04-专项综合全练（四）圆的切线的证明

、专项综合全练(四)

圆的切线的证明

类型一　见半径证垂直

1.(2020福建福州闽侯模拟)如图24-6-1,△ABC中,AB=AC,∠ACB=45°,AD⊥BC,☉O经过A,C,D三点,求证:AB是☉O的切线.

图24-6-1

2.(2021河北保定阜平期中)如图24-6-2,AB为☉O的直径,C是☉O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.

(1)CD与☉O相切吗?如果相切,请你加以证明;如果不相切,请说明理由.

(2)若CD与☉O相切,且∠D=30°,BD=10,求☉O的半径.

图24-6-2

类型二　连半径证垂直

3.(2021湖北襄阳南漳期末)如图24-6-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O与AB边交于点D,E为BC的中点,连接DE.

(1)求证:DE是☉O的切线;

(2)若AC=BC,判断四边形OCED的形状,并说明理由.

图24-6-3

4.(2017福建中考)如图24-6-4,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,点P在CA的延长线上,∠CAD=45°.

(1)若AB=4,求的长;

(2)若=,AD=AP,求证:PD是☉O的切线.

图24-6-4

5.(2021辽宁抚顺新宾期末)如图24-6-5,在矩形ABCD中,点O在对角线BD上,以OB的长为半径的☉O与AB,BD分别交于点E,F,连接DE,且∠ADE=∠BDC.

(1)判断直线DE与☉O的位置关系,并证明你的结论;

(2)若BC=6,CD=8,AE=4.5,求☉O的半径.

图24-6-5

6.(2018辽宁辽阳中考)如图24-6-6,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,OF⊥AB,交AC于点F,点E在AB的延长线上,射线EM经过点C,且∠ACE+∠AFO=180°.

(1)求证:EM是☉O的切线;

(2)若∠A=∠E,BC=,求阴影部分的面积.(结果保留π和根号)

图24-6-6

类型三　作垂直证半径

7.如图24-6-7,△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证:AC与☉D相切.

图24-6-7

8.如图24-6-8,AB是☉O的直径,AM,BN分别切☉O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.

(1)求证:CD是☉O的切线;

(2)若AD=4,BC=9,求OD的长.

图24-6-8

专项综合全练(四)

圆的切线的证明

1.证明　∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,

∴AC为☉O的直径.

∵AB=AC,

∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠BAC=90°,∴AC⊥BA.

∴AB是☉O的切线.

2.解析　(1)CD与☉O相切.

证明:∵AB为☉O的直径,C是☉O上一点,

∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°.

∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,又∠DCB=∠A,

∴∠OCA=∠DCB,

∴∠DCB+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,

∴CD是☉O的切线.

(2)在Rt△OCD中,∠D=30°,

∴∠COD=60°,

∴∠A=30°,

∴∠BCD=30°,即∠BCD=∠D,

∴BC=BD=10,

∴在Rt△ACB中,AB=2BC=20,

∴☉O的半径为10.

3.解析　(1)证明:如图,连接OD、CD,

∵OC=OD,

∴∠OCD=∠ODC.

∵AC为☉O的直径,∴∠CDA=90°,

∴∠CDB=90°.

∵E为BC的中点,

∴DE=CE,

∴∠ECD=∠EDC,

∴∠OCD+∠ECD=∠ODC+∠EDC=90°,

∴∠ODE=∠ACB=90°,

即OD⊥DE.

又∵D在☉O上,

∴DE与☉O相切.

(2)四边形OCED为正方形.

理由:∵AC=BC,∠ACB=90°,

∴∠A=45°.

∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=45°,

∴∠COD=∠A+∠ODA=90°.

∵四边形OCED中,∠COD=∠ODE=∠OCE=90°,且OC=OD,

∴四边形OCED为正方形.

4.解析　(1)如图,连接OC,OD.

∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∴∠COD=90°.

∵AB=4,∴OC=AB=2.

∴的长==π.

(2)证明:∵=,∴∠BOC=∠AOD.

∵∠COD=90°,∴∠AOD==45°.

∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.

∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,

∴∠ODA==67.5°.

∵AD=AP,∴∠ADP=∠APD.

∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,

∴∠ADP=∠CAD=22.5°.

∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°.

又∵OD是☉O的半径,

∴PD是☉O的切线.

5.解析　(1)直线DE与☉O相切.

证明:连接OE,

∵四边形ABCD是矩形,

∴AB∥CD,∴∠EBD=∠BDC.

∵OB=OE,∴∠EBD=∠BEO.

∵∠ADE=∠BDC,

∴∠BEO=∠EBD=∠BDC=∠ADE.

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=90°,

∴∠AED+∠ADE=90°,

∴∠AED+∠BEO=∠AED+∠ADE=90°,

∴∠OED=180°-(∠AED+∠BEO)=180°-90°=90°,

即OE⊥ED.

∵OE为半径,

∴直线DE与☉O相切.

(2)∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠C=90°.

在Rt△DCB中,∠C=90°,

∴BD===10.

∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=6.

在Rt△ADE中,∠A=90°,

∴ED===.

设☉O的半径为R,

在Rt△DOE中,DO2=DE2+OE2,

即(10-R)2=+R2,

解得R=,即☉O的半径是.

6.解析　(1)证明:如图,连接OC,

∵OF⊥AB,

∴∠AOF=90°,

∵∠A+∠AFO+90°=180°,∠ACE+∠AFO=180°,

∴∠ACE=90°+∠A.

∵OA=OC,

∴∠A=∠ACO,

∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE,

∴∠OCE=90°,

∴OC⊥CE,∴EM是☉O的切线.

(2)∵AB是☉O的直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠ACO+∠BCO=90°,

又∠OCE=∠BCE+∠BCO=90°,

∴∠ACO=∠BCE.

∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,

∵∠A=∠E,

∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E,

∴∠ABC=∠BCE+∠E=2∠A,

∴∠A=30°,∴∠BOC=60°,

∴△BOC是等边三角形,

∴OB=BC=,

∴S阴影=S扇形COB-S△OCB=-×()2=π-.

7.证明　连接DE,作DF⊥AC于F,则∠DFC=90°.

∵AB与☉D相切于点E,∴∠BED=90°.

∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵D为BC的中点,∴BD=CD.

∴△BED≌△CFD.

∴DF=DE.

∴AC与☉D相切.

8.解析　(1)证明:如图,过O点作OE⊥CD于点E,

∵AM切☉O于点A,

∴OA⊥AD.

∵DO平分∠ADC,

∴OE=OA.

∵OA为☉O的半径,

∴OE是☉O的半径,又OE⊥DC,

∴CD是☉O的切线.

(2)如图,过D作DF⊥BC于F,

∵AB是☉O的直径,AM,BN分别切☉O于点A,B,

∴AB⊥AD,AB⊥BC,

∴四边形ABFD为矩形,

∴BF=AD=4,

∴CF=BC-BF=5.

∵DC、AM、BC为圆的切线,

∴DE=DA=4,CE=CB=9,

∴DC=DE+CE=13.

在Rt△DCF中,DF==12,

∴AB=12,∴OA=6,

在Rt△OAD中,OD===2.