2021年四川省泸州市江阳区中考数学一模试卷

这是一份2021年四川省泸州市江阳区中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省泸州市江阳区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．的相反数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．“嫦娥3号”月球探测器在月球背面的预定着陆区中顺利着陆，成为人类首颗成功软着陆月球背面的
探测器，地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000科学记数法表示为（　　）
A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106
3．下列各式计算正确的是（　　）
A．a2+2a3＝5a5 B．a•a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
4．下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于F点，若∠1＝71°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．70° C．110° D．109°
6．以下是小王在学习强国平台上的一周积分情况（单位：分）65，57，56，58，56，58，56，这组积分的众数和中位数分别是（　　）
A．58，56 B．56，56 C．56，57 D．56，58
7．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
8．已知，则以下对m的估算正确的是（　　）
A．3＜m＜4 B．4＜m＜5 C．5＜m＜6 D．6＜m＜7
9．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝3，BF＝2，则正方形DECF的边长等于（　　）

A． B．1 C． D．
10．若关于x的分式方程﹣＝1无解，则a的值是（　　）
A．0或1 B．﹣2或0 C．﹣1或2 D．﹣2或1
11．如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB，AC交于点D，点E，点F是线段DE上一点，CF的延长线交AB于点G，若DF＝4EF，则S△DFG：S△EFC＝（　　）

A．34：9 B．35：8 C．36：7 D．32：7
12．经过点A（m，n），点B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则当m＞﹣时，n的取值范围是（　　）
A．＜n＜4 B．＜n＜2 C．＜n＜8 D．＜n＜2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．点A（﹣1，2）关于y轴的对称点坐标是　 　．
14．分解因式：ab2﹣2ab+a＝　 　．
15．设x1，x2是方程x2+2x﹣4＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2＝　 　．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是　 　．

三．解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：2sin45°+|﹣|﹣（π﹣2021）0﹣．
18．化简：．
19．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．

四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．某初中学校为了解毕业班学生每天睡眠时间情况，抽样调查了部分学生的睡眠时间，制成了两幅不完整的统计图，请根据两幅图解决下列问题：
（1）扇形统计图中B代表的扇形的圆心角是 　 　．
（2）如果把睡眠时间低于7小时称为严重睡眠不足，请估算全校400名毕业班学生睡眠严重不足的人数．
（3）本次调查中有3名女生和2名男生每天睡眠时间在6小时及以下，现从这5名学生中任意抽取2名学生进一步了解情况，请用列表法或画树状图的方法求出刚好抽到一男一女的概率．

21．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某单位组织180名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用在1950元的限额内，一次将全部员工送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数的图象相交于点A、B，其中点A（a，3）．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积．

23．某森林保护区开展“搜寻古树名木，守护和谐家园”活动，如图，林区工作人员发现斜坡AB的坡顶B处的同一水平线上有一古树DC，为测量古树DC的高度，工作人员在坡脚A处测得斜坡AB的坡度i＝1：2.4，古树顶端C的仰角为45°．他们沿着斜坡AB攀行了13米到达坡顶B，在B处测得古树顶端C的仰角为60°，求古树的高度DC．（结果保留根号）

六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，交AB于点F，CE＝BC．连接EF交AD于点G．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若CD＝2，BD＝，求⊙O的半径，EG的长．

25．如图，已知直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+mx+n经过A，B两点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点D是第一象限抛物线上的点，连接OD交直线AB于点C，求的最大值．
（3）若抛物线上有且仅有三个点F1，F2，F3，使得△ABF1，△ABF2，△ABF3的面积均为定值S，求定值S及F1，F2，F3这三个点的坐标．



参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．的相反数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【分析】依据相反数的定义求解即可．
解：的相反数是﹣．
故选：B．
2．“嫦娥3号”月球探测器在月球背面的预定着陆区中顺利着陆，成为人类首颗成功软着陆月球背面的
探测器，地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000科学记数法表示为（　　）
A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：384000＝3.84×105，
故选：C．
3．下列各式计算正确的是（　　）
A．a2+2a3＝5a5 B．a•a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方法则计算，判断即可．
解：A、a2与2a3不是同类项，不能合并，A选项错误；
B、a•a2＝a3，B选项正确；
C、a6÷a2＝a4，C选项错误；
D、（a2）3＝a6，D选项错误；
故选：B．
4．下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
解：A、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
B、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
C、三棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
D、球的三视图完全相同，都是圆，正确；
故选：D．
5．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于F点，若∠1＝71°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．70° C．110° D．109°
【分析】先根据平行线的性质得∠EFD＝∠1＝71°，然后利用邻补角的定义计算∠2的度数．
解：∵AB∥CD，∠1＝71°，
∴∠EFD＝∠1＝71°，
∵∠2+∠EFD＝180°，
∴∠2＝180°﹣71°＝109°．
故选：D．
6．以下是小王在学习强国平台上的一周积分情况（单位：分）65，57，56，58，56，58，56，这组积分的众数和中位数分别是（　　）
A．58，56 B．56，56 C．56，57 D．56，58
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中56是出现次数最多的，故众数是56；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是这组数据的中位数．
解：在这一组数据中56是出现次数最多的，故众数是56；
将这组数据从小到大的顺序排列为56，56，56，57，58，58，65，处于中间位置的那个数是57，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是57．
故选：C．
7．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】由菱形的判定方法和矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：D．

8．已知，则以下对m的估算正确的是（　　）
A．3＜m＜4 B．4＜m＜5 C．5＜m＜6 D．6＜m＜7
【分析】估算确定出的范围，计算＝3，进而确定出m的范围即可．
解：∵2＜＜3，＝3，
∴5＜+3＜6，
∵m＝+＝3+，
∴m的范围为5＜m＜6．
故选：C．
9．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝3，BF＝2，则正方形DECF的边长等于（　　）

A． B．1 C． D．
【分析】设正方形DECF的边长为x，则CF＝CE＝x，根据全等三角形的性质得到AG＝AE，BF＝BG，根据勾股定理即可得到结论．
解：设正方形DECF的边长为x，
则CF＝CE＝x，
∵△AGD≌△AED，△BDF≌△BDG，
∴AG＝AE，BF＝BG，
∴AB＝AG+BG＝3+2＝5，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3+x）2+（2+x）2＝52，
∴x1＝﹣6（舍去），x2＝1，
∴正方形DECF的边长等于1．
故选：B．
10．若关于x的分式方程﹣＝1无解，则a的值是（　　）
A．0或1 B．﹣2或0 C．﹣1或2 D．﹣2或1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
解：去分母得：x2﹣ax﹣3x+3＝x2﹣x，
整理得：（a+2）x＝3，
当a+2＝0，即a＝﹣2时，方程无解；
当a+2≠0时，解得：x＝，
由分式方程无解，得到x＝0或x＝1，
当x＝0时，a无解；当x＝1时，a＝1，
综上，a的值为﹣2或1，
故选：D．
11．如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB，AC交于点D，点E，点F是线段DE上一点，CF的延长线交AB于点G，若DF＝4EF，则S△DFG：S△EFC＝（　　）

A．34：9 B．35：8 C．36：7 D．32：7
【分析】连接EG，根据重心的性质、平行线的性质得到＝，根据三角形的面积公式得到S△DFG：S△EFG＝4：1，根据相似三角形的性质得到＝，根据三角形的面积公式得到S△EFG：S△EFC＝8：7，计算得出答案．
解：连接EG，
∵DE∥BC，DE过△ABC的重心，
∴＝，
设DE＝10m，则BC＝15m．
∵DF＝4EF，
∴DF＝8m，FE＝2m，S△DFG：S△EFG＝4：1，
∵DE∥BC，
∴△GDF∽△GBC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴S△EFG：S△EFC＝8：7，
S△DFG：S△EFC＝32：7，
故选：D．

12．经过点A（m，n），点B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则当m＞﹣时，n的取值范围是（　　）
A．＜n＜4 B．＜n＜2 C．＜n＜8 D．＜n＜2
【分析】先求对称轴直线x＝m﹣2，直线x＝﹣＝﹣c，列方程求出c＝2﹣m，代入原抛物线关系式，根据抛物线与x轴有两个公共点列不等式求出解集，再根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方得c＞0，求出m＜2，最后根据抛物线的递增情况求n的取值范围．
解：∵A（m，n），B（m﹣4，n），
∴抛物线对称轴是直线x＝m﹣2，
∵抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣c，
∴c＝2﹣m，
∴抛物线y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m，
∵抛物线y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m与x轴有两个公共点，
∴Δ＞0，
（4﹣2m）2﹣4（2﹣m）＞0，
（m﹣1）（m﹣2）＞0，
或，
解得，m＜1或m＞2，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴2﹣m＞0，
∴m＜2，
∴m＜1，
把A（m，n）代入y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m得，
n＝﹣m2+3m+2，
∵﹣1＜0，对称轴是直线x＝，
∵﹣＜m＜1，
∴n随着m的增大而增大，
当m＝﹣时，n＝，
当m＝1时，n＝1，
∴＜n＜1，
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．点A（﹣1，2）关于y轴的对称点坐标是　（1，2）　．
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
解：由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变，
可得：点A关于y轴的对称点的坐标是（1，2）．
14．分解因式：ab2﹣2ab+a＝　a（b﹣1）2　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解：ab2﹣2ab+a，
＝a（b2﹣2b+1），
＝a（b﹣1）2．
15．设x1，x2是方程x2+2x﹣4＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2＝　20　．
【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣5，x1•x2＝﹣3，将其代（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2中，即可求出结论．
解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4﹣4×（﹣4）＝20．
故答案为：20．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是　　．

【分析】连接EC，利用矩形的性质以及折叠的性质，即可得到△CDE与△CGE全等，设AF＝x，则可得CF＝x+6，BF＝6﹣x，在Rt△BCF中利用勾股定理即可得到x的值，在Rt△AEF中利用勾股定理即可求出EF的长度．
解：如图所示，连接CE，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝4，
由折叠可得，AE＝GE，∠EGF＝∠A＝90°，
∴DE＝GE，
又∵∠D＝90°，
∴∠EGC＝∠D＝90°，
又∵CE＝CE，
∴Rt△CDE≌Rt△CGE（HL），
∴CD＝CG＝6，
设AF＝x，则GF＝x，BF＝6﹣x，CF＝6+x，
∵∠B＝90°，
∴Rt△BCF中，BF2+BC2＝CF2，
即（6﹣x）2+82＝（x+6）2，
解得x＝，
∴AF＝，
∵∠A＝90°，
∴Rt△AEF中，EF＝＝＝，
故答案为：．

三．解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：2sin45°+|﹣|﹣（π﹣2021）0﹣．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝2×+﹣1﹣
＝+﹣1﹣
＝﹣1．
18．化简：．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝•
＝．
19．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．

【分析】先说明∠BAC与∠EAD的关系，再说明△ABC≌△ADE，利用三等三角形的性质得结论．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC．
即：∠BAC＝∠EAD．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴BC＝DE．

四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．某初中学校为了解毕业班学生每天睡眠时间情况，抽样调查了部分学生的睡眠时间，制成了两幅不完整的统计图，请根据两幅图解决下列问题：
（1）扇形统计图中B代表的扇形的圆心角是 　108°　．
（2）如果把睡眠时间低于7小时称为严重睡眠不足，请估算全校400名毕业班学生睡眠严重不足的人数．
（3）本次调查中有3名女生和2名男生每天睡眠时间在6小时及以下，现从这5名学生中任意抽取2名学生进一步了解情况，请用列表法或画树状图的方法求出刚好抽到一男一女的概率．

【分析】（1）先利用A组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出B组人数所占的百分比，然后用360°乘以B组人数所占的百分比得到扇形统计图中B代表的扇形的圆心角；
（2）用400乘以A组和B组的百分比的和即可；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出刚好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）调查的总人数为5÷10%＝50（人），
D组人数所占的百分比为×100%＝20%，
所以B组人数所占的百分比为1﹣20%﹣10%﹣40%＝30%，
所以扇形统计图中B代表的扇形的圆心角是＝360°×30%＝108°；
故答案为108°；
（2）400×（10%+30%）＝160（人），
估计全校400名毕业班学生睡眠严重不足的人数约为160人；
（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中刚好抽到一男一女的结果数为12，
所以刚好抽到一男一女的概率＝＝．
21．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某单位组织180名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用在1950元的限额内，一次将全部员工送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？
【分析】（1）可设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据等量关系2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人，列出方程组求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，进而求解即可．
解：（1）设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据题意得：
，
解得，
答：1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人；
（2）设租用甲种客车a辆，则租用甲种客车（5﹣a）辆，依题意有：
，
解得，
∵a为整数，
∴a＝3或4，
当a＝3时，租3辆甲车，2辆乙车，费用为：3×400+2×320＝1840（元），
当a＝4时，租3辆甲车，1辆乙车，费用为：4×400+1×320＝1920（元），
故有2种租车方案，最少租车费用是1840元．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数的图象相交于点A、B，其中点A（a，3）．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积．

【分析】（1）把A的坐标代入一次函数解析式可得a的值，再代入反比例函数解析式可得答案；
（2）利首先联立方程组求出点B的坐标，再根据S△AOB＝S△OCD﹣S△AOD﹣S△BCO即可求出面积．
解：（1）∵把点A（a，3）代入y＝﹣x+4中，
∴﹣a+4＝3，解得a＝1，即A（1，3），
把A（1，3）代入反比例函数为y＝中，k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）联立方程组，
解得或，
∴B（3，1）．
设一次函数与y轴交于点D，与x轴交于点C，

∴D（0，4），C（4，0），
∴S△AOB＝S△OCD﹣S△AOD﹣S△BCO＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝4．
23．某森林保护区开展“搜寻古树名木，守护和谐家园”活动，如图，林区工作人员发现斜坡AB的坡顶B处的同一水平线上有一古树DC，为测量古树DC的高度，工作人员在坡脚A处测得斜坡AB的坡度i＝1：2.4，古树顶端C的仰角为45°．他们沿着斜坡AB攀行了13米到达坡顶B，在B处测得古树顶端C的仰角为60°，求古树的高度DC．（结果保留根号）

【分析】延长CD交AE的延长线于F，则FE＝BD，DF＝BE，得到AE＝2.4BE，设BE＝x米，则AE＝2.4x米，根据勾股定理得到DF＝BE＝5（米），AE＝12米，解直角三角形即可得到答案．
解：延长CD交AE的延长线于F，
则FE＝BD，DF＝BE，
∵斜面AB的坡度i＝1：2.4，
∴AE＝2.4BE，
设BE＝x米，则AE＝2.4x米，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝132，
解得：x＝5，
∴DF＝BE＝5（米），AE＝12米，
在Rt△CDB中，∵∠CBD＝60°，
∴CD＝BD＝EF，
∴AF＝AE+FE＝（12+EF）米，
在Rt△ACE中，∵∠CAF＝45°，
∴CF＝AF，
∴EF+5＝12+EF，
解得：EF＝；
∴CD＝×＝（米），
答：古树的高度DC＝米．

六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，交AB于点F，CE＝BC．连接EF交AD于点G．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若CD＝2，BD＝，求⊙O的半径，EG的长．

【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠1+∠5＝90°得到∠2+∠3＝90°，得∠OEC＝90°，于是得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，由OE2+CE2＝OC2得到关于r 的方程，即可求出半径．
解：（1）如图，连接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠BDC＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
又∵∠BDC＝∠ODE，
∴∠OED＝∠BDC，
∴∠OED+∠BEC＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2，
BC＝＝4＝CE，
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴即r2+42＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3；
连接DF、AE，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD＝∠AED＝90°，
∵tan∠BAC＝＝＝＝，
在Rt△ADF中，AD＝6，
∴DF＝＝，AF＝，
又∵EC是⊙O的切线，DE是弦，
∴∠DEC＝∠EAC，
又∵∠DCE＝∠ECA，
∴△DEC∽△EAC，
∴＝＝＝，
在Rt△AED中，AD＝6，
∴DE＝＝＝DE，AE＝＝AF，
∴EF⊥AD，
在Rt△ADE中，由面积公式得，
DE•AE＝AD•EG
即×＝6EG，
∴EG＝，
∴⊙O的半径为3，EG的长为．

25．如图，已知直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+mx+n经过A，B两点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点D是第一象限抛物线上的点，连接OD交直线AB于点C，求的最大值．
（3）若抛物线上有且仅有三个点F1，F2，F3，使得△ABF1，△ABF2，△ABF3的面积均为定值S，求定值S及F1，F2，F3这三个点的坐标．

【分析】（1）根据直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，求出A点和B点的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）作DE∥AO交AB于点E，证△AOC∽△DEC，得出＝，设出D点坐标为（a，﹣2a2+4a+6），则E（a，﹣2a﹣6），用a示出DE，再根据比例关系得出关于a的二次函数，利用二次函数求最值即可；
（3）将直线AB向上平移至与抛物线只有一个交点F1，平移后的直线交y轴于E，联立直线EF1和抛物线的解析式，根据Δ＝0，求出k值，将直线AB向下平移，交抛物线于点F2，F3，联立直线EF1和抛物线的解析式，求出点F1的坐标，联立F2F3和抛物线的解析式，求出F2和F3的坐标，在利用F1的坐标求三角形面积即可．
解：（1）∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴令x＝0，则y＝6，令y＝0，则x＝3，
∴A（0，6），B（3，0），
把A点和B点坐标代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+4x+6；
（2）作DE∥AO，交AB于点E，
∴∠OAC＝∠DEC，∠AOC＝∠EDC
∴△COA∽△CDE，
∴＝，
设D（a，﹣2a2+4a+6），则E（a，﹣2a﹣6），
∴DE＝（﹣2a2+4a+6）﹣（﹣2a﹣6）＝﹣2a2+6a，
∴＝＝＝﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，有最大值为；
（3）由题知，F1在直线AB的上方，F2、F3在直线AB的下方，
将直线AB向上平移至与抛物线只有一个交点F1，平移后的直线交y轴于E，
设直线EF1 的解析式为：y＝﹣2x+k，
联立直线EF1和抛物线的解析式，得，
整理得﹣2x2+6x+（6﹣k）＝0，
∵直线EF1和抛物线有且只有一个交点，
∴Δ＝62﹣4×（﹣2）k＝0，
解得k＝，
∴EF1的解析式为：y＝﹣2x+，
∴E（0，），
∴EA＝﹣6＝，
同理，将直线AB向下平移与抛物线交于点F1和F2，
令△ABF1的AB边上的高为h1，△ABF2的AB边上的高为h2，
∵S＝＝＝，
∴h1＝h2，
∵F2F3∥AB∥EF1，且直线AB到直线EF1和直线F2F3的距离相等，设直线F2F3交y轴于G，
∴AG＝EA＝，OG＝OA﹣AG＝6﹣＝，
∴G（0，），
∴直线F2F3的解析式为y＝﹣2x+，
①联立EF1和抛物线解析式，得，
解得，
∴F1（，）；
②联立F1F2和抛物线解析式，得，
解得或，
∴F2（，3﹣），F3（，﹣3﹣）；
过F1作F1H∥y轴，交AB于H，
∴四边形AEF1H为平行四边形，
∴F1H＝AE＝，
∴S＝＝F1H•（xB﹣xA）＝××（3﹣0）＝，
∴定值S为．