∴∠ABD＝∠C，
∴AB＝AC．

（2）如图，连接OC，连接AO并延长交BC于点H，
∵AF＝4，CF＝5，
∴AB＝AC＝AF+CF＝4+5＝9．
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴A、O在BC的垂直平分线上，
∴AH⊥BC．
又AB＝AC，
∴AH平分∠BAC，
∴∠BAH＝∠CAH．
∵OA＝OB，
∴∠BAH＝∠ABF．
∴∠CAH＝∠ABF．
∵∠AFB＝∠OFA，
∴△AFB∽△OFA．
∴，
即．
∴．
∴．
∴．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是综合运用以上知识．
20．（8分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式 　y＝﹣10x+500　；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式 　w＝﹣10x2+700x﹣10000　．
（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？
（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）代入w＝2000求出x的值，由此即可得出结论；
（3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w＝﹣10（x﹣35）2+2250，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；
则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，
故答案为：y＝﹣10x+500；w＝﹣10x2+700x﹣10000；
（2）∵w＝2000，
∴﹣10x2+700x﹣10000＝2000，
解得：x1＝30，x2＝40，
答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；
（3）根据题意得，，
∴x的取值范围为：37≤x≤40，
∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为x＝35，
∴当x＝37时，w最大值＝2210．
答：销售单价定为37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法．
21．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
（1）求点F到直线CA的距离；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）并求出该图形的面积；
②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．
【分析】（1）如图，过点F作FH⊥AC于H．解直角三角形求出FH即可解决问题．
（2）①根据要求作出图形即可，根据S阴＝S扇形ACF﹣S△AE′C+S△EFC﹣S扇形ECE′，计算即可．
②如图2中，过点E作EH⊥CF于H，设OE＝OB＝x．利用勾股定理构建方程，求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点F作FH⊥AC于H．

在Rt△FCH中，∠FHC＝90°，CF＝CA＝2BC＝2，
∴FH＝CF＝1．

（2）①旋转运动所形成的平面图形，如图所示，
S阴＝S扇形ACF﹣S△AE′C+S△EFC﹣S扇形ECE′＝﹣＝；

②如图2中，过点E作EH⊥CF于H，设OE＝OB＝x．

∵EF＝BC＝1，∠CEF＝90°，∠ECF＝30°，
∴CF＝2EF＝2，∠F＝60°，
∴FH＝EF•cos60°＝，EH＝EF•sin60°＝，
∵∠B＝90°，OB＝x，BC＝1，
∴OC＝，
∵EO2＝OH2+HE2，
∴（）2+（﹣）2＝x2，
解得x2＝，
∴OC＝＝，
∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线的解析式中，列方程组解出即可；
（2）解法一：作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C与抛物线交于点D，根据两函数的解析式列方程解出即可；
解法二：如图1，作辅助线，构建相似三角形，证明△DCH∽△CBO，则，设点D的横坐标为t，则，列关于t的方程解出可得结论；
（3）利用待定系数法求直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设N（m，﹣m+3），当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，存在两种情况：如图2和图3，分别画图，根据平移的性质可表示M的坐标，代入抛物线的解析式列方程可解答．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解法一：作点B关于y轴的对称点B'，作射线B'C交抛物线于点D，

∵B的坐标为（4，0），
∴B'（﹣4，0），
∴直线B'C的解析式为：y＝x+3，
则﹣x2+x+3＝x+3，
解得：x1＝0（舍），x2＝2，
∴D（2，）；
如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，

过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，
∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，
∴∠DCH＝∠ABC，
∵∠DHC＝∠COB＝90°，
∴△DCH∽△CBO，
∴，
设点D的横坐标为t，则，
∵C（0，3），
∴，
∵点B是y＝﹣+x+3与x轴的交点，
∴，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
∴B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∴，
解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴点D的纵坐标为：，
则点D坐标为；
（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设N（m，﹣m+3），
分两种情况：
①如图2﹣1和图2﹣2，以DF为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形，

∵D（2，），F（0，），
∴M（m+2，﹣m+4），
代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4，
解得：m＝，
∴N（，3﹣）或（﹣，3+）；
②如图3﹣1和3﹣2，以DF为边，DM为对角线，四边形DFMN是平行四边形，

同理得：M（m﹣2，﹣m+2），
代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2，
解得：m＝4，
∴N（4+，﹣）或（4﹣，）；
③以DF为对角线时，设中点P的坐标为（1，4），
设M（t，﹣t2+t+3），N（n，﹣n+3），
∴，
此方程组无解，所以此种情况不成立；
综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用相似三角形可解决问题；（3）分N在x轴的上方和下方两种情况，表示M和N两点的坐标，确定关于m的一元二次方程．
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