2021年山东省淄博市沂源县中考数学一模试卷

这是一份2021年山东省淄博市沂源县中考数学一模试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省淄博市沂源县中考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题5分，共60分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分．
1．（5分）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
2．（5分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为　　

A． B． C． D．
3．（5分）如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是　　

A．点 B．格点 C．格点 D．格点
4．（5分）一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是　　
A．3，4，0.4 B．4，0.4，4 C．4，4，0.4 D．4，3，0.4
5．（5分）如图，四边形的对角线，，，，分别是，，，的中点，若在四边形内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为　　

A． B． C． D．
6．（5分）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是　　
A．反比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时，
D．正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
7．（5分）已知关于的一元二次方程的一个根为，二次函数的图象的顶点坐标为，则关于的不等式的解为　　
A．或 B．或 C． D．
8．（5分）如图，半径为3的经过原点和点，是轴左侧优弧上一点，则为　　

A． B． C． D．
9．（5分）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从降到所用的时间是　　

A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D．7分钟
10．（5分）如图，直线与轴、轴相交于，两点，与的图象相交于，两点，连接，．下列结论：①；②不等式的解集是或；③；④．其中正确的结论是　　

A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④
11．（5分）如图，在菱形中，按以下步骤作图：
①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；
②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接．
则下列说法错误的是　　

A． B．
C．若，则 D．
12．（5分）如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，在上取一点，使，连接．对于下列结论：①；②；③；④为的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是　　

A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果．
13．（4分）分解因式：　　．
14．（4分）若，，则的值为　　．
15．（4分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是　 　．

16．（4分）关于的一元二次方程的解是，，则不等式的解集为　　．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为，，．记为矩形对角线的交点，则的最大面积为　　．

三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：．
19．（8分）如图，，，，且、、三点在一条直线上．
（1）试说明与全等的理由．
（2）如果，试说明线段、、之间的数量关系，并说明理由．

20．（10分）某校八（1）班同学为了了解2018年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，请解答以下问题：
月均用水量
频数（户
频率

6
0.12

12
0.24


0.32

10


4
0.08

2
0.04
（1）本次调查采用的调查方式是　　（填“普查”或“抽样调查” ，样本容量是　　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若将月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“”的圆心角度数是　　；
（4）若该小区有5000户家庭，求该小区月均用水量超过的家庭大约有多少户？

21．（10分）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，，
（1）求盲区中的长度；
（2）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
22．（10分）如图，与的斜边相切于点，与直角边相交于、两点，连接，已知，的半径为12，弧的长度为．
（1）求证：；
（2）若，求线段的长度．

23．（12分）（1）问题解决
如图（1），是等边三角形的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转，交边于点，交射线于点，试证明：；
（2）问题变式
如图（2），是的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转角，交边于点，交射线于点，设，．求证：；
（3）问题拓展
如图（3），是的中线，当是上任意一点时（点不与重合），过点的直线交边于，交射线于点，设，，，试探究、之间的数量关系？并说明理由．

24．（12分）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点．
（1）若点，点，求的值；
（2）若点，，，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）若点是圆与抛物线的交点与、、不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题5分，共60分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分．
1．（5分）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、正确；
、；
、；
、不能进一步计算．
故选：．
2．（5分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为　　

A． B． C． D．
【解答】解：它的俯视图为

故选：．
3．（5分）如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是　　

A．点 B．格点 C．格点 D．格点
【解答】解：如图，连接和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点的距离相等，因此格点就是所求的旋转中心；
故选：．

4．（5分）一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是　　
A．3，4，0.4 B．4，0.4，4 C．4，4，0.4 D．4，3，0.4
【解答】解：把这组数据从小到大排列：3，4，4，4，5，最中间的数是4，则这组数据的中位数是4；
4出现了2次，出现的次数最多，则众数是4；
平均数是，所以方差为．
故选：．
5．（5分）如图，四边形的对角线，，，，分别是，，，的中点，若在四边形内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为　　

A． B． C． D．
【解答】如图，、、、分别是线段，，，的中点，
、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，，且，，
四边形是平行四边形，
又，

四边形是矩形，
四边形的面积，
四边形，
这一点落在图中阴影部分的概率为，
故选：．
6．（5分）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是　　
A．反比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时，
D．正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数，
两个函数图象的另一个交点为，
，选项错误；
正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，
选项错误；
当或时，，
选项正确；
故选：．
7．（5分）已知关于的一元二次方程的一个根为，二次函数的图象的顶点坐标为，则关于的不等式的解为　　
A．或 B．或 C． D．
【解答】解：设抛物线的表达式为：，
当时，，解得：，
故抛物线的表达式为：，
将不等式整理为：，
联立和并解得：，
故时，函数在之上，即，
故选：．
8．（5分）如图，半径为3的经过原点和点，是轴左侧优弧上一点，则为　　

A． B． C． D．
【解答】解：设交轴于，连接，则是直径，
在中，，，
则，
，
由圆周角定理得，，
则，
故选：．

9．（5分）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从降到所用的时间是　　

A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D．7分钟
【解答】解：开机加热时每分钟上升，
从到需要7分钟，
设一次函数关系式为：，
将，代入得，
，令，解得；
设反比例函数关系式为：，
将代入得，
，
将代入，解得；
水温从降到所用的时间是分钟，
故选：．
10．（5分）如图，直线与轴、轴相交于，两点，与的图象相交于，两点，连接，．下列结论：①；②不等式的解集是或；③；④．其中正确的结论是　　

A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④
【解答】解：由图象可得，
，，则，故①正确；
直线与的图象相交于，两点，
不等式的解集是或，故②错误；
的图象过，两点，
，
，
，故④正确；
直线过，两点，
，
解得，
，
，，
直线，
当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，故③正确；
故选：．
11．（5分）如图，在菱形中，按以下步骤作图：
①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；
②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接．
则下列说法错误的是　　

A． B．
C．若，则 D．
【解答】解：由作法得垂直平分，即，，
四边形为菱形，
，，
在中，，
，
，所以选项的结论正确；
，，
而，
，所以选项的结论正确；
若，则，
，
在中，，所以选项的结论错误；
作交的延长线于，如图，
设，则，，，
在中，，
，，
，所以选项的结论正确．
故选：．

12．（5分）如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，在上取一点，使，连接．对于下列结论：①；②；③；④为的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是　　

A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
【解答】解：为直径，
，
，
而，
，所以①正确；
，
，
而，
，
，
，
，
，所以②正确；
不能确定为直角三角形，
不能确定等于，
与不能确定相等，所以③错误；
，
点在以为直径的圆上，
，
，
而，
，
为的切线，所以④正确．
故选：．

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果．
13．（4分）分解因式：　　．
【解答】解：，
故答案为：．
14．（4分）若，，则的值为　　．
【解答】解：，，
原式．
故答案为：
15．（4分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是　　．

【解答】解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子个，

则第个图形需要黑色棋子的个数是．
故答案为：．
16．（4分）关于的一元二次方程的解是，，则不等式的解集为　　．
【解答】解：依题意：设，
则抛物线与轴的交点横坐标分别为，1，
设，
则与关于直线对称，
所以依图象得时，
，
故答案为：．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为，，．记为矩形对角线的交点，则的最大面积为　　．

【解答】解：，，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
矩形是由矩形旋转得到，
，
如图，当点在线段上时，的面积最小，

当点在的延长线上时，△的面积最大，
最大面积．
故答案为：．
三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【解答】解：（1）

；
（2），
移项，得，
合并同类项，得，
解得．
19．（8分）如图，，，，且、、三点在一条直线上．
（1）试说明与全等的理由．
（2）如果，试说明线段、、之间的数量关系，并说明理由．

【解答】解：（1）理由：
，
，
即，
在与中
，
；
（2）由（1）可得：
，，
，
是等边三角形，
，
，
即．
20．（10分）某校八（1）班同学为了了解2018年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，请解答以下问题：
月均用水量
频数（户
频率

6
0.12

12
0.24


0.32

10


4
0.08

2
0.04
（1）本次调查采用的调查方式是　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查” ，样本容量是　　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若将月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“”的圆心角度数是　　；
（4）若该小区有5000户家庭，求该小区月均用水量超过的家庭大约有多少户？

【解答】解：（1）由题意可得，
本次调查采用的调查方式是抽样调查，样本容量是，
故答案为：抽样调查，50；
（2），
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）月均用水量“”的圆心角度数是：，
故答案为：；
（4）

（户，
答：该小区月均用水量超过的家庭大约有600户．

21．（10分）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，，
（1）求盲区中的长度；
（2）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
答：盲区中的长度为；

（2）如图所示：过点作，
，，
，
，
可得：，
则，
故，
，
解得：，
，
在处有一个高度为的物体，驾驶员不能观察到物体．

22．（10分）如图，与的斜边相切于点，与直角边相交于、两点，连接，已知，的半径为12，弧的长度为．
（1）求证：；
（2）若，求线段的长度．

【解答】（1）证明：连接、，

是的切线，
，，
又弧的长度为，
，
，
是等边三角形，
，，
，
．

（2）解：连接，

，
，
是的直径，
由（1）得：，，
，
又，，
，
又，，
，
又，
．
23．（12分）（1）问题解决
如图（1），是等边三角形的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转，交边于点，交射线于点，试证明：；
（2）问题变式
如图（2），是的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转角，交边于点，交射线于点，设，．求证：；
（3）问题拓展
如图（3），是的中线，当是上任意一点时（点不与重合），过点的直线交边于，交射线于点，设，，，试探究、之间的数量关系？并说明理由．

【解答】证明：（1）如图1，

是等边三角形，是等边三角形的中线，
，，
将边所在直线绕点顺时针旋转，
，，
，
，
；
（2）如图2，作交于点，

，
，
是的中线，
，
，
，，
在和中，
，
，
．
，
，即，
；
（3）、之间的数量关系为：．
理由如下：
如图3，过点作的平行线，交直线于点，交直线于点，

则，设，，
，
即，，
由（2）知；
．即．
24．（12分）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点．
（1）若点，点，求的值；
（2）若点，，，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）若点是圆与抛物线的交点与、、不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设圆心为点，
，，
，的半径为5，
，
，
设抛物线解析式为，
点在抛物线上，
，
，
，
，，
；

（2）的值是定值，为，
理由：点，，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
令时，，
，
，
；

（3）存在；
点是圆与抛物线的交点与、、不重合），，
，即：，
当点在轴上时，如图1，设点的坐标为，
，，，
，，，
，
，
以、、为顶点的三角形与相似，
①，
，
，
，
或②，
，
，
，，
当点在轴上时，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，，，
，，，，
以、、为顶点的三角形与相似，
①，
，
，

或②，
，
，
，
即：满足条件的点的坐标为或，或或．