2021年河北省石家庄二十八中中考数学一模试卷

这是一份2021年河北省石家庄二十八中中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年河北省石家庄二十八中中考数学一模试卷
一、选择题（共16小题，每小题3分，满分48分）
1．方程x2+x＝0的解是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
2．下列实数中的无理数是（　　）
A．﹣ B．π C．0.57 D．
3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（　　）
A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．4.6×10﹣6 D．0.46×10﹣5
4．下列运算正确的是（　　）
A．﹣3﹣2＝﹣5 B．＝±2 C．3﹣1＝﹣3 D．x3•x5＝x15
5．由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（　　）
A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
7．如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，则∠ABC等于（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°
8．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（　　）

A．55° B．45° C．35° D．25°
9．如图，双曲线y＝﹣的一个分支为（　　）

A．① B．② C．③ D．④
10．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB长为（　　）

A．8 B．4 C． D．
11．下列说法正确的是（　　）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．“367人中有2人同月同日生”为必然事件
C．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
D．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
12．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．S1＝S2
13．如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．下列结论：①②；③；④CF2＝GF•EF，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB＝1cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（　　）cm．

A．6 B．3 C． D．
15．图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为（　　）

A．48πcm3 B．60πcm3 C．72πcm3 D．84πcm3
16．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（　　）

A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）
17．已知一组样本数据：1，2，3，4，5，1，则这组样本的中位数为　 　．
18．如图，已知⊙O的半径为4，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°．
（1）∠AOB的度数为　 　度；
（2）弦BC的长为　 　．

19．如图，将抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q．
（1）点P的坐标为　 　；
（2）图中阴影部分的面积为　 　．

三、解答题（共7小题，满分67分）
20．按要求完成下列各小题．
（1）计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°；
（2）若x＝2是方程x2﹣4mx+m2＝0的一个根，求m的值．
21．已知反比例函数y＝（m为常数，且m≠3）
（1）若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围；
（2）若点A（2，）在该反比例函数的图象上；
①求m的值；
②当x＜﹣1时，请写出y的取值范围．
22．甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）
甲、乙两班代表队成绩统计表

平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5
a
0.7
乙班
8.5
b
10
1.6
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派　 　代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）
（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．

23．如图，C是AB上一点，点D、E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且AD＝BC，AC＝BE．
（1）求证：CD＝CE．
（2）当AC＝2时，求BF的长．
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．

24．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
25．如图，已知BD为⊙O的直径，AB为⊙O的一条弦，P是⊙O外一点，且PO⊥AB，垂足为C，PO交⊙O于点N和点M，连接BM，AD，AP．
（1）求证：PM∥AD；
（2）若∠BAP＝2∠M，求证：PA是⊙O的切线；
（3）连接BN，若AD＝6，．
①设BC＝x，用含x的代数式表示MN；
②求⊙O的半径．

26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（共16小题，每小题3分，满分48分）
1．方程x2+x＝0的解是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
解：x2+x＝0
x（x+1）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故选：D．
2．下列实数中的无理数是（　　）
A．﹣ B．π C．0.57 D．
解：A．﹣是分数，属于有理数；
B．π是无理数；
C．0.57是有限小数，即分数，属于有理数；
D．是分数，属于有理数；
故选：B．
3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（　　）
A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．4.6×10﹣6 D．0.46×10﹣5
解：0.0000046＝4.6×10﹣6．
故选：C．
4．下列运算正确的是（　　）
A．﹣3﹣2＝﹣5 B．＝±2 C．3﹣1＝﹣3 D．x3•x5＝x15
解：A．﹣3﹣2＝﹣5，正确；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D．x3•x5＝x8，故本选项不合题意．
故选：A．
5．由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个小立方块、后1排1个小立方块，第2列只有后排2个小立方块，第三列只有1个小立方块，
所以其主视图为：

故选：A．
6．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（　　）
A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，
所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．
所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．
故选：C．
7．如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，则∠ABC等于（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°
解：如图：

∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，
∴∠DAB＝40°，∠CBE＝70°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝40°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°．
故选：B．
8．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（　　）

A．55° B．45° C．35° D．25°
解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴∠CBD＝∠POB＝35°，
故选：C．
9．如图，双曲线y＝﹣的一个分支为（　　）

A．① B．② C．③ D．④
解：∵在y＝﹣中k＝﹣6＜0，
∴解的两个分支分别位于第二、四象限，排除③④，
又当x＝﹣2时，y＝3，排除②，
故正确答案应该为①．
故选：A．
10．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB长为（　　）

A．8 B．4 C． D．
解：作直径AC，连接BC，如图，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝∠P＝30°，
∴AB＝AC＝×8＝4．
故选：B．

11．下列说法正确的是（　　）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．“367人中有2人同月同日生”为必然事件
C．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
D．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用抽样调查，故此选项错误；
B、“367人中有2人同月同日生”为必然事件，正确；
C、可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生，发生的概率小，也有可能发生，故此选项错误；
D、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故此选项错误．
故选：B．
12．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．S1＝S2
解：由题意：＝12，
∴S2＝×12×3＝18，
∵S1＝6××32＝，
∴S1＞S2，
故选：A．
13．如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．下列结论：①②；③；④CF2＝GF•EF，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
解：①∵AE∥CD，
∴△AEG∽△DCG，
∴＝，结论①正确；
②∵BE∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴＝，结论②正确；
③∵BC∥DG，
∴△BCF∽△DGF，
∴＝，结论③正确；
④∵＝，＝，
∴＝，
∴CF2＝GF•EF，结论④正确．
∴正确的结论有4个．
故选：D．

14．如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB＝1cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（　　）cm．

A．6 B．3 C． D．
解：如图，当点P是正六边形的中心时，
连接PB、PC，过点P作PH⊥BC于点H，延长HP交EF于点G，
则点P到这个正六边形六条边的距离之和即为6PH的长．

根据正六边形的性质可知：
△BPC是等边三角形，
∴∠BPC＝60°，
∵PH⊥BC，
∴∠BPH＝30°，BH＝BC＝（cm），
∴PH＝（cm），
∴6PH＝3（cm）．
∴点P到这个正六边形六条边的距离之和为3cm．
故选：C．
15．图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为（　　）

A．48πcm3 B．60πcm3 C．72πcm3 D．84πcm3
解：图2中完整的圆柱的高为6+4+4＝14cm．半个圆柱的高为2cm．
∴体积＝×2＝60πcm3，故选：B．
16．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（　　）

A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；
②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，
∴④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：C．
二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）
17．已知一组样本数据：1，2，3，4，5，1，则这组样本的中位数为　2.5　．
解：将这组数据小到大排列：1，1，2，3，4，5，
中位数为＝2.5，
故答案为2.5．
18．如图，已知⊙O的半径为4，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°．
（1）∠AOB的度数为　45　度；
（2）弦BC的长为　4　．

解：（1）∵OA⊥CB，
∴＝，
∴∠AOB＝2∠ADC＝2×22.5°＝45°，
故答案为45．

（2）设OA交BC于T．
∵OA⊥BC，
∴CT＝TB，
∵∠OTB＝90°，∠O＝45°，OB＝4，
∴TB＝OT＝2，
∴BC＝2BT＝．

19．如图，将抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q．
（1）点P的坐标为　　；
（2）图中阴影部分的面积为　　．

解：（1）∵把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，且抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），
∴抛物线m的解析式为y＝（x﹣0）（x+6）＝x2+3x＝（x+3）2﹣．
∴P．
故答案是：；

（2）把x＝﹣3代入＝x2得y＝，
∴Q（﹣3，），
∵图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，S△POQ＝×9×3＝．
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
三、解答题（共7小题，满分67分）
20．按要求完成下列各小题．
（1）计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°；
（2）若x＝2是方程x2﹣4mx+m2＝0的一个根，求m的值．
解：（1）原式＝﹣+1﹣2×＝
＝+﹣
＝；
（2）将x＝2代入方程可知：4﹣8m+m2＝0，
解得：m＝4±2
m的值为或．
21．已知反比例函数y＝（m为常数，且m≠3）
（1）若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围；
（2）若点A（2，）在该反比例函数的图象上；
①求m的值；
②当x＜﹣1时，请写出y的取值范围．
解：（1）由题意可得m﹣3＞0，解得m＞3；
（2）①把A（2，）代入y＝中，得到m﹣3＝3，解得m＝6；
②由①可得y＝，当x＜﹣1时，＜﹣1，解得﹣3＜y＜0．
22．甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）
甲、乙两班代表队成绩统计表

平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5
a
0.7
乙班
8.5
b
10
1.6
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：a＝　8.5　，b＝　8　；
（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派　甲班　代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）
（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．

解：（1）甲的众数为：8.5，乙的中位数为：8，
故答案为：8.5，8；
（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
故答案为：甲班；
（3）列表如下：

甲
乙1
乙2
甲
﹣﹣﹣
乙1 甲
乙2 甲
乙1
甲 乙1
﹣﹣﹣
乙2乙1
乙2
甲 乙2
乙1乙2
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为6种，其中抽到甲班、乙班各一人的结果为4种，
所以P（抽到A，B）＝＝．
23．如图，C是AB上一点，点D、E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且AD＝BC，AC＝BE．
（1）求证：CD＝CE．
（2）当AC＝2时，求BF的长．
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．

【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：由（1）可知CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
由（1）可知△ADC≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC，
即∠BFE＝∠BED，
∴BE＝BF，
即BF＝BE＝AC＝2；
（3）∵△CDE的外心在该三角形的外部，
∴△CDE是钝角三角形，
∵∠CDE＝∠CED，
∴0°＜∠CDE＜45°，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝∠BED，即∠ADE＝∠AFD，
∴∠ADE＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∵∠AFD＝∠CDE+25°，
∴α+∠ADC+∠CDE+25°＝180°，
即∠CDE＝65°﹣α，
∴0°＜65°﹣＜45°，
解得：40°＜α＜130°．
24．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b，
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400（12≤x＜24）；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，
则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
25．如图，已知BD为⊙O的直径，AB为⊙O的一条弦，P是⊙O外一点，且PO⊥AB，垂足为C，PO交⊙O于点N和点M，连接BM，AD，AP．
（1）求证：PM∥AD；
（2）若∠BAP＝2∠M，求证：PA是⊙O的切线；
（3）连接BN，若AD＝6，．
①设BC＝x，用含x的代数式表示MN；
②求⊙O的半径．

解：（1）∵BD是直径，
∴∠DAB＝90°．
∵PO⊥AB，
∴∠MCB＝90°，
∴∠DAB＝∠MCB，
∴PM∥AD；
（2）连接OA．
∵∠BON＝2∠M，∠BAP＝2∠M，
∴∠BON＝∠BAP．
∵OA＝OB，OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BON，
∴∠AOC＝∠BAP．
在Rt△OAC中，∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠BAP+∠OAC＝90°，
即∠OAP＝90°，
∴PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（3）①在Rt△MCB中，，
∴．
∵BC＝x，
∴CM＝2x．
∵MN是⊙O直径，MN⊥AB，
∴∠MBN＝∠BCN＝90°，
∴∠NBC＝90°﹣∠BNC＝∠M，
∴，
∴，
∴；
②由①得，
∴．
∵O是BD的中点，C是AB的中点，AD＝6，
∴，
解得x＝4，
∴，
即⊙O的半径为5．

26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）点A、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，3），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）存在，理由：
作点D关于对称轴的对称轴D′（﹣1，2），连接BD′交抛物线对称轴与点P，则点P为所求，

将点B、D′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线BD′的函数表达式为：y＝﹣x+，
抛物线的对称轴为：x＝，当x＝时，y＝，
故点P（，）；
（3）设点N（m，0），则点M、Q的坐标分别为：（m，m+1）、（m，﹣m2+m+3），

则QM＝|﹣m2+m+3﹣m﹣1|＝|﹣m2+2|，
3MN＝3（m+1），
∵QM＝3MN，即|﹣m2+2|＝3（m+1），
解得：m＝﹣2或﹣1或5（舍去﹣2），
故点（﹣1，2）或（5，﹣7）．